虽说 Klein 把 Gauss 放在十九世纪数学家的行列当中，但是 Gauss 仍然具有十八世纪数学家的特质——也就是说，偏向用数值实验来归纳出各种定理。这种特质在十八世纪的数学家中普遍存在。

1798 年 7 月前后 Gauss 重新回到椭圆函数的研究上来。他日记的第 92 条是这样写的 [原文 (无日期) 来自 Klein 1903 年在 Mathematische Annalen (数学年刊) 上发表的文章，译文来自高木贞治《近世数学史谈》第七章与 Jeremy Gray 在Gauss——Titan of Science中的附录]

Gauss 这本日记本来就可以看做个人的备忘录，如果单独看 Gauss 日记，根本无法看懂他在说什么。幸好同一时期有 Gauss 的 Leiste 算术书上的记录，而这些与日记同一时期出现的公式可以帮助我们理解 Gauss 进一步的思路。

1796 年 9 月 9 日，哥廷根数学系学生 Gauss 在日记本上写下了函数。$\int_0^x\frac {\mathrm {d} u}{\sqrt {1-u^3}}$ 的反函数的级数展开式。他在同年的另一份稿件 [题名为Exercitationes Mathematicae, “数学练习”] 中，也写下了 $\int_0^x\frac {\mathrm {d} u}{\sqrt {1-u^4}}$ 的反函数的级数展开。

天才人物的作用似乎是，他们对科学自然延续的感知，比同时代的人自觉得要早得多，这样就带来决定性的转折，和越来越多的在全新精神下的产物。天才人物是历史时期的分界点：他是以他为结束的旧时期的最高点，他又是新时期的基础，而他最后的光辉又将要渗透入新的时期中，比时代可能具有的自觉性还要更加透彻，更加有效。

我们的故事也不例外。但是这个实验一点也不轻松，我们如果不翻越无数代数计算的荆棘就没有办法实现我们的目的。我们从第三篇里随便挑一个二次型来回顾一下 Zagier 的计算过程。

Don Zagier，Noam Elkies 和 Andrew Bremner 所做的事情对解决 Euler 的猜想有什么样的重要性呢？回忆一下上一节中我们最后在做什么。我们找到两个参数 u,v，使得 $z^4-x^4-y^4=t^2$ 中的 $z,x,y,t$ 均可以表示为系数为有理数的 u,v 的齐次多项式。而且 $t$ 是 u，v 的四次齐次多项式。

丢番图方程和它在数论中的另一位亲戚——素数——一样善于伪装。现代数论研究的一位老将Peter Swinnerton-Dyer在一篇名为“DIOPHANTINE EQUATIONS: PROGRESS AND PROBLEMS”的综述里对数值计算丢番图方程的解写了一些相当中肯的意见：

2019-5-6，Yaroslav Shitov 在 arXiv 上贴出一篇两页半论文（其中一页是问题背景介绍和定义)， Counterexamples To Hedetniemi’s Conjecture (arXiv:1905.02167v1)，构造出 Hedetniemi 猜想的反例。多位学者 (包括我自己) 仔细检查了证明，相信 Hedetniemi 猜想已被否定。

Euler 的猜想 $x^4+y^4+z^4=w^4$ 不存在非平凡整数解是在 1987 年前后被 Noam Elkies 等人否定的。这件事知乎上已经有好几位用户提到过。不过，近来看到一些与 Euler 猜想的否证相关的故事，值得作为自己自行选题的第一篇文章的内容。这些内容或许 150 年前的数学家们也会感兴趣。