我们在第一篇中提到的老先生J. W. S. Cassels在这篇文章一开始就下了一个论断：

Number theory is an experimental science.

我们的故事也不例外。但是这个实验一点也不轻松，我们如果不翻越无数代数计算的荆棘就没有办法实现我们的目的。我们从第三篇里随便挑一个二次型来回顾一下 Zagier 的计算过程。

取十四个候选中的其中一个，例如 $(\alpha,\beta)=(3,-2)$.

我们得到二次曲线 $Q: 29 (x^2-xy+y^2)-12 (xy+z^2)+(x-y) z=0$. 为了把它参数化，需要找到曲线上的一个有理点。通过 (哪怕是计算器) 计算，不难找到这个点，它就是 $(6,3,7)$. 用类似于球极投影的方式 [注：也就是过二次曲线上已知的点作给定斜率的直线，我们可以用斜率的有理函数表示出另一点的坐标，这建立了 $\mathbb {P}^1$ 与二次曲线之间的一一映射]，借助这个有理点的坐标，可以得到 x, y, z 参数化后的表达式。

$$x=6u^2+55uv+68v^2$$y=3u^2+55uv+136v^2$$z=7u^2+51uv+153v^2$$

回想 $t^2=z^4-x^4-y^4$, 我们可以得到 (当然是用计算机)

$$t=32u^4+258u^3v+279u^2v^2-3978uv^3-13583v^4$$

系数并不是很小。我们当然想让上面等式的右边是一个非零的平方数，但是为了从十几个系数为成千上万的多项式中筛选出合适的多项式，就需要用再次借助同余的手段，缩小我们的搜索范围。回顾第二篇的内容，我们希望 $P (x,y,z)=\pm t_0^2$，同时有 $Q (x,y,z)=0$. 在这里我们借用 Elkies 的方法来处理这里的同余关系。

第三篇中我们给出了一族多项式 $Q (x,y,z)$ 的表达式。同样我们可以写出一族 $P(x,y,z)$ 的表达式。$P$ 的表示并不唯一 [但其实不同的表示是双有理等价的]，因此我们找其中最简单的一族，也就是

$(2\beta/\alpha-1)(x^2+y^2-xy)+(xy+z^2)-(2\beta/\alpha)(x-y) z$

我们令它等于 $\pm t_0^2$. 作换元 $u^\prime=x+y,v^\prime=x-y$, 与第三篇中的 $Q$ 的表达式联立起来，注意到两个表达式中 $u'$ 都只有二次项，因此消去 $u'$。经过 [耐心的] 运算，我们可以得到

$$(2\beta^2-\alpha^2){v^\prime}^2-(2\beta^2-\alpha^2) z^2-4\alpha\beta vz=\pm (2\beta^2+\alpha^2) t_0^2$$

走一下配方法的路子，立刻就可以得到

$$(\alpha^4+4\beta^4){v^\prime}^2-w^2=\pm (2\beta^2-\alpha^2)(2\beta^2+\alpha^2) t_0^2$$

其中 $w=(2\beta^2-\alpha^2) z+2\alpha\beta v^\prime$

这样我们就回到了我们已经熟悉的套路：Minkowski 定理。用上一篇的推导，可以得到两组额外的限制：

a)$\alpha^2-2\alpha\beta+2\beta^2$ 的奇质因数如果幂次为奇数，那么那么这个质因子模 8 余 1;

b)$\alpha^2+2\alpha\beta+2\beta^2$ 的奇质因数如果幂次为奇数，那么那么这个质因子模 8 余 1;

这就进一步缩小了搜索的范围。用这个约束我们可以把十四组候选缩小到两组：

$$(5,-8),(7,-4)$$

[补注：其实后一组 $(7,-4)$ 也应当抹去，因为它没有模 5 的非平凡解]

根据这两组解，Zagier 得到了两个系数巨大的四次齐次多项式，它们的系数按 u 的幂从高到低分别为

$(184\cdot 233^2,320922\cdot233,130661741,320 922\cdot 313, 184\cdot313^2)$$(3697\cdot 137^2, 2372652\cdot 137, 573811862, 2372652\cdot 193, 3697\cdot 193^2)$

当 Zagier 从事这些计算的时候，他已经离开了 Berkeley，前往苏联。1987 年的苏联并不会向来访者开放计算机资源，因此 Zagier 只能利用手边的一个可编程计算器来计算这些多项式的值。计算器的显示位数毕竟有限，因此对于稍微大一点的 $u$，$v$，就没有办法判断多项式的值是不是平方数。Zagier 本人认为搜索这样的一个多项式并不是迫在眉睫的事情 (当然他手边也没有足够的计算资源：-）)，因此他决定把手头的计算放一放。但是 Zagier 错了，他被小他十几岁的 Noam Elkies 抢了先。Zagier 是这样回顾自己与新发现失之交臂的故事的 (黑体字是我标注的)：

Unfortunately, I was wrong: When I returned to Bonn at the end of my Moscow stay, I was met by my friend and collaborator Dick Gross, who told me excitedly that a famous question of Diophantine Analysis posed by Euler had just been solved by the very young mathematician Noam Elkies. I immediately went to the computer of our institute (a very primitive one indeed, but still a lot better than a pocket calculator!) to type in and run my own program, and within seconds discovered that [指 Euler 猜想的反例]...so that I too had solved Euler’s problem. But it was too late: On a problem that had been open for well over two centuries, I had beenscooped by just a few days. Needless to say,I immediately went out and bought a portable computer (a Toshiba)that thenceforth accompanied me everywhere.

Zagier 总结了一条教训：

If you are a number theorist, then buy a laptop, learn how to use it, andnever leave home without it!

相比之下，Elkies 就比 Zagier 幸运一点：Zagier 在苏联的时候没有计算资源可用，但是 Elkies 有哈佛的VAX可用。用计算机计算 (5,-8) 得到的多项式是否满足要求不过是举手之劳：一个简单的二重循环就可以找到 $(u,v)=(61,5)$ 满足要求。根据这一组 $(u,v)$, 我们就找到了第一个 Euler 猜想的反例：

$2682440^4 + 15365639^4 + 18796760^4 = 20615673^4$

这一年他 21 岁。Elkies 因为这个还上了 1988 年的The New York Times, 然而这只是一位高手学术生涯的开始而已。

我们的故事就到此为止。

Remark1：本篇中对 $(\alpha,\beta)$ 的进一步约束同时出现在 Elkies 和 Zagier 两个人的文章里。这几个对 $(\alpha,\beta)$ 的约束是十分强力的。将我们的搜索范围扩大到 $\vert\alpha\vert\leq20,\vert \beta\vert\leq20$, 满足所有条件的 $(\alpha,\beta)$ 也只增加了四个：

$$(1,-20)(5,12)(9,-20)(15,-8).$$

其中 $(9,-20)$ 给出了 Euler 猜想的最小反例

$$95800^4+217519^4+414560^4=422481^4.$$

Remark2：题图是一族椭圆曲线。椭圆曲线的算术与 Zagier 及 Elkies 的发现密切相关，但那就是另一个说不完的故事了。

参考文献

[1] Malter, Aimeric, Dierk Schleicher, and Don Zagier. "New Looks at Old Number Theory."American Mathematical Monthly120.3 (2013): 243-264.

[2] Elkies, Noam D. "On$A^4+B^4+C^4=D^4$."Mathematics of Computation(1988): 825-835.

[3] Bremner, A. "ON EULER'S QUARTIC SURFACE."Mathematica Scandinavica61 (1987): 165-180.