1796 年 9 月 9 日，哥廷根数学系学生 Gauss 在日记本上写下了函数 $\int_0^x\frac {\mathrm {d} u}{\sqrt {1-u^3}}$ 的反函数的级数展开式。他在同年的另一份稿件 [题名为Exercitationes Mathematicae, “数学练习”] 中，也写下了 $\int_0^x\frac {\mathrm {d} u}{\sqrt {1-u^4}}$ 的反函数的级数展开。

如果给定函数 $\int_0^x\frac {\mathrm {d} u}{\sqrt {1-u^2}}$ ，我们很清楚它的反函数的级数展开形式是什么样子。直接利用正弦函数的性质就可以了。对于 Gauss 给出的函数，我们怎么去做级数展开呢？

问题：给定级数 $w=f (z)=\sum_{i=1}^{\infty} a_iz^i$,(不妨设 $a_1=1$) 试求其反函数在 w=0 处的级数展开 $z=\sum_{i=1}^{\infty} b_iw^i$ 。

最直接的办法莫过于直接套用反函数的定义，也就有 $z=\sum_{i=1}^{\infty} b_i\left (\sum_{j=1}^{\infty} a_jz^j\right)^i$ , 两边对比各项系数，解关于 $b_i$ 的线性方程组就可以求出所有待定的系数。但这种方法实在是太笨重了。有没有更好的算法呢？

解法(Lagrange,1768): 假设 $\alpha$ 是 $w=f (z)$ 的一个根。那么

$$-w+\sum_{i=1}^{\infty} a_iz^i=(z-\alpha)\sum_{i=0}^{\infty} c_iz^i.$$

在级数两侧除以 $z$ ，令 $\xi=-\sum_{i=1}^{\infty} a_{i+1} z^i$ 。在等式两侧取自然对数，我们有

$$\log (1-\frac {w}{z})+\log (1-\frac {\xi}{1-w/z})=\log (1-\frac {\alpha}{z})+\log\left (\sum_{i=0}^{\infty} c_iz^i\right).$$

展开所有含自然对数的项，我们就有

$$\sum_{k=1}^{\infty}\frac {1}{k}\left (\frac {w}{z}\right)^k+\sum_{k=1}^{\infty}\frac {1}{k}\left (\frac {\xi}{1-w/z}\right)^k=\sum_{k=1}^{\infty}\frac {1}{k}\left (\frac {\alpha}{z}\right)^k+\cdots$$

如果对比两侧 z 的负幂次系数，我们立刻就可以得到 $\alpha^k$ 的级数展开。对等比级数反复求导，我们有

$$(1-x)^{-l}=\sum_{i=0}^{\infty}{i+l-1\choose l-1} x^i.$$

将这个级数代回，与 $\xi^l$ 的展开相乘，通过计算可以得到 $\left (\frac {\xi}{1-w/z}\right)^l$ 中 $z^{-k}$ 项的系数为 $\frac {1}{(l-1)!}\frac {\mathrm {d}^{l-1}}{\mathrm {d} z^{l-1}}\left (z^{k-1+l}\xi^l\right)_{\vert z=w}$ [注：今天我们可以用留数定理检验计算的正确性，但在 Lagrange 的时代没有这种工具，因此平添不少麻烦]。因此我们得到 Lagrange 的

定理：反函数的级数展开为 $w+\sum_{l=1}^{\infty}\frac {1}{l!}\frac {\mathrm {d}^{l-1}}{\mathrm {d} z^{l-1}}\left ((z-f (z))^l\right)_{\vert z=w}$ 。

[注：Lagrange 的证明与同时代许多关于级数的证明一样，缺少对级数收敛性的考察。按照 Whittaker 和 Watson 的著名教材的处理手法，我们应当考察积分

$\oint_{C}\log (\frac {f (z)-w}{z-w})\mathrm {d} z$ ($C$ 是某个合适的围道) 以便推出 Lagrange 的定理。我们把这个交给读者作为练习。

Gauss 在利用这个定理完成级数的展开 [见 Gauss 全集第十卷，第一册 146 页 Gauss 的演算] 之后，曾经寻求过其他的证明。他在 1796 年 12 月 27 日的日记中就宣称找到了 Lagrange 展开的新证明。]

1797 年年初，Gauss 对双纽线积分就变得严肃起来。如果说之前的级数展开不过是练习，那么从这年 1 月 8 日的记录开始，Gauss 就正式投入对双纽线积分的研究当中。Gauss 数学日记中 1797 年 1 月 8 日的记录是这样的：

Curvam [elasticam](此处 Gauss 划去) lemniscatam a$\int\frac {\mathrm {d} u}{\sqrt {1-u^4}}$pendentem perscrutari coepi.开始系统研究依赖于 $\int\frac {\mathrm {d} u}{\sqrt {1-u^4}}$ 的 [弹性曲线] 双纽线。

为什么 Gauss 划去“弹性曲线”这个词呢？最大的可能性是 Gauss 对 Euler 的工作非常熟悉。哥廷根大学的藏书中包含 Euler 的著作，其中关于双纽线积分就有我们这里提过的1752-53 年的工作以及1786 年发表的工作，还有一本重要的专著E342--Institutionum calculi integralis volumen primum[积分学基础 (共三卷)]，第一卷第二部分第六章有一节内容专门处理 1753 年的工作所涉及的微分方程。两类曲线当然都涉及到积分 $\int\frac {\mathrm {d} u}{\sqrt {1-u^4}}$ ，但 Euler 1752-53 年关于双纽线的工作具有绝对理论上的重要性，因此 Gauss 划去弹性曲线一词也就显得顺理成章了。

[补注：根据 Dunnington 撰写的 Gauss 传记的记录，Gauss 确实在 1797 年 1 月 2 日从图书馆借出了 Euler 的书。]

Gauss 从 Euler 那里继承了这样的课题：

• [Analysis] 代数积分 $\int_{0}^{z}\frac {\mathrm {d} u}{\sqrt {1-u^4}}$ 的分析学研究；

• [Arithmetic] 双纽线弧长的等分，这本质上是一个数论问题。

以及 Euler 的类比： $\int_{0}^{z}\frac {\mathrm {d} u}{\sqrt {1-u^4}}$ 与 $\int_0^z\frac {\mathrm {d} u}{\sqrt {1-u^2}}$ 有着类似的性质。

但 Gauss 看到了 Euler 所没有看到的东西：

• Euler 断言，对于 $\int_{0}^{z}\frac {\mathrm {d} u}{\sqrt {1-u^4}}$ 我们尚不具备 $\int_0^z\frac {\mathrm {d} u}{\sqrt {1-u^2}}$ 的反函数——正弦函数的类似物，因此类似于三角函数的分析对 $\int_{0}^{z}\frac {\mathrm {d} u}{\sqrt {1-u^4}}$ 可能是行不通的。但 Gauss 可以利用 Lagrange 方法对反函数进行数值计算，所以可以猜测，这是 Gauss 想到求双纽线积分反函数的动机之一；

• $$\frac {1}{\sqrt {1-x^2}}\mathrm {d} x=\frac {n}{\sqrt {1-z^2}}\mathrm {d} z$$ (n 是奇数) 有解 $x=R_n (z)$ ，R 是 n 次多项式。这个多项式的 n 个根自然对应单位圆 n 等分点的 n 个纵坐标。我们在这里提过，对于 $\frac {1}{\sqrt {1-x^4}}\mathrm {d} x=\frac {n}{\sqrt {1-z^4}}\mathrm {d} z$ ，它的代数解是 $x=\frac {P_n (z)}{Q_n (z)}$ 。Gauss 计算过 n=5 时 P 的表达式： $P_5 (z)=z (5-2z^4+z^8)(1-12z^4-26z^8+52z^{12}+z^{16})$ 它有 5 个实根，20 个虚根。5 个实根对应双纽线的五等分点，那剩下的 20 个虚根 (例如， $z^4\approx-52.49\cdots$) 对应的是什么？这就促使高斯研究复变数的积分 $\int_{0}^{z}\frac {\mathrm {d} u}{\sqrt {1-u^4}}$ 。

这两个观察结合就得到二三十年后 Abel 和 Jacobi 的金点子：在复数域上研究$\int_{0}^{z}\frac {\mathrm {d} u}{\sqrt {1-u^4}}$[以及更一般的代数积分的] 反函数[Jacobi 的格言："man muss immer umkehren (Invert, always invert)"]。但是这里我们必须要提到 Klein 对 Jacobi 和 Abel 工作的一个评论，这个评论恐怕对 Gauss 本人也部分适用 [摘自 Felix Klein《数学在十九世纪的发展》第三章，译文来自齐民友先生的译文，高等教育出版社，2010]：

Bei einem so heftigen gewaltsamen Vorwärtsstürmen der wissenschaftlichen Entwicklung darf es nicht wundernehmen, wenn im einzelnen noch manches unvollkommen blieb. Als eine wesentliche Lücke der Theorie bei Abel sowohl wie bei Jacobi ist es anzusehen, daß ein Beweis für die Eindeutigkeit der durch Inversion gewonnenen Funktionen auch im elliptischen Fall, ja auch nur das Bedürfnis danach, völlig fehlt. Die Unkenntnis dieser Seite des Problems war es, was Jacobi im Fall der hyperelliptischen Integrale, wie wir sahen, in Irrtümer verstrickte.在对一个科学问题所进行的如此猛烈而有力的进攻中，许多细节尚不完备也就不足为奇了。在阿贝尔和雅可比的理论中，一个本质的疏漏就是，他们都没有看到，甚至在椭圆积分这个简单情况下，也有必要证明由反演所得的函数是单值函数。当然也就说不上去证明它了。我们已经看到，正是这一点使得雅可比在超椭圆积分情况下陷入困境。

[注：之所以说这个结论对 Gauss 部分适用，是因为 Gauss 在一篇关于双纽线积分的未完成稿件中 (Gauss 全集第三卷，406 页) 有过对反函数级数收敛半径的讨论。但 Gauss 只给出了收敛半径的上界。如果他给出了收敛半径的具体值 (其实他给出的上界正是收敛半径本身) 并给出证明，那么 Klein 的批评就不适用于 Gauss。但是 Gauss 的文章就在这里戛然而止。]

严格解决这个问题要等到很久以后。当 1900 年高木贞治在哥廷根的时候，Hilbert 在与他的谈话中提到了下面的命题：

命题：$f (z)=\int_{0}^{z}\frac {\mathrm {d} u}{\sqrt {1-u^4}}=z+\frac {1}{2}\cdot\frac {1}{5} z^5+\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}\cdot\frac {1}{9} z^9+\cdots$ 在开圆盘 $|z|<1$ 上单值解析，在闭圆盘 $|z|\leq1$ 上连续。那么这个幂级数一对一地把闭圆盘 $|z|\leq1$ 映射到一个正方形，这个正方形的四个顶点分别为 $\pm \varpi/2,\pm i\varpi/2.$ 其中 $\varpi/2=\int_{0}^1\frac {\mathrm {d} u}{\sqrt {1-u^4}}=1.311028\cdots$ 是Stirling 算出的常数。 [注意这里的记号。 $\varpi$ 是 $\pi$ 的变体。]

这是1869 年Hermann Schwarz得到的结论。我们把这个问题交给读者来完成。

Gauss 在哥廷根时期的记录除了他的私人数学日记以外，还有一本 Leiste 编著的算术书。这本书里有很多白页，方便读者记笔记之用。Gauss 就在自己的这本书上写下了很多公式和笔记。这本书的大多数记录来自 Gauss 的中学时代到 1798 年。其中一条记录是这样的 [Gauss 全集，第十卷第一册，147 页]：

这有可能是 Gauss 阅读 Euler 著作后写下的笔记 [2017. 12. 22 补注：Gauss 肯定看过 Euler 的 1752 年的文章。他的 Leiste 笔记上直接摘抄了 Euler1752 年加法定理文章开头一段的部分内容。]。根据 Euler1752 年版本的加法定理，我们可以把 Euler 的加法定理改造如下：设

$$u=z+\frac {1}{2}\cdot\frac {1}{5} z^5+\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}\cdot\frac {1}{9} z^9+\cdots, \vert z\vert< 1$$ 的反函数为 $s (u)$ [根据 Schwarz，这个反函数是单值的]，并且记 $c (u)=\sqrt {\frac {1-s (u)^2}{1+s (u)^2}}$ [注意 Gauss 符号的选取，很显然在记号的选取上他都刻意向三角函数靠拢]。那么 Euler 的加法定理断言：

$$\begin {align} s (u+v)&=\frac {s (u) c (v)+c (u) s (v)}{1-s (u) s (v) c (u) c (v)}\\c (u+v)&=\frac {c (u) c (v)-s (u) s (v)}{1+s (u) s (v) c (u) c (v)}\end {align}$$

根据反函数的定义我们有 $s (\varpi/2)=1,s (i\varpi/2)=i.$ 同时有 $c (\varpi/2)=0,c (i\varpi/2)=\infty.$ 那么根据加法定理，我们可以立刻得到

$$\begin {cases} s (u+\varpi/2)=c (u),\\ c (u+\varpi/2)=-s (u),\\ s (u+i\varpi/2)=i/c (u),\\ c (u+i\varpi/2)=-i/s (u). \end {cases}$$

结合上面 Schwarz 的命题，我们可以从这几个关系式得到：

• $s (u),c (u)$是可以解析开拓到整个复平面的半纯函数，两者都具有周期$2\varpi,2i\varpi$ .

• $s (u)$的全部零点为$(m+in)\varpi,m,n\in \mathbb {Z}$, 极点为$(m+in)\varpi/2,m,n\in 2\mathbb {Z}+1$。[其实这些零点和极点都是一阶的]这就给出了题图的含义。 $c (u)$ 的零点和极点可以由 $s (u)$ 零点与极点平移 $\varpi/2$ 得到。

Gauss 应当在 1797 年 3 月的时候就已经知道，双纽线函数是双周期[半纯] 函数。双纽线等分实际上等价于解方程 $s (Nu)=0,$ $N$ 是整数。那么此时有 $u=\frac {(m+in)\varpi}{N},m,n\in \mathbb {Z}$ 。$s (u)$ 在这些点上不同的取值刚好就是 $N^2$ 种 [为什么？]。上面的推理对于 $c (u)$ 也是正确的。这样 Gauss1797 年 3 月 19 日的日记内容就可以得到解释。

思考题：我们在这里提到过 Gauss 写下的五倍弧长公式 [见 Gauss 文集第三卷，405 页]$u=z\cdot\frac {5-2 z^4 + z^8}{1-2 z^4 + 5 z^8}\cdot\frac {1-12 z^4-26 z^8 + 52 z^{12} + z^{16}}{1 + 52 z^4-26 z^8-12 z^{12} + z^{16}}$ 。分子的系数看上去可以通过倒转分母的系数得到。这是巧合吗？