细心的读者也许注意到了,在介绍欧几里得与《几何原本》时,有一条也许是整部《几何原本》中最吸引眼球的命题未曾展开说明,那便是大名鼎鼎的“公设 5”——也即第五公设。不过当时说过“不久之后会有单独介绍”,现在就让我们兑现许诺,来介绍一下第五公设及对它的探索。为避免偏离时间顺序太远,我们的介绍将只涵盖早期探索—确切地说,是所谓非欧几何诞生之前的探索。至于非欧几何,则将留作未来话题。
在《几何原本》的煌煌 13 卷中,内容分布大体是这样的:第 1~4 卷主要为平面几何,但间杂了数的理论——比如第 2 卷给出了乘法对加法的分配律等,并求解了若干代数方程;第 5~6 卷为比例理论及相似理论,但同样间杂了数的理论,且关于数有很深刻的洞见;第 7~9 卷以对数学分支的现代分类观之,是对几何与数的相对比例的的逆转——转入了以数为主的数论范畴,其中包括了对素数有无穷多个等重要命题的证明 (第 9 卷命题 20);第 10 卷延续了以数为主的局部“主旋律”,对“不可公度量” (incommensurable)——也就是无理数——做了详细讨论[注一];第 11~13 卷重返几何,但由平面走向立体,以对包括“柏拉图正多面体” (Plato solid) 在内的诸多立体几何话题的探讨结束了全书。
前文主要介绍了我们对欧几里得的了解——或许只是在“不了解”也是一种了解的悖论意味上,以及《几何原本》的流传及版本沿革,接下来让我们对《几何原本》本身略作介绍。 作为一部示范了公理化体系巨大威力的著作,《几何原本》一开篇——即第 1 卷——就展开公理体系,不带一个字的多余铺垫,直接就列出了 23 个定义, 5 条公设和 5 条公理。这是迥异于柏拉图和亚里士多德,乃至迥异于一切哲学著作的风格。
在介绍柏拉图时,我们曾经说过,“虽著作广为流传,我们对柏拉图的生平却知之甚少”,这一特点在柏拉图那里只是稍带戏剧性,到欧几里得 (Euclid) 这里则堪称达到了极致。用“知之甚少”已不足以形容我们对这位留下《几何原本》 (The Elements) 及其他数种著作,被尊为“几何之父” (Father of Geometry) 的伟大先贤的生平了解之贫乏。
从幼儿园小班到高中毕业,我国大部分青少年要和数学打大约 15 年的交道;若是进了大学的理工科,还要再与高等数学打几年交道;如果将来的志向是当数学教授,则要打一辈子交道了。多年来,由于奥数的大举入侵,数学似乎成了许多学生成年前最花心血的一门学科。照理说,校园内外有这么浓厚的数学氛围,我们的学生应该是数学的宠儿了,但是我经常听说大学理工科的许多学生十分怨恨数学,也没有真正学好数学,甚至包括数学系的那些理想成为职业数学家的新生。
我的一位发小和我一样有保存老物件的习惯,他知道我的这个爱好,专门托人从北京带来了一把老式的尺子,非常漂亮。这把尺子就在我的起居室的茶几上。每次看到它就觉得应该写点什么。今天我们就来说说尺子里的数学。具体地说,我们要讲的是一种叫哥隆尺的数学概念,同时看看它有什么实际的应用。
近些年来,中小学的数学教育引起了世界各国的数学家的广泛关注,其中的代表者有:俄国的阿诺尔德(Arnold【2,3】),美国的巴斯(Bass【5,6】),匈牙利的罗瓦兹(Lovász【16】),中国的吴文俊(【26】)、姜伯驹(【14】)等。这里我们要介绍的是美籍华人伍鸿熙(Hung-Hsi Wu)关于中小学数学教育的理念与工作。
古人虽然感觉到只有五种柏拉图多面体,但却没有证明。关于这个问题,基于欧拉多面体公式,可以得出一个非常简单的证明。注意观察正多面体的边,每一个边都是由两个顶点规定了的,且每一个边又都是由两个面所规定了的—两个顶点连一个边,两个面交于一个边。
在这一轮课程改革中,“数学与文化”成为了数学和数学教育工作者最为关注的问题之一。实际上,在很长一段时间内,许多数学和数学教育工作者已经在思考和研究这个问题,在即将推行的“高中数学课程标准”中,明确的要求把“数学文化”贯穿高中课程的始终。