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椭圆函数正篇:Gauss与AGM(6-2)

根据 Gauss 日记的记载 [Gauss 日记 122 条],Gauss 在 1802 年-1804 年一直忙于天文观测及其相关计算,直到 1805 年 Gauss 才返回到纯粹数学的研究上来。这一张图来自Scheda An的第 7 页。在Scheda An的第 8 页上有 Gauss 写下的模形式 $p (\tau)$ 满足的若干函数方程。根据这些记载以及 Gauss 日记的记录,Gauss 全集第十卷的编辑 Schlesinger 断定,Gauss 在 1800 年左右就知道下面提及的模形式 $p,q,r$ 的函数方程,而 Gauss 直到 1805 年左右才开始着手研究与 $p,q,r$ 相关的同余子群的基本区域,Scheda An上的这张图正是这些基本区域的示意图。

椭圆函数正篇:Gauss与AGM(6-1)

Gauss 大约在 1799 年年末到次年 6 月发展了一般椭圆积分理论。根据 Gauss 现存的手稿来看,他的一般椭圆积分理论在相当程度上依赖于所谓的算术几何平均(定义见Gauss 与 AGM (IV-1))。其中非常重要的内容是 (见Gauss 与 AGM (V-1)):

椭圆函数正篇:Gauss与AGM(5-3)

从Scheda Ac的记录来看,Gauss 也曾经尝试过完全照着自己 1797 年研究双纽线的途径来研究一般的椭圆积分。但是我们现在有的只是 Gauss 留下的一些不完整的记录。这条路径的空白恐怕只有到 Eisenstein 横空出世以后才得以填补。当然那就是另一个故事了。

椭圆函数正篇:Gauss与AGM(5-2)

按 Schlesinger 的记载 [见 Gauss 全集第十卷第二册,第 8 页],Gauss 的每一本工作记录除编号以外,还有各自的题名。例如 1805 年的Scheda编号为 An,题名为Cereri, Palladi, Junoni sacrum。从题名看这一本Scheda主要内容是天文观测 [注意题名中的谷神星,智神星和婚神星],但其中仍然包含数学内容。

椭圆函数正篇:Gauss与AGM(5-1)

根据Gauss与Bolyai之间的书信往来(1798年10月以及1799年12月)[Dunnington的Gauss传记Carl Friedrich Gauss: Titan of Science,p. 34-37]以及Gauss本人的记录, 我们知道Gauss早在1798年10月就往来于家乡Braunschweig与37公里外的Helmstedt之间。Helmstedt给Gauss本人留下了不错的印象,这大概还要归功于Johann Friedrich Pfaff。

椭圆函数正篇:Gauss与AGM(4-3)

Gauss 并不是第一个发现 AGM 序列与椭圆积分关系的人。在 Gauss 开始研究 AGM 之前,Lagrange 就已经发表了一篇关于椭圆积分的文章(1785 年)。在文章中,他给出了如下结论:

椭圆函数正篇:Gauss与AGM(4-2)

Gauss 在致 Schumacher 的信中提到自己在 14 岁时就开始研究算术-几何平均 (AGM),那么,有什么其他证据证明 Gauss 在 14 岁时就开始这项研究了呢?答案是没有。Gauss 全集公布的日期明确的记录当中,没有 Gauss 1797 年之前关于 AGM 研究的内容。第一条时间非常明确的记录来自 1798 年 11 月的Scheda Ab ,这一段记录正好与Scheda Aa的写作时间 (1798 年 7 月开始) 衔接。

椭圆函数正篇:Gauss与AGM(4-1)

1816 年 4 月 5 日,Gauss 的一位密友Heinrich Christian Schumacher从哥本哈根写信给 Gauss。在信中,他提到 Gauss 的一位老乡Carl Ferdinand Degen在哥本哈根大学学习期间,曾经研究过用以下方式定义的数列

椭圆函数正篇:Gauss与AGM(4-0)

我们现在要暂时离开 Gauss,回到 Euler 与 Fagnano 以及二次曲线上来。我们在这一系列的预篇中提到,Euler 在 1752 年 2 月 1 日,也就是在他的论文宣读不久以后,就写信给Pierre Louis Maupertuis。他在信中提到了自己几天前宣读的论文 [原文来自 Correspondance de Leonhard Euler avec P.-L. M. de Maupertuis et Frederic II,194 页]:

椭圆函数正篇:Gauss与AGM(3-3)

[下面是作者的推测]一旦这些重要常数的数值确定下来,就可以计算 $\log P$ 展开各项的系数了。我们直接利用Gauss的14位近似来进行相关的计算,保留位数到小数点后13位。