[注：题图就是Gauss全集第三卷中Gauss本人对 $e^{-\pi}$ 的数值计算过程。]

[下面是作者的推测]一旦这些重要常数的数值确定下来，就可以计算 $\log P$ 展开各项的系数了。我们直接利用Gauss的14位近似来进行相关的计算,保留位数到小数点后13位。我们有

$$\begin{align}e^{-2\pi}&=0.0018674427317\\e^{-4\pi}&=0.0000034873424\\e^{-6\pi}&=0.0000000065124\\e^{-8\pi}&=0.0000000000122\end{align} $$

以及 $\log{\frac{\varpi}{\pi}}\approx-0.1807705502179$

序列$\{e^{-2n\pi}\}$ 收敛到0的速度是很快的。借用等比级数以及对数函数幂级数[的截断]，我们可以数值计算出如下结果(哪怕是用手算)：

$$\begin{align}\log P(u)&\approx\log\sin{\frac{\pi}{\varpi}u}\\&-0.1770251853183\\&-2\times0.0018709365987\cos 2\frac{\pi}{\varpi}u\\&-2\times0.0000017436773\cos 4\frac{\pi}{\varpi}u\\&-2\times0.0000000021708\cos 6\frac{\pi}{\varpi}u\\&-2\times0.0000000000030\cos 8\frac{\pi}{\varpi}u\end{align}$$

根据Schlesinger的评论， $\log P$ 精度稍差一些的公式出现在年代最早的Schedae (编号Aa，开始于1798年7月)中[Gauss全集第三卷418页]。为了计算 $P(u)$ 的Fourier级数，我们令 $z=e^{2i\frac{\pi}{\varpi}u}$ , 那么 $\exp{\left(2\sum a_n\cos2n\frac{\pi}{\varpi}u\right)}= \left(\exp{\left(\sum a_nz^n\right)}\right)\cdot \left(\exp{\left(\sum a_nz^{-n}\right)}\right)$ 。

对右侧的Laurent级数做截断处理[取 $z^3$ 到 $z^{-3}$ 的项]，之后利用和差角公式，我们可以得到

$$\begin{align}P(u)=\,&0.8377586850382\times(\\+\,&1.0018744370145\sin\frac{\pi}{\varpi}u\\-\,&0.0018709431354\sin3\frac{\pi}{\varpi}u\\+\,&0.0000000065246\sin5\frac{\pi}{\varpi}u)\end{align}$$

如果对系数作归一化处理，我们可以得到

$$\begin{align}P(u)=\,&0.8393290109267\times(\\+\,&1.0000000000000\sin\frac{\pi}{\varpi}u\\-\,&0.0018674427316\sin3\frac{\pi}{\varpi}u\\+\,&0.0000000065124\sin5\frac{\pi}{\varpi}u)\end{align}$$

对比前面的结果，括号内各项的系数似乎是 $1,-e^{-2\pi},+e^{-6\pi},\cdots$ 。这还不足以确定系数的规律。如果再多算一项，至少得算到小数点后17位才有意义。Gauss在Schedae 中[编号Ac，1799年11月开始]计算了级数 $\sin7\frac{\pi}{\varpi}u$ 的系数(小数点后18位)，结果显示，系数似乎是 $-e^{-12\pi}$ 。所有的数值计算指向的结论是：

$$P(u)=a_0\sum_{n=0}^{\infty} e^{-\pi(n^2+n)}(-1)^{n}\sin(2n+1)\frac{\pi}{\varpi}u,\, a_0\approx 0.8393290109267.$$

利用同样的方法(但是计算更加复杂，因为 $\log Q$ 展开式各项趋于0的速度相对比较慢，从而需要计算更多项来达到指定精度)，我们可以得到相应的猜想

$$Q(u)=b_0\left(1+2\sum_{n=0}^{\infty} e^{-\pi n^2}\cos2n\frac{\pi}{\varpi}u\right),\, b_0\approx 0.9204417878356$$

[猜测到此结束]

Gauss并未止步于此。还有若干常数没有得到函数论的解释。

• 其一是 $\log P$ (或 $\log Q$ )展开式中的常数项。

• 其二是 $a_0$ 或 $b_0$ 的解析表达式(这是我们在前面有意避开的问题)。

Gauss在Scheda Aa 中明确回答了所有问题，但是仍然没有写下任何的推理过程。这些问题利用Gauss时代的技术都可以解决，但是这两个问题每一个都可以说是引向更深刻问题的路标。

Problem1. 计算Fourier级数的各项系数的方法是每个学习过高等数学的学生的常识。我们需要计算的是

$I_1=\frac{1}{\varpi}\int_{0}^{\varpi}\log \vert P(u)\vert\mathrm{d}u$ 以及 $I_2=\frac{1}{\varpi}\int_{0}^{\varpi}\log Q(u)\mathrm{d}u$ 。容易知道

$I_1-I_2=\frac{1}{\varpi/2}\int_{0}^{\varpi/2}\log \left\vert \frac{P(u)}{Q(u)}\right\vert\mathrm{d}u=\frac{1}{\varpi/2}\int_{0}^{1} \frac{\log z}{\sqrt{1-z^4}}\mathrm{d}z$ [为什么？]

我们在本系列第二篇中提到的函数 $M,N$ 的公式可以改造为 $P,Q$ 的公式，也就是 $P(2u)=2P(u)Q(u)\sqrt{Q^4(u)-P^4(u)}$ 。

[和 $Q(2u)=Q^4(u)+P^4(u)$ ，它的直接推论是 $P(\varpi/2)=Q(\varpi/2)=2^{-1/4}$ ]

在等式两侧取绝对值后再取自然对数，作一个周期上的积分，我们就有

$$\log2+3I_2+\frac{1}{\varpi}\int_{0}^{\varpi}\log\sqrt{1-\frac{P^4(u)}{Q^4(u)}}\mathrm{d}u=0$$

也就是

$$\log2+3I_2+\frac{1}{\varpi/2}\int_{0}^{1} \frac{\log \sqrt{1-z^4}}{\sqrt{1-z^4}}\mathrm{d}z=0.$$[为什么？]

两个未知积分的形式促使我们回到Euler关于Beta函数的研究上来。我们知道

$$B(\alpha,\beta)=\int_{0}^{1}t^{\alpha-1}(1-t)^{\beta-1}\mathrm{d}t=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}$$

那么[为什么？]

$$\begin{align}\frac{1}{\varpi/2}\int_{0}^{1} \frac{\log \sqrt{1-z^4}}{\sqrt{1-z^4}}\mathrm{d}z&=\frac{1}{2}\frac{\partial}{\partial\beta}\log B(\alpha,\beta)|_{\alpha=1/4,\beta=1/2}\\&=\frac{1}{2}\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\log \Gamma(z)|_{z=1/2}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\log \Gamma(z)|_{z=3/4}\right)\end{align}$$

以及

$$\begin{align}\frac{1}{\varpi/2}\int_{0}^{1} \frac{\log z}{\sqrt{1-z^4}}\mathrm{d}z&=\frac{1}{4}\frac{\partial}{\partial\alpha}\log B(\alpha,\beta)|_{\alpha=1/4,\beta=1/2}\\&=\frac{1}{4}\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\log \Gamma(z)|_{z=1/4}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\log \Gamma(z)|_{z=3/4}\right)\end{align}$$

根据Gauss 1812年的定理(Gauss全集第三卷，155-158页)我们可以算出两个积分的值分别为 $\frac{1}{2}\left(-\frac{\pi}{2}+\log 2\right)$ 以及 $-\frac{\pi}{4}$ [注：这里的定理完全可以用Euler关于Gamma函数的无穷乘积证明]。所以 $I_2=\frac{\pi}{12}-\frac{1}{2}\log2$ , $I_1=-\frac{1}{2}\log2 -\frac{\pi}{6}$ 。于是 $\log P$ 展开式中的常数项为 $I_1-\frac{1}{\varpi}\int_{0}^{\varpi}\log\sin\frac{\pi}{\varpi}u\mathrm{d}u=\frac{1}{2}\log2 -\frac{\pi}{6}$ 。如果我们回过头来观察展开式

$$\begin{align}&\log P(u)+2\sum_{n=1}^{\infty}\log(1-e^{-2\pi n})\\=&\log\frac{\varpi}{\pi}+\log\sin{\frac{\pi}{\varpi}u}-2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(e^{2n\pi}-1)}\cos 2n\frac{\pi}{\varpi}u,\end{align}$$

我们直接可以得到 $\prod_{n=1}^{\infty}(1-e^{-2\pi n})=\sqrt{\frac{\varpi}{\pi}}2^{-1/4}e^{\pi/12}$ 。像这样的等式还有三个。

用类似的方法从 $\log Q$ 的展开式中我们可以得到 $\prod_{n=0}^{\infty}(1+e^{-(2n+1)\pi})=2^{1/4}e^{-\pi/24}$ 。根据 $P,Q$ 在 $\varpi/2$ 处的值以及 $P,Q$ 的无穷乘积，我们又可以得到两个等式

$$\prod_{n=0}^{\infty}(1-e^{-(2n+1)\pi})=2^{1/8}e^{-\pi/24}$$

$$\prod_{n=1}^{\infty}(1+e^{-2n\pi})=2^{-3/8}e^{\pi/12}$$

这是模形式特殊值最早的例子。这些等式可以说就在Gauss一伸手就可以够得到的地方，但我们不确定Gauss在1800年之前是否知道这些等式。

[注：黑川信重等人编写的《数论》提到了若干等式，例如 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^3}{e^{2n\pi}-1}=\frac{1}{80}\left(\frac{\varpi}{\pi}\right)^4-\frac{1}{240}$ 。根据本篇的内容，这都是25岁的Gauss可以轻松解决的问题。我们把这个等式的证明交给读者作为练习。]

Problem 2. 常数 $b_0$ 有哪些可能的表达式呢？根据 $Q(\varpi)=1,Q(\varpi/2)=2^{-1/4},$ 以及 $Q$ 的三角级数展开式，我们可以得到

$$\begin{align}\frac{1}{b_0}&=1+2e^{-\pi}+2e^{-4\pi}+2e^{-9\pi}+\cdots\approx1.0864348112133\\\frac{2^{-1/4}}{b_0}&=1-2e^{-\pi}+2e^{-4\pi}-2e^{-9\pi}+\cdots\approx0.9135791381561\end{align}$$

这两个级数都是收敛极其迅速的级数，只取前四项计算都可以获得小数点后15位的有效数字。Gauss有可能又像他1797年时做过的那样，通过求对数来发现数字之间的关系。两者的自然对数分别是

$$\begin{align}+&0.0829015200310\\ -&0.0903852751090\end{align} $$

找遍我们本篇中计算的所有常数，可以看到， $\log{\frac{\varpi}{\pi}}\approx-0.1807705502179$ 似乎是后一个值的二倍。也就是说, $1-2e^{-\pi}+2e^{-4\pi}-2e^{-9\pi}+\cdots=\sqrt{\frac{\varpi}{\pi}}$ 。那么 $b_0=2^{-1/4}\sqrt{\frac{\pi}{\varpi}}$ 。根据我们这篇末尾的内容，我们立刻可以得到 $2e^{-\pi/4}+2e^{-9\pi/4}+2e^{-25\pi/4}+\cdots=\sqrt{\frac{\varpi}{\pi}}$ 。

这两个等式都出现在Gauss的Scheda Aa 当中，写下记录的日期都应当在1798年。1800年的Gauss毫无疑问可以轻松证明这两个结论，但是1798年的Gauss能不能证明这两个结论呢？我们并不清楚。不过Gauss此时其实已经具备了证明这两个等式的一切要素。利用我们上面得到的四个无穷乘积， $P,Q$ 的三角级数展开以及Euler 1741年左右发现，1750年证明的定理

$$\prod_{n=1}^{\infty}(1-x^n)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^{k}x^{(3k^2-k)/2}$$

可以推出Gauss的这个结论。我们把这个问题交给读者作为练习。

[当然Gauss也有可能直接就看出两个数之间的平方关系了]

Gauss无疑在1798年10月前后就已经得到上面提到的绝大多数的结论。他日记本第95条[1798年10月，无日期]是这样写的：

Novus in analysi campus se nobis aperuit scilicet investigatio functionum etc.分析的新领域已经向我们打开，也就是函数的研究等等。

按David Cox在其the arithmetic-geometric mean of Gauss 一文中的评论，Gauss[狂喜乱舞]高兴到连完整的句子都顾不上写到日记本上。以今天的标准来看，1798年的Gauss其实还算不上开辟了分析的新领域。他真正意识到背后还有更广大理论的时候已经是1799年的5月了。而这一新发现的来源来自他少年时的研究——GEGAN(NAGEG, Nexum medii Arithmetico-Geometricum Expectationibus Generalibus，算术-几何平均值，也就是这一系列题目中的AGM)。他之前的所有发现一下子汇聚在一起，流向更广阔的新天地。