空间和时间


现在我要向你们提出的时空观是在实验物理学的土壤上产生的,其力量就在这里。这些观点是根本性的。从现在起,孤立的空间和孤立的时间注定要消失成为影子,只有两者的统一才能保持独立的存在。

$\S$ 1 牛顿方程的不变性及其在四维空间中的表示

首先我想说明,怎样才能从目前公认的力学出发,用纯粹数学的思想方法得出新的空间时间观念。牛顿力学的方程表现出双重的不变性。首先,如果令基本的空间坐标系作任意的位置改变,方程的形式不变;其次,如果改变坐标系的运动状态,即让它作某种匀速平移运动,方程的形式也不变;此外,时间原点也不起作用。我们惯于视几何公理为完善的东西,与此同时,感到力学公理也是成熟的,因此,两种不变性就很少同时提及。对于力学的微分方程来说,每一种不变性本身都表示某一个变换群。第一个群的存在,被认为是空间的基本特征。而对第二个群则宁可置之不顾,以便能够不费思索地克服下列困难,即从物理现象看来,我们永远不能判断被设想为静止的空间究竟是否就不会处于匀速平移状态。这样,两个群同时并存却毫不相干。可能是它们的截然不同的特征令人没有勇气去把它们结合起来。然而恰恰是把它们结合起来作为一个整体,即作为一个完全群,引起我们思考。

我们试图用图解法来想象事物的情态。设 $x , y , z$ 为空间的直角坐标,$t$ 表示时间。我们感觉中的对象,总是牵涉联合着的地点和时间。从来没有人脱离时间而观察地点,或者脱离地点而观察时间。尽管如此,我还是尊重空间和时间都具有独立意义这个信条。我将把在某一时刻的一个空间点,即一组值 $x , y , z , t$ 叫做一个世界点。把一切可以设想的数组 $x , y , z , t$ 的全体,称为世界。就用这枝结实的粉笔,我可以把四个世界轴画在黑板上。既然仅仅是粉笔画的一条轴线(其实它是由全都振动着的分子组成的,并参加地球在宇宙间的运行。)已经给我们提供了抽象化的广大范围,而与这第四个数相联系的进一步的抽象,对数学家来说是没有困难的。为了在任何地方也不留下空隙,我们假定,在任何地点和任何时间,都存在某种可感知的事物。这种事物我们用“实体”;这个词来表示,以避免说“物质”和“电”这些词。现在我们把注意力集中在处于世界点 $x , y , z , t$ 的实体点,并假定在任何其他时间都能认出这实体点,设这实体点的空间坐标的变化 $d x , d y , d z$ 是对应于一个时间元 $dt$ 的。这样我们就得到世界中的一条曲线,即世界线,可以说,它是这实体点无穷无尽经历的一种表象,线上的点可以由参数 $t$ 从 $- \infty$ 到 $+\infty$ 明晰地确定。整个宇宙可以看做是分解为无数相似的世界线的,而我乐于预先说,在我看来,若將物理定律表示成这些世界线之间的互易关系,才会是它们的最完美的表达式。

空间和时间的概念,使在的 $t = 0$,$x , y , z$ 流形与其两边($t>0$ 和 $t < 0$)截然分开。若为简单起见保留相同的空间和时间零点,则所提及的第一个群表示:在力学上,我们可以于 $t=0$ 时令 $x , y , z$ 三个轴绕着原点作任何转动,这相当于表达式$$x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 }$$

的齐次线性变换。第二个群表示,我们可以用 $x - \alpha t$, $y - \beta t$,$z - \gamma t$(其中 $\alpha , \beta , \gamma$ 为任何常数)代替工 $x , y , z , t$ 而不会改变力学定律的表达式。因此,我们可以给时间轴以朝世界的上半部即 $t>0$ 以任何方向。现在我们要问,空间的正交条件与时间轴在朝上方向的完全自由选择应当有什么联系?

为了建立这个联系,让我们取一正参数 $c$,并考虑

$$c ^ { 2 } t ^ { 2 } - x ^ { 2 } - y ^ { 2 } - z ^ { 2 } = 1$$

的图形。这个图形,类似于一个双叶双曲面,是由被 $t=0$ 隔开的两个曲面组成的。我们考虑在 $t>0$ 区域的那叶双曲面,作从 $x , y , z , t$ 到四个新变量 $x , y , z , t$ 的齐次线性变换,同时要使此曲面的新变量表达式保持原有形式。显然,空间绕原点旋转就属于这类变换。所以只要研究其中一种 $y,x$ 保持不变的变换,就可以充分理解其余的变换。我们作这叶曲面在 $x,t$ 平面上的截面(图1)——双曲线 $c ^ { 2 } t ^ { 2 } - x ^ { 2 } = 1$ 的上半枝及其渐近线。从原点 $О$ 出发,我们作这枝双曲线的任一矢径 $OA'$;在 $A'$ 引此双曲线的切线,直至交右边的渐近线于 $B'$;作成平行四边形 $O A ^ { \prime } B ^ { \prime } C ^ { \prime }$,最后,为了以后的应用,延长 $B ^ { \prime } C ^ { \prime }$;交 $x$ 轴于 $D'$ 现在若我们取 $OC'$ 与 $OA'$ 作为斜角坐标 $x'$ $t'$ 的轴,令长度 $OC'=1$, $OA'=1/c$,则这枝双曲线的表达式仍为 $c ^ { 2 } t ^ { 2 } - x ^ { 2 } = 1 , t ^ { \prime } > 0$,而这个从 $x,y,z,t$ 到 $x',y',z',t'$ 的变换,也就是上面所说的变换之L。现在我们用这些变换把空间时间零点的任何移动联系起来,这样组成一个变换群,这个变换群显然也依赖于参数 $c$ 这个群我用 $G_c$,来表示。

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如果我们令 $с$ 增至无穷大,则 $1/c$ 就收敛到零,由图看出,双曲线的枝线越来越倾向 $x$ 轴,渐近角变得越来越钝,而在极限情况下,这特殊的变换就变成这样一种变换,即 $t'$ 轴可以取朝上的任何方向,而 $t'$ 越来越逼近 $x'$ 有鉴于此,就很清楚,群 $G_c$ 在 $c = \infty$ 的极限情况下(即 $G_{\infty}$)正好变成适用于牛顿力学的完全群。既然如此,而且由于 $G_c$在数学上又比 $G_{\infty}$ 更易理解,看来连某些缺乏想象力的数学家也许会想到,事实上,自然现象毕竟不是对于群 $G_{\infty}$ 而是对于群 $G_{c}$ 具有不变性,$с$ 为确定的有限值,但按通常单位测量,其值极大。这样一种预见,将会是纯粹数学的卓越成就。但是目前数学虽然只能发挥阶梯的作用,却总可以认为是事后聪明而自慰,而由于巧妙的前提,以及因高瞻远瞩而使其领悟能力敏锐,它就能够立即掌握住关于千变万化的自然概念的深远结果。

我想立刻指出,最后要讨论的这个 $с$ 的值是多少,它就是真空中光的传播速度。为避免说空间或空虚等字眼,我们可以用另一种方式定义这个量,即把它定义为电学中电磁单位与静电单位之比。

存在着自然定律对于有关的群 $G_c$,具有不变性这件事,应该按下列方式来理解:

根据自然现象的全体性,通过不断提高近似的方法,有可能追溯到越来越精确的一个参考系 $x , y , z , t$,即空间和时间。利用这参考系,自然现象就按照确定的自然定律表现出来。但是当我们这样做了以后,绝不能认为这个参考系是由这些自然现象唯一地确定了的。仍然有可能对参考系作某种改变,使这种改变符合群 $G_c$,的变换,并保持自然定律的表达式不改变。

例如依照上面描述的图形,我们也可以选取时间 $t'$,但相应地就不可避免要用三个参数 $x ^ { \prime } , y , z$ 的流形来定义空间。 在这种情况,物理定律可以用 $x ^ { \prime } , y , z , t ^ { \prime }$ 来表示,其形式与用 $x , y , z , t$ 表示的完全一样。于是在宇宙间,就不再是只有一个空间,而是有无数个空间,就象在三维空间中有无数平面一样。三维几何学,成了四维物理学中的一章。现在大家会明白,为什么我在一开始就说,空间和时间都要消失成为影子,只有世界本身仍然存在。

$\S$ 2 世界假设

现在的问题是什么情况迫使我们接受这种新的空间时间概念?这种新概念真的永远不会和经验矛盾吗?最后它果真有利于描述自然现象吗?

在探究这些问题之前,我必须作一个重要说明。倘若我们以某种方式区分开空间和时间,那么与静止实体点相对应的世界线就是平行于 $t$ 轴的直线;与匀速运动相对应的世界线是与 $t$ 轴成某个角度的直线,而变速运动实体点的世界线则是某种形式的曲线。若在任一世界点 $x, y , z , z$ 取通过此点的世界线,并发现它平行于上述双曲面的某个矢径 $OA'$, 这样我们就可以引入 $OA'$,作为一个新的时间轴,而按照空间时间的新概念,在该世界点上的实体呈现静止状态。现在我们要引入下列基本公理:

对于适当地确定的空间和时间,在任何世界点上的实体都可以看成是静止的。

这公理意味着在任何世界点上,公式

$$c ^ { 2 } d t ^ { 2 } - d x ^ { 2 } - d y ^ { 2 } - d z ^ { 2 }$$

总是取正值,亦即等于说,任何速度 $v$ 皆证实是小于 $с$ 的。因此 $c$ 就是一切实体的速度的上限。正是这个事实,显示出量 C的更深刻的意义。按照第二种形式,这公理给人留下的初步印象并不全然是令人愉快的。但我们必须记住,一种修改了形式的力学(其中出现以上二次微分式的平方根)现在就要开辟自己的道路,这样一来,超光速情况只起一种象几何学中具有虚坐标的图形那样的作用。

促使我们假定群 $G_c$,的真正动机是真空中光传播的微分方程具有群 $G_c$1。另一方面,刚体的概念仅在满足群 $G_{\infty}$ 的力学中才有意义。若我们有一种具有 $G_{c}$ 的光学理论,又若刚体是存在的,则容易看出,$t$ 的同一方向就会被分别适用于 $G_{c}$ 和 $G_{\infty}$ 的两个双曲面区分开,而这又得出进一步的结果,即我们能够用实验室内适当的刚性光学仪器来发现自然现象在相对于地球运动方向改变方位时所发生的变化。但是向这目标所作的一切努力,特别是著名的迈克尔逊干涉实验,都得出否定的结果。为了解释这种失败,洛伦兹提出一个假说,其成功之处恰恰就在于光学中关于群 $G_c$,的这种不变性。依照洛伦兹的假说,任何物体在其运动方向上都一定经受一种收缩,事实上,当速度为 $v$ 时,则按下列比值收缩:

$$1 : \sqrt { 1 - v ^ { 2 } / c ^ { 2 } }.$$

这个假说令人觉得十分离奇,因为这种收缩不应看作以太或类似东西的阻力所造成的,而应视为天赋的、伴随运动而存在的现象。

现在我要用我们的图形来表明洛伦兹的假说完全等效于空间时间的新概念,而这些新概念确实使洛伦兹假说更加容易理解。若为简单起见我们不管 $y$ $z$ 而设想一个在空间上是一维的世界,那么一条竖直如 $t$ 轴的平行带,和另一条对Г轴倾斜的平行带(见图1),就分别代表处于静止或匀速运动的物体的经历,每一个平行带都占有一个恒定的空间范围。若 $OA'$ 平行于第二条带子,我们可以引入 $t'$ 作为时间坐标,$x'$ 作为空间坐标,这样一来,第二个物体就表现为静止,而第一个物体作匀速运动。现在我们假定,设想是处于静止的第一个物体的长度为 $l$,这就是说,第一条带子在 $x$ 轴上的截面 $PP$ 等于 $l\cdot OC$,其中 $OC$ 表示 $x$ 轴上的单位尺度;另一方面假定设想是处于静止的第二个物体具有同样的长度 $l$,这表示第二条带子的截面 $Q'Q'$ 的长度(平行于 $x'$ 轴方向测量)等于 $l\cdot ОС$。现在我们用这两个物体得出两个同样的洛伦兹电子的象,一个静止,一个作匀速运动。但是,若保持原来的坐标不变,则对于第二个电子,我们必须用其相应带子的平行于 $x$ 轴的截面作为其大小。由于 $Q ^ { \prime } Q ^ { \prime } = l \cdot O C ^ { \prime }$,显然 $Q Q = l \cdot O D ^ { \prime }$。对第二条带来说,若 $dx/dt$ 等于 $v$,则简单的计算给出

$$O D ^ { \prime } = O C \sqrt { 1 - v ^ { 2 } / c ^ { 2 } },$$

所以 $P P : Q Q = 1 : \sqrt { 1 - v ^ { 2 } / c ^ { 2 } }$ 而这就是关于运动着的电子收缩的洛伦兹假说的意义。另一方面,假使我们把第二个电子看作是静止的,并采用参考系 $x',t'$,则第一个电子的长度就必须用其带子平行于 $ОС'$ 的截面 $Р'Р'$ 来表示;同时我们会发现,第一个电子与第二个电子恰恰按同一比例收缩,因为在图中,

$$P ^ { \prime } P ^ { \prime } : P ^ { \prime } Q ^ { \prime } = O D : O C ^ { \prime } = O D ^ { \prime } : O C = Q Q : P P$$

洛伦兹把 $x$ 与 $t$,组合成的 $t$ 称为匀速运动电子的地方时,并为更好地理解收缩假说而作出关于这概念的物理结构。然而最先清楚地认识到一个电子的时间和另一个的时间完全一样(即 $t$ 与 $t'$ 应同等看待)的荣誉属于爱因斯坦2。这样,时间作为由现象毫无歧义地确定了的一个概念,就第一次被取消了其高超的地位。不过无论是爱因斯坦还是洛伦兹,都没有对空间概念提出任何非难,这或许是由于在上述 $x'$ $t'$ 平面与 $x$ $t$ 平面是重合的特殊变换中,可能作这样一种解释,即空间的 $x$ 轴保持原有位置。人们会以为能找出对于空间概念的相当的破坏,这种破坏可看成是高等数学方面的另一种大胆尝试。不过这个步骤对于真正了解群 $G_c$ 还是不可缺少的,而一旦采取了这个做法,为表示关于群 $G_c$ 的不变性条件而引用的相对性假设这个词,在我看来是十分无力的。由于这假设导致这样一种意义,即只有由空间和时间构成的四维世界是由现象给定的,而在空间和时间上的投影,在一定程度上仍然可以自由选择,因此我认为最好是把这假设叫做绝对世界假设(或简称为世界假设)。

$\S$ 3 连续区中运动的表示

世界假设允许我们对四个坐标 $x,y,z,t$ 同等看待。现在我要证明,按照这种方法,物理定律所表现的形式会变得更易理解。特别是加速度概念得到一个鲜明的特征。

我打算采取一种几何学的表示方式,只要我们在三重系 $x,y,z$ 里默默地忽视 $z$ 立刻就会联想起这种表示方式。取任一世界点 $О$ 作为时空零点。顶点为 $O$ 的圆锥 $c ^ { 2 } t ^ { 2 } - x ^ { 2 } -y ^ { 2 } - z ^ { 2 } = 0$(图2)是由两部分构成的,一部分 $t$ 值大于零,另一部分 $t$ 值小于零。前一部分即 $O$ 的前锥,由“向$O$发射光”的所有世界点所组成;后一部分,即 $O$ 的后锥,由“从 $O$ 接收光” 的所有世界点所组成。只由前锥围绕的区域可称为“先于” $О$,单由后锥围绕的区域称为“后于”$O$。前面讨论的双曲面

$$F = c ^ { 2 } t ^ { 2 } - x ^ { 2 } - y ^ { 2 } - z ^ { 2 } = 1 \quad t > 0$$

位于 $О$ 之后。在两锥之间的区域,被点取正值的所有单叶双曲面的图形

$$- F = x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + z ^ { 2 } - c ^ { 2 } t ^ { 2 } = k ^ { 2 }$$

所充满。我们对于这个图形上以 $О$ 为中心的那些双曲线特别感兴趣。这些双曲线的每一条支线,可以简称为具有中心О的内双曲线。其中有一条被当作世界线的支线,它代表这样一种运动,当 $t = - \infty$ 与 $t = +\infty$ 时,速度逐渐增大渐近于光速 $c$,现在,若象空间中的矢量那样,把 $x,y,z,t$ 流形中一个有向长度称为矢量,我们就得把从 $O$ 指向 $+ F = 1 , t > 0$ 的类时矢量与从 $О$ 指向 $-F = 1$ 的类空矢量区别开来。可使时间轴平行于前一类的任何矢量走向。在 $О$ 的前锥与后锥之间的任何世界点,可以利用参考系来安排得使其与 $О$ 同时,但同样也可以安排得使其早于 $О$ 或迟于 $О$。在 $О$ 的前锥内的任何世界点,必然总是在 $О$ 之前,而在 $О$ 的后锥内的任何世界点,则必然总是在 $О$ 之后。向 $c = \infty$ 的极限情况过渡,相当于两锥之间的楔形片完全展平成 $t=0$ 的平面流形。在本图里,这个片子有意用不同的宽度画出。

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我们把所选的任一矢量,例如起点为 $O$,终点为 $x,y,z,t$ 的矢量分解成四个分量 $x,y,z,t$。如果一个矢量的方向为从 $О$ 至两曲面 $\mp F = 1$ 中之一的矢径 $OR$ 方向,另一矢量的方向为同一曲面上点 $R$ 的切线 $RS$ 方向,我们就说两矢量互相垂直。所以分量为 $x,y,z,t$ 与 $x _ { 1 } , y _ { 1 } , z _ { 1 } , t _ { 1 }$, 的两矢量可能互相垂直的条件是

$$c ^ { 2 } t t _ { 1 } - x x _ { 1 } - y y _ { 1 } - z z _ { 1 } = 0.$$

为了测量不同方向上的矢量,应当这样规定测量单位:规定从 $O$ 到 $-F=1$ 的某个类空矢量的长度总是 $1$,从 $O$ 到 $+F = 1,~t>0$ 的某个类时矢量的长度总是 $1/c$。

若在世界点 $P ( x , y , z , t )$ 处,我们想象有一个实体点通过该点的世界线,则沿此线放置的类时矢量 $d x , d y , d z , d t$ 的长度为

$$d \tau = \frac { 1 } { c } \sqrt { c ^ { 2 } d t ^ { 2 } - d x ^ { 2 } - d y ^ { 2 } - d z ^ { 2 } }.$$

此量沿世界线从任何固定起点 $P_0$ 到变动的终点 $P$ 的积分 $\int d \tau = \tau$,我们称之为实体点在 $p$ 的原时。在世界线上,我们将 $x , y , z , t$(即矢量 $ОР$ 的分量)看作原时 $\tau '$ 的函数;它们对 $\tau '$ 的一阶微商用 $\dot { x } , \dot { y } , \dot { z } , \dot{t}$ 表示;对 $\tau '$ 的二阶微商用 $\ddot { x } , \ddot { y } , \ddot { z } , \ddot{t}$表示;并给相应的矢量以名称:矢量 $OP$ 对 $\tau '$ 的导数称为点 $Р$ 处的速度矢量,这速度矢量对 $\tau '$ 的导数称为Р处的加速度矢量。于是因为

$$c ^ { 2 } i ^ { 2 } - \dot { x } ^ { 2 } - \dot { y } ^ { 2 } - \dot { z } ^ { 2 } = c ^ { 2 }$$

我们得到

$$c ^ { 2 } \dot{t}\ddot{t} - \dot{x} \ddot { x } - \dot{y}\ddot{y} - \dot { z } \ddot { z } = 0$$

这就是说,速度矢量是具有单位长度的类时矢量,其方向是世界线在 $P$ 处的方向;而 $P$ 处的加速度矢量是垂直于 $P$ 处的速

度矢量的,所以加速度矢量在任何情况下都是类空矢量。

现在就容易看出,存在一条确定的双曲线,它与 $P$ 处的世界线有三个无限接近点,且其渐近线就是“前锥“与“后锥“的母线(图3)。此双曲线称为 $P$ 处的曲率双曲线。若 $M$ 为这个双曲线的中心,我们就得涉及具有中心 $M$ 的内双曲线。令 $\rho$ 为矢量 $MP$ 的长度,我们就可以看出,$P$ 处的加速度就是在 $MP$ 方向上长度为 $c^2/\rho$ 的矢量。

若 $\ddot { x } , \ddot { y } , \ddot { z } , \ddot{t}$ 皆为零,曲率双曲线就简化为在 $P$ 与世界线相切的直线,同时我们必须令 $\rho=\infty$。

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$\S$ 4 新力学

为了表明群 $G_c$ 这一假定对于物理定律决不会导致矛盾,就不可避免地要在这假定的基础上对整个物理学作一番修正。对于热力学和热辐射的问题3对于电磁过程,以及在保留质量概念的情况下对于力学,这种修正工作在某种程度上已经成功地实现了4。对最后这个物理学分支来说,具有根本意义的是以下问题:设分量为 $X,Y,Z$ 的力平行空间轴而作用于某一世界点 $P ( x , y , z , t )$ 在此点的速度矢量为 $\dot{x},\dot{y},\dot{z},\dot{t}$,当参考系以某种方式改变时,我们必须令此力等于什么?在群$G$,确实可被采纳的那些情况下,关于电磁场中的有质动力,存在着某些已被承认的论断。这些论断导致以下简单规则:当参考系改变时,所考虑的力变换成新的空间坐标系中的一个力,变换的方式要使分量为 $t X , t Y , t Z , t T$ 的适当的矢量保持不改变,其中

$$T = \frac { 1 } { c ^ { 2 } } \left( \frac { \dot { x } } { t } X + \frac { \dot { y } } { t } Y + \frac { \dot { z } } { i } Z \right)$$

是这力在世界点上做功的功率除以 $c$ 这矢量总是垂直于 $p$ 处的速度矢量。对应于 $P$ 处的一个力、属于这种类型的力矢量,我们称为 $P$ 处的“发动力矢量”。

现在我描述一下具有恒定力学质量 $m$ 的实体点经过 $p$ 的世界线。设 $P$ 处的速度矢量乘以 $m$ 称为 $P$ 处的“动量矢量”,$P$ 处的加速度矢量乘以河称为 $P$ 处的“力矢量”按照这些定义,具有给定发动力矢量的质点的运动规律可以写成5:运动的力矢量等于发动力矢量。这个论断包含各分量(相应于四个轴)的四个方程,而既然先验地假定了上述两矢量都垂直于速度矢量,所以第四个方程可以看成是由其他三个方程推出的。依照上面 $T$ 的意义,第四个方程无疑是代表能量定律的。 所以动量矢量沿 $t$ 轴的分量乘以 $c$ 应定义为质点的动能。其表达式为

$$m c ^ { 2 } \frac { d t } { d \tau } = m c ^ { 2 } / \sqrt { 1 - v ^ { 2 } / c ^ { 2 } },$$

在除去加性常数 $mc^2$ 小之后,它就是牛顿力学中的表达式 $\frac { 1 } { 2 } m v ^ { 2 }$,准确到 $1/c^2$ 阶量。按照这种方式,能量如何依赖于参考系就变得十分清楚了。由于 $t$ 轴可以取任何类时矢量的方向,对所有可能的参考系写出的能量定律就同时包含了整个运动方程组。在我们讨论过的极限过渡中(到 $c=\infty$ 这事实对牛顿力学的公理结构也保持着它的重要地位,在这种意义上,这一事实已经为 I. R. 舒茨所意识到6

我们可以预先规定长度单位与时间单位之生使速度的自然极限变成 $с=1$。如果我们进一步引入 $\sqrt { - 1 } t = s$ 来代替 $t$ 则二次微分式

$$d \tau ^ { 2 } = - d x ^ { 2 } - d y ^ { 2 } - d x ^ { 2 } - d s ^ { 2 }$$

对于 $x , y , z , s$ 就变成完全对称的;而这种对称性又传给与世界假设不相矛盾的任何定律。于是这假设的本质在数学上就可以十分含蓄地表示成一个奥妙的公式:

$$3 \times 10 ^ { 5 }\text{ 千米}=\sqrt{-1}\text{ 秒}$$

$\S$ 5 —个电子和两个电子的运动

最显著地说明世界假设的优越性的例子,或许就是按照麦克斯韦-洛伦兹理论来指出作某种运动的点电荷所产生的效应。让我们想象一个电荷为 $c$ 的电子的世界线,并引入从任何始点算起的原时 $\tau$。为了找出在任一世界点 $P_1$ 处电子所产生的场,我们作属于 $P_1$ 的前锥(图4)。既然这世界线的方向处处都是类时矢量的方向,这锥显然与世界线交于一点 $P$。在 $P$ 作世界线的切线,并通过珂作这切线的法线 $P _ { 1 } Q$。设 $P _ { 1 } Q$ 的长度为 $r$,则根据前锥的定义,$P _ { 1 } Q$ 的长度一定是 $r/c$。现在沿 $PQ$ 方向上长度为 $e/r$ 的矢量,以其沿 $x,y,z$ 轴的分量代表在世界点 $P$ 处 $e$ 所激发的场的矢量势乘以“而以其沿’轴的分量代表在世界点 $P$ 处 $e$ 所激发的场的标量势。这就是利埃纳和维歇特所表述的基本定律7

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于是在电子所产生的场的描述中,我们看出,场被分为电力与磁力,对基本时间轴来说,这是一种相对的区分。将两种力合起来描述的最清楚的方法是由力学中的偶单力组类推而得的,尽管这种类推并不完善。

现在我要描述一个运动着的点电荷对另一运动着的点电荷的有质动力作用。让我们想象电荷为 $e_1$ 的第二个电子经过世界点 $P_1$ 的世界线。象前面那样规定 $P , Q , r$,然后作 $P$ 处的曲率双曲线的中心 $M$(图4),最后,作从 $M$ 到一直线的法线 $MN$ ,该直线通过 $P$ ,平行 $QP_1$ 。以 $P$ 作为起点,现在我们规定一个参考系如下:$t$ 轴取 $PQ$ 方向,$x$ 轴取 $QP_1$ :方向,$У$ 轴取 $MN$ 方向,最后,$z$ 轴的方向也定义为 $t , x , y$ 轴的垂直线。设 $P$ 处的加速度矢量为 $\ddot { x } , \ddot { y },\ddot { z },\ddot { t }$; $P_1$ 处的速度矢量为 $\dot { x_1 } , \dot { y_1 },\dot { z_1 },\dot { t_1 }$ 第一个运动电子 $e$ 在 $P$ 处作用在第二个运动电子 $e_1$ 上的发动力矢量取下列形式:

$$- ee_1 \left( t _ { 1 } - \frac { \dot { x } _ { 1 } } { c } \right) \Re$$

其中矢量 $\Re$ 的分量 $\Re_x$,$\Re_y$,$\Re_z$,$\Re_t$ 满足以下三个关系式:

$$c \Re _ { t } - \Re_ { x } = \frac { 1 } { r ^ { 2 } } , \quad \Re_ { y } = \frac { y } { c ^ { 2 } r }\quad \Re_z=0,$$

第四个关系是矢量 $\Re_z$ 垂直于 $P_1$ 的速度矢量,它也仅仅是通过这个关系而依赖于速度矢量。

当我们把现在这种陈述与先前关于运动着的点电荷之间的有质动力作用的同一基本定律的那些表述。作一比较,我们就不能不承认,只有在四维世界中,这里所考虑的各种关系才最简单地表现出其内部本质,而在先验地强加于我们的三维空间中,它们所投下的只是一个非常复杂的投影。

在按照世界假设改造过的力学里,牛顿力学与现代电动力学之间令人不安的不协调就自然消失了。在结束之前,我想稍微谈谈牛顿引力定律对世界假设的位置。假定当质量为 $m$, $m_1$ 的两个点描画出它们的世界线时,$m$ 加在 $m_1$ 上的发动力矢量的表达式,与刚才讨论电子时给出的形式恰好一样,只是必须以 $+mm_1$ 代替 $-ee_1$ 而已。现在我们专门来讨论勿的加速度矢量恒为零的情况。让我们这样引入 $t$,使得 $m$ 看作是静止的,并且假设只有 $m_1$ 在 $m$ 产生的发动力矢量的作用下运动。现在若我们修改这个给定的矢量,首先加上因子 $i ^ { - 1 } = \sqrt { 1 - v ^ { 2 } / c ^ { 2 } }$(准确到 $1/c^2$ 阶量时,这因子等于 $1$ ),那么就可以看出8>,对于 $m_1$ 的位置 $x _ { 1 } , y _ { 1 } , z _ { 1 }$ 及其时间变分,我们恰恰又得出开普勒定律,只是 $m_1$ 的原时 $\tau_1$ 代替了时间 $t_1$。由这个简单结论可以看出,在解释天文观察方面,采用与新力学结合的引力定律并不亚于用与牛顿力学结合的引力定律。

有质物体中电磁过程的基本方程也完全可以符合这世界假设。我将在别处证明,为了使这些方程适应世界假设,甚至完全不必放弃洛伦兹所指出的方法,即从电子理论的思想导出这些基本方程。

我想,世界假设毫无例外的有效性是世界的电磁图象的真正核心,由洛伦兹所发现并为爱因斯坦进一步所阐明的这个电磁图象,现在已经十分清楚。在其数学结果的发展中,将会提出大量建议,从实验上来证实这个假设,这样,凭着纯粹数学与物理学之间预先建立的协调思想,甚至足以安慰那些对放弃旧观点抱有反感或感到痛苦的人们。

注释

A. 索末菲

下列注释仅作为附录,以便完全不影响闵可夫斯基的正文。这些注释完全不是本质的,只是为了消除某些数学上的小困难,以免妨碍理解闵可夫斯基的卓越思想,此外并无其他目的。所给的参考文献只限于专门讨论他演说的论题方面的。从物理学观点来看,除了最后关于牛顿引力定律的讨论,在闵可夫斯基的演说中现在还没有任何东西必须取消。在认识论上如何看待闵可夫斯基关于空间时间问题的概念,那是另一回事,但在我看来,这个问题并不涉及他的物理学。

(1) 66页16行“另一方面,刚体的概念仅在满足群 $G_\infty$ 的力学中才有意义。“闵可夫斯基死后一年,他的门生 M. 玻恩在一篇论文(Ann. d. Physik, 30, 1909, p. 1)中从最广泛的意义上证实了这句话。他將相对刚体定义为这样的物体,它的每个体元甚至在加速运动中也经受相应于其速度的洛伦兹收缩。爱伦菲斯特(Phys. Zeitschr., 10, 1909, p. 918)指出,不可能使这样一个物体作转动;赫格洛茨(Ann. d. Phys., 31, 1910, p. 393)和 F. 诺特(Ann. d. Phys. 31. 1910, p. 919)指出,这种物体只有三个运动自由度。还有人尝试定义具有六个或九个自由度的相对刚体。但普朗克(Phys. Zeitschr,, 11, 1910, p. 294) 提出这样的见解,即相对论只能对略带弹性的物体起作用,而劳埃(Phys. Zeitschr., 12, 1911, P. 48)利用闵可夫斯基的方法和文中的图 2 证明在相对论中,每个固体都必须具有一定数目的自由度。最后,赫格洛茨(Ann. d. Physik, 36, 1911, P. 453)提出一个相对论性弹性理论。按照这理论,若物体的运动在玻恩的意义下不是相对刚性的,则弹性张力总是会出现的。所以相对刚体在这个弹性理论中所起的作用和通常的刚体在通常的弹性理论中所起的作用相同。

(2) 67 页21行。“对第二条带来说,若 $dx/dt$ 等于 $v$,则简单的计算给出 $O D ^ { \prime } = O C \sqrt { 1 - v ^ { 2 } / c ^ { 2 } }$。”在图 1 中,令 $\alpha = \angle A ^ { \prime } O A$,$\beta=\angle B ^ { \prime } O A = \angle C ^ { \prime } O B ^ { \prime }$,其中最后两个角的相等是由渐近线对新坐标轴(双

线的共轭径)的对称位置推出的9。由于 $\alpha + \beta = \frac { 1 } { 4 } \pi$,

$$\sin 2 \beta = \cos 2 \alpha .$$

在三角形中 $OD ^ { \prime }C^{ \prime }$,正弦定律给出

$$\frac { O D ^ { \prime } } { O C ^ { \prime } } = \frac { \sin 2 \beta } { \cos \alpha } = \frac { \cos 2 \alpha } { \cos \alpha },$$

或者由于 $OC ^ { \prime } = OA'$,所以

$$O D ^ { \prime } = O A ^ { \prime } \frac { \cos 2 \alpha } { \cos \alpha } = O A ^ { \prime } \cos \alpha \left( 1 - \operatorname { tg } ^ { 2 } \alpha \right).\tag{1}$$

若 $x,t$ 是点 $A'$ 在 $x,t$ 系统中的坐标,则 $x\cdot OA$ 和 $c t \cdot O C = c t \cdot O A$ 分别是它与坐标轴的相应距离,于是我们有

$$x \cdot O A = \sin \alpha \cdot O A ^ { \prime } , c t \cdot O A = \cos \alpha \cdot O A ^ { \prime } , \frac { x } { c t } = \operatorname { tg } \alpha = \frac { v } { \epsilon }.\tag{2}$$

把 $x$ 与 $ct$ 的这些值代入双曲线方程中,我们就得出

$$O A ^ { \prime 2 } \left( \cos ^ { 2 } \alpha - \sin ^ { 2 } \alpha \right) = O A ^ { 2 } , O A ^ { \prime } = \frac { O A } { \cos \alpha \sqrt { 1 - \operatorname { tg } ^ { 2 } \alpha } },\tag{3}$$

1)在图中索末菲似乎以“代替闵可夫斯基的,作为一个坐标了。 一译

所以,由于(1)和(2),得

$$o D ^ { \prime } = o \Delta \sqrt { 1 - \operatorname { tg } ^ { 2 } \alpha } = O A \sqrt { 1 - v ^ { 2 } / c ^ { 2 } }.$$

因为 $ОА = ОС$,这就是所要证明的公式“

此外,在直角三角形 $OCQ$ 中,

$$O D = \frac { O C } { \cos \alpha } = \frac { O A } { \cos \alpha }.$$

所以方程(3)也可以写成

$$OA^{ \prime } = \frac { O D } { \sqrt { 1 - \operatorname { tg } ^ { 2 } \alpha } }\text{ 或 } \frac { OD } { O A ^ { \prime } } = \sqrt { 1 - \frac { v^ { 2 } } { c ^ { 2 } } }.$$

此式和式(4)一起给出比例

$$O D : O A ^ { \prime } = O D ^ { \prime } : O A,$$

由于 $O A = O C ^ { ' }$ 和 $OA=OC$,所以这比例式与 68 页第 4 行所用的

$$O D : O C ^ { \prime } = O D ^ { \prime } : O C$$

完全相同。

(3)69页第21行,“在 $О$ 的前锥与后锥之间的任何世界点,可以利用参考系来安排得使其与 $О$ 同时,但同样也可以安排得使其早于 $O$ 或迟于 $О$。”М. 劳埃(Phys. Zeitschr., 12, 1911, p. 48)由探究爱因斯坦定理(在相对论中,没有任何因果过程能够以大于光速的速度传播,即“信号速度 $\leqslant c$”)的证明而推溯到上述结果。假定事件 $O$ 引起另一事件 $P$,又设世界点 $P$ 位于 $О$ 的两锥之间的区域,在这种情况下,结果会以大于光传播的速度(相对于现在讨论的参考系 $x$ $t$)从 $O$ 传送到 $Р$,当然其中假定了结果 $Р$ 迟于原因 $O$,即 $t _ { p } > O$ 的。而现在照上述引文,参考系可以改变,使 $Р$ 变得早于 $O$,这就是说,参考系 $x ^ { \prime } , t'$,可以用无数种方法选择,使 $t _ { p } ^ { \prime }$ 变得小于零。这是与因果观念相矛盾的。 因此 $Р$ —定要么位于 $O$“之后”,要么处于 $О$ 的后锥上,这就是说,从 $O$ 发出以引起世界点 $Р$ 处第二个事件的一个信号,其传播速度必定 $\leqslant c$。当然,即使在相对论中,也可能定义超光速传播的过程。这一点在几何学上可以用十分简单的方法做到。但是这种过程永远不能做信号,也就是说,不可能任意地引入这种过程和用它来推动远处的继电器。例如,或许存在一种光媒质,在其中“光速“大于 $c$。但在那种情况下,光信号的。另一方面,在所有情况下以及对于任何光媒质的结构,波前总是以速度 $c$ 传播的;(例如参看 A. Sommerfeld, “Festschrift Heinrich Weber,” Leipzig, Teubner, 1912, p, 338 或 Ann. d. Physik 44, 1914, P. 177.)

(4) 70页第 15 行。有一次闵可夫斯基对我说,原时的基元 $dt$ 不是全微分。因此若我们用不同的世界线 1, 2 把世界点 $O$ 和 $p$ 联结起来,则

$$\int _ { 1 } d \tau \neq \int _ { 2 } d \tau$$

若世界线 1 平行于 $t$ 轴,使得在选定的参考系中的第一个转移表示静止,显然

$$\int _ { 1 } d \tau = t , \quad \int _ { 2 } d \tau < t.$$

运动钟之迟于静止钟即取决于此。正如爱因斯坦曾经指出的那样,这个论断是基于以下不可能验证的假定的,即运动的钟实际上指示它本身的原时,即它总是给出对应于任一瞬间的速度(视为常数)状态的时间。为了同世界点P处的静止钟比较,运动钟自然必须作加速运动(速率或方向的改变)。所以动钟迟缓实际上并不表示“运动”,而是表示“加速运动”。于是这就与相对性原理不相矛盾。

(5) 71 页第 14 行。“曲率双曲线”这术语,完全是仿照曲率圆的基本概念而提出的。如果不用实时间坐标 $t$,而用虚坐标 $u=ict$,即 $с$ 倍于闵可夫斯基所用的坐标(见 73 页第 11 行)则这种相似就变成分析上的恒等式了。

根据 69 页,$x,t$ 平面上一条内部双曲线($k=\rho$)具有下列方程:

$$x ^ { 2 } - c ^ { 2 } t ^ { 2 } = \rho ^ { 2 }$$

所以在 $x,u$ 平面上有

$$x ^ { 2 } + u ^ { 2 } = \rho ^ { 2 }.$$

于是当 $\phi$ 表示一个纯虚数的角时,上式可写成参数形式:

$$x = \rho \cos \phi , \quad u = \rho \sin \phi.$$

这样,正如我所指出的(见 Ann, d, Phys.,33, p. 649 $\S$ 8),双曲线运动也可以表示成“圆周运动”,利用这种做法,运动的主要特性(场的传递,某种离心力的出现)就特别明晰地表现出来。对双曲线运动来说,我们有

$$d \tau = \frac { 1 } { c } \sqrt { - d u ^ { 2 } - d x ^ { 2 } } = \frac { \rho } { c } | d \phi |,$$

于是

$$\dot { x } = \frac { d x } { d \tau } = - i c \sin \phi , \quad \dot { u } = \frac { d u } { d \tau } = + i c \cos \phi,$$ $$\ddot { x } = \frac { d \dot { x } } { d \tau } = \frac { c ^ { 2 } } { \rho } \cos \phi , \quad \ddot { u } = \frac { d \dot { u } } { d \tau } = \frac { c ^ { 2 } } { \rho } \sin \phi.$$

所以在双曲线运动中,加速度矢量的长度为 $c^2/\rho$,既然任何给定的世界线都与曲率双曲线在三个点上接触,因此它就具有与双曲线运动相同的加速度矢量,而其长度为 $c^2/\rho$,正如 71 页第 18 行上指出的那样。

圆周运动 $x ^ { 2 } + u ^ { 2 } = \rho ^ { 2 }$ 的中心 $M$,显然是点 $x=0,~u=0$,而所有双曲线上的点都与此中心相隔恒定的“距离”,就是说,具有常值矢径长度。所以,表示图 3 中的间隔 $MP$。

(6)72 页第 9 行。力 $X,Y,Z$ 若要作成一个“力矢量”,就得乘上 $\dot{t} = d t / d \tau$ 这点可解释如下。

依照闵可夫斯基(见 72 页第 16 行)动量矢量由 $m \dot { x } , m \dot { y } , m \dot { x },m\dot{t}$ 加定义,其中 $m$ 表示“常值力学质量”,或者象闵可夫斯基在另一处更明白地指出的那样,表示“静质量”。若我们保留牛顿运动定律(动量对时间的变化率等于力),就得令

$$\frac { d } { d t } ( m \dot { x } ) = X , \quad \frac { d } { d t } ( m \dot { y } ) = \mathbf { y } , \quad \frac { d } { d t } ( m \dot { z } ) = Z$$

乘上 $i$ 就使左边成为闵可夫斯基的意义下的矢量分量。所以 $iX,iY,iZ$ 也是“力矢量”的头三个分量。第四个分量 $T$ 可以由以下的条件确定地推出,即力矢量应垂直于运动矢量。所以当静质量为常值时,质点力学的闵可夫斯基方程是

$$m \ddot { x } = i X , \quad m y = i \mathbf { Y } , \quad m \ddot { z } = i Z , \quad m \ddot { t } = i T.$$

然而只有当物体所包含的能量不因运动而改变时,或者用普朗克的话来说,当运动是“绝热和等容“地发生时,才能保持静质量为常值的假定。

(7) 74 页和 75 页。这里给出的注释的特征,就在于它们完全不依赖于任何特殊参考系。正如闵可夫斯基在74页假设的那样,它们给出“世界线(或世界点)之间的互易关系”作为“物理定律的最完善的表述”例如在 75 页,电动力的势(四元势)就不涉及坐标轴 $x,y,z,t$,除非要照习惯把它分成标量部分和矢量部分。而从相对论的观点来看,这些部分并没有独立的不变性的意义。

作为对闵可夫斯基演说的注释,我曾用闵可夫斯基的方法从麦克斯韦方程导出了四元势的不变的分析形式和两个电子之间的有质动作用,从而给出了关于闵可夫斯基这些解释的另一种见解。在此不详细研究这些,请读者参看我的文章(Ann. d. Phys.,33, 1910, р. 649, $\S$7)或劳埃的著作(“Das Relativitätsprinzip, Braunschweig, Vieweg, 1913, $\S$19.)。也可以同闵可夫斯基关于相对性原理的演说(由我编辑的,见 Ann. d. Phys., 47, 1915, p. 927 )进行比较,其中四元势放在电动力学的开首,这样这理论就化为其最简单形式了。

(8) 74 页第 11 行。用“第二类矢量”(我建议称之为“六元矢量”,这个术语看来逐渐得到承认)以不变的方式表示电磁场是闵可夫斯基关于电动力学的见解中一个特别重要部分,而闵可夫斯基关于第一类矢量(或四元矢量)的思想,在他之前,部分地已由彭加莱考察过了(Rend. Circ. Mat. Palermo, 21, 1906),六元矢量的引入才是新东西。象六元矢量那样,力学的偶单力组(代表一个单独的力和一个力偶)依赖于六个独立参数。既然在电磁场中“分成电力与磁力是一种相对的区分”,那么对偶单力组来说,如所周知,就可以用许多种方法将其分成单个力和力偶。

(9) 75 页第 13 行。闵可夫斯基表述的相对论形式的牛顿定律,在文中提到的那种加速度为零的特殊情况,已包括在彭加莱提出的更一般的形式中(见上述引文)。但另一方面,当考虑到加速度时,闵可夫斯基的表述又比彭加莱的表述前进了一步。闵可夫斯基或彭加莱表述的引力定律表明,可以用许多种方法使牛顿定律与相对论一致起来。牛顿定律通常被当作点定律,所以在某种意义上引力被看成是超距作用。 爱因斯坦从 1907 年起提出的广义相对论使我们对于引力问题得到了更深刻的理解。现在引力不仅被看作是一种场的作用,并由时空微分方程描述的(从现在的观点来看,这似乎是不可反驳的),同时它也和扩充到任何变换的相对性原理有机地联系起来了,而闵可夫斯基与彭加莱只是以比较表面的方式使引力适应了相对性假设。在广义相对论中,时空结构是由引力决定的,或者说,同引力一起确定的。所以利用扩充了的闵可夫斯基的思想可以这样来表述相对性原理,即假设了物理量关于一切点变换的协变性,使得进入物理定律的是不变线素的一些系数。

(10) 76 页第 4 行。闵可夫斯基发展了 “有质物体中电磁过程的基本方程“(见 Göttinger Nachrichten, 1907)。但他没有来得及完成“在电子理论基础上导出这方程”的工作。他在这方向上的尝试,已为 M. 玻恩所实现,并和“基本方程“一起收集在 Otto Blumenthal 所编辑的论文集第一卷中(莱比锡,1910)。

脚注:

  1. 这事实的主要方面的应用,早已由 W. Voigt 给出,见 Göttinger Nachrichten, 1887, p. 41.

  2. A. Einstein, Ann. d. Phys., 17, 1905, p. 891;Jahrb. d. Radioaktivitat und Elektronik, 4, 1907. p. 411

  3. M. Planck, “Zur Dynamik bewegter Systeme,” Berliner Berichte, 1907, p. 542,或见 Ann. d. Phys., 26. 1908, p. 1.

  4. H. Minkowski,“Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern,” Göttinger Nachrichten, 1908, p. 53.

  5. H. Minkowski, 同本注释 4 的文献,p. 107,或参看 M. Planck, verhandlungen der Physikalische gesellschaft, 4, 1906, p. 136.

  6. I. R. Schütze, “Das Prinzip der absoluten Erhaltung der Energie”, Göttinger Nachr., 1897, p. 110.

  7. A. Liénard, Champ électrique et magnétique produit par une charge concentrée en un point et animée d’un mouvement quelconque, L’éclairage Electrique ´ 16 1989. pp. 5,53, 106; E. Wiechert, “Elek. trodynamische Elementargesetze”, Arch. néerl. (2), 5, 1900, p. 549.

  8. K. Schwarzwald, Göttinger Nachr., 1903, p. 132;H. A. Lorentz, Enzykl. d. math. Wissensch., V, Art., 14, p. 199.

  9. H. Minkowski,同注释 8 的文献,p. 110.

  10. 在图中索末菲似乎以“代替闵可夫斯基的,作为一个坐标了。——英译

来源: 相对论原理,A.爱因斯坦 等著,赵志田,刘一贯 译 孟昭英 校,科学出版社 1980-2