怀着对音乐剧《油脂》（《Grease》¹）的歉意²，数学与音乐就像该剧男女主人公一样，随着片尾曲走到了一起³。你只需浏览订阅号Plus，就知道几个世纪以来，这两个词（数学和音乐）之间的联系是如何吸引研究人员的——（点击这里阅读Plus上所有数学与音乐标签的文章）。

来自佛罗里达州立大学的 Clifton Callender、耶鲁大学的 Ian Quinn 和普林斯顿大学的 Dmitri Tymoczko（均为音乐教授）开发了一种基于音乐结构中的数学、称为“几何音乐理论”的新方法。

几何音乐理论中的四音符和弦 - （和弦）音符的集合形成了一个四面体⁴，其中，构成四面体的小球（即和弦）的颜色表示和弦序列中各个音符之间的间距（音程）。颜色越冷（越蓝），音符之间音程越短；颜色越暖，音符之间的音程越大。位于金字塔（四面体）顶端的红球代表一个减七和弦，其周围的小球都代表西方音乐中最常用的和弦⁵。

他们的文章《几何音乐理论》发表在 4 月 18 日的《科学》杂志上，文章将其理论概括为，所有的音乐操作（行为），如转调，可以视为一种N维空间中的对称性⁶。

他们利用数学中“族”的概念，将诸如和弦、节奏和音阶等音乐序列⁷进行分类。这些族可以表示为复平面上的点，不同类型的族生成不同的几何空间。作者声称，此方法能让研究人员更深入地对音乐进行分析，并了解音乐如何随时间变化。他们还表示，尽管有一些音乐是非西方风格，该理论还是侧重于对多数西方风格的音乐进行比较。这是因为，该理论建立在诸如“和弦”等概念的基础之上，这些概念存在于几乎所有的西方风格音乐中，但并非所有非西方风格的音乐都包括这些概念。

几何音乐理论的基础体现在，对于描述上因场景而异但本质上相同的音乐事件，它提供了一个一致的数学框架。例如，音名“C”后面跟（在于其上的）音名“E”和音名“G”（形成了一个序列，即音乐事件，music event），可以描述为：一个“C大调和弦”、一个“C大调上行琶音”、一个“大调和弦”等等。作者描述了对（和弦）音符集合的五种不同的分类方法。这些方法被称为“OPTIC对称性”，其中，OPTIC的每一个字母代表一种不同的分类方法，如，观察音符位于哪个八度音阶、音符的演奏顺序、或者每个音符的演奏次数。每种分类方法只侧重音乐的一个方面，而忽略其他的方面。5种对称性下的分类结合在一起就可以创造出不同的音乐概念，有些可能是我们所熟悉的，有些也可能是新的。三音符和弦会形成一个三角形的环，而其他类型的和弦则会形成一个锥体表面。

Tymoczko 认为他们的理论可以用来研究不同音乐风格之间的差异。他说：“我们的方法可能不足以区分史密斯飞船合唱团和滚石乐队之间的风格差异，但是可能会让你想象一下约翰 · 列侬和保罗 · 麦卡特尼之间的一些差异，并且，它确实可以帮助你更深入地了解古典音乐与摇滚乐之间的关系，以及它和无调性音乐之间的差异。”

作者甚至希望通过他们的研究，可以发明出新的乐器。Tymoczko 说：“你可以创造出新的乐器或玩具”。他还憧憬了新的视觉秀来为音乐“伴奏”。“想象一下去听一场可以被转换为视觉盛宴的古典音乐会”。

所以下次你去看一场视觉上壮观的麦当娜或凯莉的秀时，看看大屏幕——你可能会学到一些数学知识！

深入阅读

• The magical mathematics of music;

• Career interview: computer music researcher;

• Natural frequencies and music;

• Music and Euclid's algorithm;

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注释：

1. 《Grease》（《油脂》）是一部好莱坞经典摇滚音乐剧，由美国作曲家吉姆·雅克伯斯和沃伦·卡塞创作于1971年，并于1972年2月14日情人节在曼哈顿东区的外百老汇剧院首演。↩

2. 这里用“怀着对…的歉意”主要是表达一种客气的语气。↩

3. “rama lama lama ke ding a de dinga a dong”这里代指音乐剧《油脂》的片尾曲（一段歌词），这段典故可以参照《生活大爆炸》第五季：第17集 谢尔顿和同事的办公室之争（下）中的台词。此处这种说法主要是想表达研究人员发现数学和音乐之间的联系并不容易（如后文所说研究延续了几个世纪），就如同音乐剧中男女主人公历经艰辛后走到一起。↩

4. 构成四面体的元素为一个个小球体，一个小球体表示一个和弦。↩

5. 这个很容易理解，西方音乐中最常用的一般是三和弦、七和弦等，也就是一个和弦中音符之间的音符多为三度（大三度或小三度），这只可能存在于暖色调小球体上（因为蓝色小球体所代表的和弦中音符的音程太小，为二度甚至零度）。↩

6. 转调是最容易理解为对称的音乐操作。如，按照固定调唱名法，C大调7个音符唱作C,D,E,F,G,A,B，D大调7个音符唱作D,E,F^#,G,A,B,C^#。但在首调唱名法下，均唱作“Do、Re、Mi、Fa、So、La、Si”，换句话说，无论怎么转调，将第一个音唱为Do，则后面音符唱名不变，体现为一种对称不变性。↩

7. 这里用“序列（sequence）”这个词的原因是，无论和弦、节奏还是音阶，都体现为一些基本元素（音符或拍子）的顺序组合，即为序列。↩