椭圆函数正篇:Gauss与AGM(5-1)


[注:图片来自Wikipedia,摄于 1884 年,Gauss 就出生在这栋房子里。这栋房子已经毁于二战的炮火。]

根据 Gauss 与 Bolyai 之间的书信往来 (1798 年 10 月以及 1799 年 12 月)[Dunnington 的 Gauss 传记Carl Friedrich Gauss: Titan of Science,p. 34-37] 以及Gauss 本人的记录, 我们知道 Gauss 早在 1798 年 10 月就往来于家乡 Braunschweig 与 37 公里外的 Helmstedt 之间。Helmstedt 给 Gauss 本人留下了不错的印象,这大概还要归功于Johann Friedrich Pfaff。Pfaff 本人是 Helmstedt 大学的教授,他非常慷慨地允许 Gauss 借阅自己所藏的书籍,Gauss 本人对 Pfaff 的学识与为人也十分赞赏。次年 12 月,Gauss 再次从 Braunschweig 来到 Helmstedt。这次他在 Pfaff 家租了一个房间住下,有可能一直住到来年的复活节。根据 Dunnington 的记载,Pfaff 家的人一天只能在傍晚见到 Gauss 几个小时,其他时间他都在自己的屋子里埋头做研究。Gauss 也会和 Pfaff 一起外出散步,聊天的内容大概也全是学术相关。

Gauss 在 Helmstedt 期间无疑在发展 AGM 与椭圆积分的理论,但在此前,也就是 1799 年 6 月到 11 月期间 Gauss 为此做了多少铺垫我们是完全不清楚的。Gauss 日记上紧接着5 月 30 日发现的下一条记录就已经到了 9 月,这一条是关于几何学基础的记录。再下一条记录就到了 11 月 [记录地点:Braunschweig],Gauss 宣称自己发现了很多 AGM 的新性质,至于这些性质是什么,他在日记中什么也没说。可以想象,Gauss 在 1799 年 11 月做出一些发现后,先在Scheda Ac以及日记上留了一些记录,随后就收拾行装去了 Helmstedt。想必Scheda Ac的相当一部分内容以及若干同时期的稿件都是 Gauss 在 Helmstedt 停留期间完成的。


根据 Schlesinger 的记载,Scheda Ac开始的几页是球面几何学和空间解析几何的计算。第一条关于椭圆函数的计算是我们前面已经提及的关于 $\frac {\varpi}{\pi}$ 的若干级数表示。Gauss 写下这些级数有可能意味着他在 Braunschweig 的时候就已经意识到了AGM 与一般椭圆积分的关联

在写下一条 $\frac {1}{\sqrt {1-z\cos\varphi}}$ 关于 $\varphi$ 的 Fourier 级数展开的记录之后,Gauss 写下了一个 $M (1,x)$ 的渐进展开式 [Gauss 全集第十卷第一册,186 页]:

$$M (1,x)=\frac {C (x-\alpha x^{-1}-\beta x^{-3}-\gamma x^{-5}-\cdots)}{\log (4x-ax^{-1}-bx^{-3}-cx^{-5}-\cdots)}$$

Gauss 同时标注,这一渐进展开式适合计算当 $x$ 很大时 $M (1,x)$ 的值。

我们既不清楚 Gauss 是如何得到这个渐进展开式的,也不清楚 Gauss 是什么时候得到这个展开式的。Gauss 1799 年 12 月 14 日在 Helmstedt 写下的日记是这样的:

Medium arithmetico-geometricum tamquam quotientem duarum functionum transcendentium repraesentabile esse iam pridem inveneramus:……我们在很久以前就发现算术几何平均可以写成两个超越函数的商:……

我们完全不清楚 Gauss 为什么要用iam pridem(for a long time) 这个词来形容自己的这个发现。这是什么时候的发现呢?是几个月,还是几年以前呢?Schlesinger 认为,Gauss 的渐进展开来自Euler 关于椭圆弧长的研究。Schlesinger 的猜想成立的前提是 Gauss 知道 $\frac {1}{M (1,x)}$ 满足一个二阶常微分方程,然而根据 Gauss 遗稿以及 Gauss 日记 [可以解读的那一部分],没有任何迹象表明,Gauss 在 1799 年 5 月之前就知道这个结论,我们也无法确定 Gauss 在 1799 年 6 月到 10 月在 AGM 和椭圆积分方面做过何种研究。Gauss 把这些秘密都带到坟墓里去了。

如果遵循 Schlesinger 的思路,我们可以把 $M (1,x)$ 在 $x\rightarrow+\infty$ 时的渐进特性转化为研究 $M (1,x)$ 在 $x\rightarrow 0^{+}$ 时的渐进特性 (为什么?)。根据 $\frac {1}{M (1,x)}$ 满足的微分方程和Euler 的思路,我们可以得到当 $x\rightarrow 0^{+}$ 有 $\frac {1}{M (1,x)}=f_1 (x)+f_2 (x)\log (x)$,$f_1,f_2$ 是两个幂级数。再根据上篇最后的结论,我们可以确实可以进一步写下:当 $x\rightarrow 0^{+}$,我们有

$$M (1,x)=\frac {\pi}{2}\frac {(1-a_1x-\cdots)}{\log (4/x-c_0-c_1x-\cdots)}=\frac {\pi}{2}\frac {g_1 (x)}{\log (g_2 (x))}$$。

[2019. 2. 16 补注:说 Gauss 在 1799 年之前就得到 $M (1,x)$ 在 $x\rightarrow+\infty$ 时的特性并不是毫无根据。我们在Gauss 与 AGM (IV-2)中引用过 Gauss 的计算,Gauss 除了计算正向 AGM 以外还计算了反向的 AGM。Gauss 大有可能从反向 AGM 迭代中归纳出:当 $x\rightarrow 0^{+}$ 时 $M (1,x)\sim\frac {C}{\log {4/x}}$(这里 C 是待定常数),然后根据我们下面的论述导出 $M (1,x)$ 的渐进展开。]

Gauss 在写下他的渐进表达式后,还给出了级数 $g_1,g_2$ 的头几项的系数。Gauss 仍然没有给出计算这些系数的方法,但是我们有理由认为,下面的方式更便于各项系数的计算 [而非直接利用 Euler 1749 年现成的关于椭圆弧长的结果]:

我们知道 $M (1,x^2)=\frac {1+x^2}{2} M (1,\frac {2x}{1+x^2})$。所以

$$\frac {g_1 (x^2)}{\log (g_2 (x^2))}=\frac {(1+x^2) g_1 (2x/(1+x^2))}{2\log (g_2 (2x/(1+x^2)))}$$

一个合理的猜测是 [其实也没有其他的可能了]

$$g_1 (x^2)=(1+x^2) g_1 (\frac {2x}{1+x^2})$$

$$g_2 (x^2)=\left (g_2\left (\frac {2x}{1+x^2}\right)\right)^2$$

根据这两个函数方程以及级数的首项系数,我们可以解出对应的级数各项的系数,从而得到 Gauss 的结果:

$$g_1 (x)=1-\frac {1}{4} x^2-\frac {5}{64} x^4-\frac {11}{256} x^6-\cdots$$

$$g_2 (x)=\frac {4}{x}-x-\frac {9}{32} x^3-\frac {19}{128} x^5-\cdots$$


得到渐进展开足够多的系数后,Gauss 计算了 $2g_1 (1/2)$,发现它在数值上近似等于 $M (1,3)$,这一观察引导他写下 [我们这里是用等价的形式叙述的,原本的形式见 Gauss 全集第十卷第一册,187 页]

$$g_1 (x)=M (1,\sqrt {1-x^2})=\left (\frac {2}{\pi}\int_{0}^{\pi/2}\frac {\mathrm {d}\varphi}{\sqrt {1-x^2\sin^2\varphi}}\right)^{-1}$$

分子 $g_1$ 的解释来得很快,但是分母中 $g_2$ 的解释来得要慢得多。

$$g_2$$ 的真正的解释可能来自两个主题的切入。当我们看到 $g_1$ 的倒数有简洁的级数展开式以后,我们就会考虑 $g_2$ 的倒数,计算可得

$$z=\frac {1}{g_2 (x)}=\frac {x}{4}+\frac {x^3}{16}+\frac {17x^5}{512}+\cdots$$

Lagrange 方法我们也可以算出这个级数的反函数的级数展开 [这不是 Gauss 在Scheda Ac中计算过的唯一的幂级数的反函数]

$$x=4 z-16 z^3 + 56 z^5-160 z^7+\cdots$$

级数的系数这次全是整数 [至少前几项是这样],但是到这里仍然很难看出它究竟是什么。

为了解释这个级数,我们还得回到 Leiste 笔记。Klein 在 1903 年给 Leiste 笔记的年代定为“大多数记录的时间不晚于 1798 年”。不过其中有一些 AGM 与椭圆弧长的关系的笔记[见 Gauss 全集第十卷第一册,178-180 页],这在 1799 年 5 月 30 日 Gauss 意识到 AGM 与椭圆积分的关系之前是不大可能出现的。Schlesinger 最后在 Gauss 全集第十卷中把包含这些笔记的一组笔记归结为 1799 年夏天 Gauss 的研究记录 (其实这个假设的正确性也是无法证实的,毕竟没有旁证)。这一组记录中有一条是这样的 [见 Gauss 全集 177 页]:

$$\mathrm {Peripheria\,Ellipseos}\\ =1-\frac {1\cdot 1}{2\cdot2} B^2-\frac {1\cdot 1\cdot 1\cdot3}{2\cdot2\cdot4\cdot4} B^4\,\mathrm {etc.}\\ B+\frac {1}{4} B^3+\frac {9}{64} B^5+\cdots=(2z^{1/2}+2z^{9/2}+\cdots)^2=r^2$$

[注:Gauss 在关于 AGM 的反向迭代的记录中经常把 $\sqrt {a^2-b^2}$ 写作 $B$。]

第一个代数式正与长短半轴为 $a,b$ 的椭圆弧长相关。但第二个代数式是之前从未出现过的主题。左边是椭圆积分,而右边是Theta 函数。这个主题的动机是什么?

---Gauss 全集的编辑Ernst Christian Julius Schering对 Gauss 的分析学工作有如下评论 [Gauss 全集第三卷,493 页]:根据口头记载,Gauss 早在 1794 年就知道 AGM 与 Theta 函数间的关系。

如果 Schering 的记载可靠,那么我们有

$$\mathrm {Theta}\Longleftrightarrow \mathrm {AGM}\Longleftrightarrow \mathrm {Elliptic\,Integral}$$

以 AGM 为中心,我们就可以建立 Theta 函数与椭圆积分间的关系。

---第二种可能性来自 1798 年Scheda Aa的记载。实数 $\frac {\varpi}{\pi}$ 有三种截然不同的表示方法:

1) 椭圆积分的幂级数表示

$$\frac {\sqrt {2}}{2}\left (1+\frac {1\cdot1}{2\cdot 2}\frac {1}{2}+\frac {1\cdot1\cdot3\cdot3}{2\cdot 2\cdot 4\cdot 4}\frac {1}{2^2}+\cdots\right)$$

2) AGM

$$\frac {1}{M (1,\sqrt {2})}=\frac {\sqrt {2}/2}{M (1,\sqrt {2}/2)}$$

3)$(1-2e^{-\pi}+2e^{-4\pi}-\cdots)^2$

$$(2e^{-\pi/4}+2e^{-9\pi/4}+2e^{-25\pi/4}+\cdots)^2$$

如果我们记 $x^{\prime}=\sqrt {1-x^2}$,根据 AGM 与椭圆积分之间的关系,我们倾向于把表示 2) 一般化为 $\frac {x}{M (1,x^\prime)}$ 或 $\frac {x^\prime}{M (1,x^\prime)}$。而表示 3) 可以一般化为 [写成下面这样是为了技术上的便利]

$$(1-2\bar {z}+2\bar {z}^4-\cdots)^2$$ 或 $(2\bar {z}^{1/2}+2\bar {z}^{9/2}+2\bar {z}^{25/2}+\cdots)^2$

我们在上篇中已经给出了椭圆弧长的级数和 AGM 的表示。如果我们把表示 3) 也放进来,试图用形式变量 $\bar {z}$ 来表示椭圆弧长,那么我们必须作反演,将 $x$ 表为 $\bar {z}$ 的级数。为此,技术上选择

$$\frac {x}{M (1,x^\prime)}=(2\bar {z}^{1/2}+2\bar {z}^{9/2}+2\bar {z}^{25/2}+\cdots)^2$$

是最为合适的 (为什么?)。用Lagrange 方法进行级数的反演,我们可以写出 [请有兴趣的读者自己尝试用 Lagrange 方法进行反演]

$$x=4 \bar {z}-16 \bar {z}^3 + 56 \bar {z}^5-160 \bar {z}^7+\cdots$$

这就暗示我们:

$$\bar {z}=z=\frac {1}{g_2 (x)}=\exp\left (-\frac {\pi}{2}\frac {M (1,x^\prime)}{M (1,x)}\right)$$

反过来有$\frac {x}{M (1,x^\prime)}=(2 {z}^{1/2}+2 {z}^{9/2}+2 {z}^{25/2}+\cdots)^2$

敏锐的读者必然会发问:$(1-2e^{-\pi}+2e^{-4\pi}-\cdots)^2=\frac {\varpi}{\pi}$ 该怎么解释与推广?为此我们就被引导着去计算

$$x^\prime=\sqrt {1-x^2}=1-8z^2+32z^4-96z^6+\cdots$$

$$\frac {1}{M (1,x^\prime)}=1+4z^2+4z^4+4z^8+\cdots$$

$$\frac {x^\prime}{M (1,x^\prime)}=1-4z^2+4z^4+4z^8-\cdots=(1-2z^2+2z^8-\cdots)^2$$

从形式上我们立刻就可以联想到

$$\frac {1}{M (1,x^\prime)}=(1+2z^2+2z^8+\cdots)^2$$

这一系列观察导出数量相当可观的等式。我们会选取一些放在本篇末尾。


上面的叙述肯定不能说明 Gauss 全部的思考过程,实际上 Gauss 付出的努力肯定要比他在Scheda Ac中写下的要多的多。Scheda Ac中有一个 $M (1,\sin \varphi)$ 近似值的表格 [Gauss 全集第十卷第一册,189 页] 。Gauss 在 $(0^\circ,90^\circ)$ 内以 $5^\circ$ 为间隔取了 17 个点进行 $M (1,\sin \varphi)$ 的数值计算,每个值至少精确到小数点后 7 位。此外还有数量可观的代数式计算和其他类型的各种数值计算。不过对比Scheda Ac以及 Leiste 笔记,我们可以看到 Gauss 这样长于计算的人也会在复杂的计算上犯错。经过反复的尝试 [这一段时间 Leiste 笔记和Scheda中的记号不太稳定,级数展开的系数也时有错误],Gauss 才找到合适的进攻路线。我们需要感谢 Gauss 全集的编辑 Schlesinger,Fricke 与 Schering 付出的巨大努力,让我们今天能够有幸接触到 Gauss 施工时的一部分脚手架 [至少我们离伟人又近了一点!]。

Remark:就历史文献的整理而言,Gauss 全集最初的编辑 Schering 不及 Schlesinger 负责。在 Gauss 全集第十卷中 Schlesinger 标出了所有 Gauss 手稿的出处以及页数,同时按不同的内容进行分组,而 Schering 则是按自己的意思组合 Gauss 不同年代手稿的内容,对于手稿的出处的标注也不及 Schlesinger 细致。

Remark2:Gauss 在Scheda Ac中观察到 [Gauss 全集第十卷第一册,188 页]$\frac {M (1,\sin 75^\circ)}{M (1,\sin 15^\circ)}=\sqrt {3}$。这是一个非平凡的结果,但 1799 年的 Gauss 很可能无法给出这个结果的证明。

Remark3:Scheda Ac中出现了密码 $\mathrm {GALEN}$,它出现在宣称 $g_1 (x)=M (1,\sqrt {1-x^2})$ 的记录当中 [Gauss 全集第十卷第一册,187 页]。类似于这样的加密记录还有一处,那就是 Gauss 1796 年 10 月 21 日的日记 $\mathrm {Vicimus\,GEGAN}$(我们征服了 GEGAN,这一缩写还出现在 Gauss 日记的内封中)。$\mathrm {GEGAN}$ 一词的含义一直得不到靠谱的解释。1997 年 5 月 H. Grosser 在哥廷根天文台找到了 Gauss 的一张草稿纸,草稿纸上写着 Gauss 的签名,$\mathrm {GEGAN},\mathrm {NAGEG}$ 以及双纽线的图样,数学史家 Kurt Biermann 据此推定,$\mathrm {GEGAN}$ 即为Nexum mediiArithmetico-GeometricumExpectationibusGeneralibus 的缩写。也就是说,这条记录是一条关于 AGM 的记录!然而就其所指的具体内容数学史家大概很难达成一致的意见。作者很好奇:Gauss 在 1796 年 10 月还没有开始系统研究双纽线积分之前的时候能够证明什么样的关于 AGM 的结论。

[作者的无责任猜想:Gauss 的iam pridem指的就是 Vicimus GEGAN!当然这只是猜想 (虽然并不是完全不靠谱:-P)]

思考题:Gauss 在Scheda Ac中写下的一组公式可以用我们的记号写为

$$\begin {align}\frac {1}{M (1,x^\prime)}&=p^2+q^2\\\frac {x}{M (1,x^\prime)}&=2pq\\\frac {x^\prime}{M (1,x^\prime)}&=p^2-q^2\end {align}$$

$$p,q$$ 是 $z$ 的幂级数。试求 $p,q$ 的幂级数表达式。

作者: rainbow zyop