从小上音乐课，老师就教我们 do、re、mi、fa、sol、la、si，大家知道这七个音都是怎么来的吗？这里面其实有很有趣的数学和物理原理，我们一起来了解一下。

1. 五度相生法

从 2000 多年以前，文明诞生之初，音乐就产生了。古希腊时代，有一位著名的音乐家，同时也是数学家和哲学家，他就是毕达哥拉斯。

传说有一次毕达哥拉斯在街上走路，听到有铁匠在打铁，打铁的节奏非常优美。回到家之后，毕达哥拉斯细心的研究铁匠打铁的节奏，发现当打铁的频率是 2：1，3：2 和 4：3 的三种比例时，声音配合起来非常好听。于是，毕达哥拉斯决定使用这三种比例创造一种音律系统，这就是五度相生法。

我们知道，声音的音调高低取决于声音的频率，所谓频率就是指每秒钟振动的次数。频率越高，音调就越高，频率越低，音调也越低。人的耳朵能够听到的频率范围是 20Hz 到 20000Hz，称之为可闻波。频率低于 20Hz 叫做次声波，次声波听不到，但是却会引起人内脏的共振，对人产生伤害，在地震、原子弹爆炸等情况下会产生次声波。频率高于 20000Hz 称为超声波，超声波可以用来透视人体内部、击碎人体内的结实等，医疗上有很大的用处。有些动物能够听到的频率范围比人大得多。

对于弦乐器，声音的频率取决于弦长、拉力和线密度三个因素。毕达哥拉斯设计了一种类似古琴的乐器。每根弦的粗细不同，再挂上不同的重物改变拉力，就可以获得不同的发声频率。也可以控制重物的重量不变，改变弦长，同样可以改变发声频率。

于是，毕达哥拉斯出于对美的追求，规定了 7 个音节的频率关系，这就是五度相生法。一个不太严格的步骤是：

如果两个音差 8 度，则高低音的频率比为 2：1；

如果两个音差 5 度，则高低音的频率比为 3：2；

如果两个音差 4 度，则高低音的频率比为 4：3。

我们可以用现代的语言把毕达哥拉斯的方法描述如下：把不同的音调写作 C、D、E、F、G、A、B，在 C 大调中，它们就表示 do、re、mi、fa、sol、la、si。下一个 C 就称为高音 do。

1. 两个 do 之间相差 8 度，如果第一个 do 频率是 f，则第二个 do 频率就是 2f。

2. do 和 sol 之间相差 5 度，如果 do 的频率是 f，则 sol 的频率是 3f/2，re 和 la、mi 和 si、fa 和高音 do 也是一样。

3. do 和 fa 之间相差 4 度，如果 do 的频率是 f，fa 的频率就是 4f/3，re 和 sol、mi 和 la 之间的关系也是这样。

不过，五度相生法并非完美和谐，例如两个相邻音之间的频率比：re 和 do 之比为 9：8，mi 和 re 之比也是 9：8，但是 f 和 mi 之间的比例是 256：243，与之前不同。再比如，fa 和 si 之间也相差 4 度，但是频率比却不满足 4：3 的关系。不过，人们依然承认毕达哥拉斯是第一个提出七个音阶的音乐家，他只用了三个简单的有理数，就定义出了完整的音律系统。

2. 三分损益法

比毕达哥拉斯早 100 多年，中国的管仲也提出了自己的音律系统，称为三分损益法。三分损益法的结果与五度相生法差不多，但是管仲只提出了五个音，分别是：宫、商、角、徵、羽。

我们以笛子为例。在吹笛子时，空气柱振动，产生声音，声音的频率与空气柱的长短有关：空气柱越短，振动频率越高，音调也越高。比如我们在一个瓶子里装不同高度的水，用嘴吹瓶口，就会发现水越多、空气柱越短，频率越高。

如果一根笛子发出的声音频率是 f，将笛子的长度平均分为三份，减少其中的一份，这样一来获得一个高音。现在我们知道，这个音的频率是 3f/2；如果把笛子的长度增加三分之一，就称为益，就会获得一个低音，频率为 3f/4。管仲经过反复的损益，获得了五个音阶。

如果我们将“宫”的频率定为 f，那么经过一次“损”，获得频率为 3f/2 的“徵”；再经过一次“益”，获得频率为 3f/2 ×3/4=9f/8 的“商”；再经过一次损，得到频率为 9f/8 ×3/2=27f/16 的“羽”；再经过一次益，得到频率为 27f/16 ×3/4=81f/64 的“角”，它们与五度相生法得到的音阶对应关系如下:

我们会发现管仲的音律系统少了 fa 和 si 两个音阶。

3. 十二平均律

无论是毕达哥拉斯还是管仲，它们都采用了 2：1，4：3 和 3：2 三个数字来定义音阶，但是这样的方法都面临一个问题：相邻音阶之间的频率比不相同。这样一来，如果需要做音乐上的转调，就很不方便。所谓转调是指将 do 的位置进行改变，例如 C 大调是将中音 C 定为 do，而 A 大调则是将 A 定为 do，两个 do 的基础频率不同，按照上述方法，后面的 re、mi、fa、sol 等音，音调的升高比例也不同。

如何解决这个矛盾呢？在现代，最流行的音律系统叫做十二平均律。这种方法虽然繁荣于西方，却是一个中国的皇族最早发明的。这个人叫作朱载堉，朱元璋第九代孙，郑王朱厚烷嫡子。本应继承王位，但是七次拒绝王位，潜心学问，成为我国著名的律学家、音乐家、数学家、物理学家和天文学家。

朱载堉认为：要让音乐和谐动听，必须保证所有相邻的音阶音高相差相同，也就是频率之比相同。一个八度内频率相差两倍，如果将其分成 12 份，每一份应该相差 2 的十二次方根。为此，朱载堉利用一个八十一位的超大算盘，计算了这个值，并精确到小数点后第二十五位。

使用这种音律系统，无论如何转调，都可以保证音乐节奏的优美动听。后来这种方法通过意大利传教士传教士传到西方，并经过西方音乐家巴赫等人的努力，最终发扬光大。

现代音乐大部分是基于十二平均律的。例如钢琴有 88 个按键，每个八度中有 12 个按键，就分别对应了以上的频率关系。

每一个八度的白键称为主音，在 C 大调中唱名是 do、re、mi、fa、sol、la、si；黑色的按键称为半音，C 和 D 之间的黑键称为升 C（C#）或者降 D（Db）。每两个相邻的按键之间，频率约为 1.059，无论这两个按键是两个白键还是一个白键和一个黑键。相邻的两个八度同名音之间的频率比为 2：1。

4. 不同频率的物理实现

最后还要介绍一下不同频率的声音是如何从乐器中发出来的。在文章最开头已经提到，对于弦乐器，声音的频率是由于弦振动产生的，而弦的振动频率与弦长、拉力和单位长度的质量（线密度）有关。

波在传播过程中，每一个质点在平衡位置附近振动，振动的频率就是波的频率 f，它表示一秒内质点会振动多少个周期。一个完整波形的长度称为波长λ，表示一个周期内波向前传播的距离。这样，我们就可以计算出波的速度了，只需要用波长除以一个周期的时间即可。最终得到公式：波速等于波长乘以频率

具体来分析：一根长度为 L 的弦，在振动过程中会形成振动剧烈的部分——波腹，和不振动的部分——波节。一根弦可以形成多种振动形式，实际的振动形式是这些振动的叠加。不过，只有一个波腹的振动是最主要的，多数能量都集中在这个振动形式，我们称之为基频。其他的波能量较弱，称之为泛音。由于泛音比例的不同，乐器的音色就会不同。对于基频波，弦长只有波长的一半，所以波长λ=2L。

而且，根据物理学公式，波在弦中传播速度与拉力 T 和线密度ρ有关，关系是：

如此，我们代入公式，就可以得到基频的频率

通过这个公式，我们就可以知道三个因素是如何影响频率的了。如果将弦长增大，频率就会降低。弦长变短，频率就会变高。钢琴发音是因为一个小锤敲击钢丝，钢丝的长短不同，发音频率就不同。

对于同一根弦，用手按住不同的位置，也可以改变弦长，于是就可以发出不同的音。小提琴演奏的时候用左手按住弦上不同的位置，就是为了改变弦长。

如果改变拉力，也可以影响发音频率，拉力越大，频率越高。国际标准音将中音 A 定为 440Hz，其他音按照十二平均律依次确定。调音师在调音时，就是改变弦上的张力，使各个弦的发音接近标准。

还有一个影响因素是线密度，比如吉他所有的弦长度都差不多，但是粗细不一样。细的线线密度小，发音频率高；粗的线线密度大，发音频率低。

大家看，音乐中也有许多有趣的数学和物理知识是不是？不仅如此，人的耳朵听到的声音其实是许多频率音的混合，而大脑可以以极高的速度对这些声音做傅里叶变换，从而让我们进行理解。这些知识，我们后面再给大家介绍。