有限群表示一百年


*原文标题 Representations of Finite Groups:A Hundred Years, 分两部分刊载于 Notices of the AMS 第 45 卷 (1998) 第 3 期和第 4 期。第一部分由丘维声教授译,冯绪宁校,第二部分由冯绪宁译,王平校,刊载于《数学译林》1999 年第 1 期和 2002 年第 4 期。感谢加州大学伯克利分校林节玄教授、北京大学数学系丘维声教授、中科院数学所冯绪宁教授以及 《数学译林》编辑部授权本站转载。编者对文字略有改动。文字与公式的初步录入由西北农林科技大学理学院数学系 2015 级张子梦、李怡琳等同学合作完成,由林开亮整理,张浩校对。

第一部分

引言

任何一门学科领域里的数学概念的发现和发展常常要经过一段时间,因此通常无法为某个发现指定具体的日期。但是有几个情形,一个发现可能与具有唯一的或具体性质的事件伴随,使得这个发现本身能够与那个事件等同。这方面的一个众所周知的例子是 Hamilton 发现四元数,这总是与他在 1843 年 10 月 16 日沿着都柏林皇家运河的著名的散步联系在一起。他把四元数满足的关系式刻在布鲁厄姆桥的一块石头上,这使得 1843 年 10 月 16 日作为四元数的诞生日而被永远写进数学史中.

50 年后,另一个事例成为关注的焦点——有限群表示论的创立. 1896 年 4 月 12 日,F. G. Frobenius 给 R. Dedekind 写了第一封信,叙述他在分解与一个有限群相联系的某个齐次多项式的新的想法,这个齐次多项式称为“群行列式”. 他接着很快又写了两封信 (在 1896 年的 4 月 17 日和 4 月 26 日). 到那年 4 月底,Frobenius 有了有限群的特征标理论的雏形,群表示这一概念的完全发展必须再花一些时间,但是 1896 年 4 月著名的 Frobenius–Dedekind 的短暂交往现在被历史学家兴奋地称为标志有限群表示论诞生的极为重要的事件.

作为代数学的一名学生,我一直被群表示论迷住. 30 年前我写博士学位论文时,我涉猎了这一学科,并且此后我一直是这一学科的使用者和赞赏者。当我认识到 1996 年 4 月是有限群表示论发现的一百周年纪念日时,某种“庆祝”这一时刻的诱惑是强烈的。完全偶然地,1996 年 3 月,我接到我们系的学术讨论会主席 A. Weinstein 的电话,他要我推荐一个人填补学术讨论会安排中的一个空缺。在我挂断电话之前,我发觉我已经“自愿”做学术讨论会的演讲者,并作纪念群表示论一百年的报告!我将为提议自己作为学术讨论会的演讲者感到永久的羞愧,但是我得到了一次机会,于 1996 年 4 月 18 日,在 Frobenius 给 Dedekind 写第一封著名的群行列式的信之后差不多正好一百年, 讲述与表示论的诞生有联系的迷人的故事. 5 月,我在俄亥俄州立大学作了同样的演讲,内容有些变化。接着同年 6 月,在我的母校香港大学举行的“数学的面貌”学术会议上,我也作了这个演讲。由于我在数学科学研究所的行政职务的关系,这篇文章的写作被推迟了一年多。在 1997 年秋的休假学期,我最终完成这个题目的写作,于是现在我高兴地提交这篇慢慢写成的演讲汇总,带有一些技术性细节的较长的版本将发表在香港大学出版的“数学的面貌”会议录 (Proceedings of the “Aspects of Mathematics” Conference, N. Mok, ed., University of Hong Kong, H.K., 1998.) 上。特别地,本文中删去的一些证明可以在香港会议录上找到.

取舍与参考文献

在我们试图告诉读者这篇文章是什么之前,我们也许应当首先告诉他 (她) 这篇文章不是什么。有限群表示论的历史本来包括的范围要花不少于完整的一卷来叙述,从 Molien,Cartan,Dedekind,Frobenius,Burnside 的开拓性工作开始,接下去由 Schur,Noether 改写这一学科的基础,然后是 Brauer 关于群的常表示论和模表示论的关键性工作,也许可以说在工程浩大的有限单群分类项目上达到高潮 (如果没有特征标理论的帮助,有限单群的分类肯定是不可能的). 这样庞大的任务最好留给专家,而且我很高兴地听说 C.Curtis 教授正在为美国数学会的数学史丛书准备这一内容的一卷 [\(\textbf {Cu}_2\)]. 在我的一小时报告里,我的全部时间就是用来给听众一些有关这个大故事的快照,集中在表示论的起源,作为对一百周年的纪念。我们从 19 世纪数学的一些背景出发,综述 Dedekind,Frobenius 和 Burnside 的工作,接着讲一点关于 Schur 和 Noether 的工作,在这之后我会简单地宣布自己“被铃声搭救了”. 本文是我的演讲的扩充了的版本.1但是它仍然至多是梗概和故事性的,因此它不能取代文献中列举的这门学科的更加学术性的论著。对于后者,我们推荐 Hawkins 的文章 [\(\textbf {H}_2-\textbf {H}_4\)], 这是从历史学家的观点写的;还有 Curtis 的著作 [\(\textbf {Cu}_1,\textbf {Cu}_2\)] 以及 Ledermann 的著作 [\(\textbf {L}_1\)], 这些是从数学家的观点写的;对于表示论在调和分析的更宽广的框架里的综述,我们推荐 Mackey 的文章 [Ma] 和 Knapp 的文章 [Ka]. 最近 K.Conrad 用详细的证明和有趣的计算例子完成的文章 [Con] 对准备自己动手推导一番的人也提供了好的引导.

因为大多数素材取自现存的资料 (见上述文献), 所以我们丝毫不假装这篇文章有独创性。我们在这篇文章写成时的确试图调和数学和数学家之间的平衡:关于数学家和数学事件的一些更多阐述性的评论是我自己的。我希望通过糅合历史和数学,通过学术讨论会演讲的闲话家常般的风格讲述这个故事,提供使人爱读的和资料丰富的有限群表示论的起源.

我非常感激 C. Curtis, 他慷慨地给我提供他的将出版的书 [\(\textbf {Cu}_2\)] 的各章,我很高兴地感谢 K. Conrad,H. Lenstra,M. Vazirani 以及《Notices》的编辑部全体人员对这篇文章的评论、建议和修改.

1为节省篇幅,本文不涉及关于 Schur 和 Noether 的部分,对他们在表示论方面的工作有兴趣的读者,可以参考 [\(\textbf {L}_2,\textbf {La},\textbf {Cu}_2\)].

19 世纪后期群论的背景

在我们开始讲故事之前,迅速回顾一下 19 世纪后几十年在欧洲的群论的状况或许是合适的。如果我们认为群论起源于 Gauss, Cauchy 和 Galois 的时代,那么这门学科到 19 世纪后几十年已经有半个多世纪了.初露头角的德国数学家 F. Klein 于 1872 年开创了他的埃尔朗根纲领,宣告群论是研究各种几何的焦点;同一年,挪威高等学校的教师 L. Sylow 在《数学年刊》第 5 卷上发表了他的现在很著名的定理的第一个证明.A. Cayley 和 C. Jordan 是当时的群论专家.群论的第一批专著中有 Jordan 的Traité des Substitutions et des Équations Algébriques(1870) 和 Netto 的Substitutionen theorie und Lhre Anwendungen auf die Algebra(1882). 这两本书都是关于置换群理论的,它们与群论是同义的. (仅有的值得注意的例外,是 V. Dyck 在 1882–1883 年用生成元和关系定义群的工作.) 当时最受欢迎的代数教科书是 Serret 的Cours d’Algébre Supérieure, 它的第 2 卷 (第 3 版,1866) 包含了适量的置换群的内容.抽象群只是在后来才被研究,可能首先出现在 Weber 的教科书《代数教程》(Lehrbuch der Algebra) 里.群论文章的作者并不总是仔细的,事实上有时易出错. O. Hölder 明显地开创了写长篇的群论文章的传统,一种情况一种情况地分析群,但是也会忽略少数情形.甚至连被认为是“彻底精通数学的每个分支里已做的每一件事情”([C:pp.256-266]) 的伟大的 A. Cayley, 在 1878 年《美国数学杂志》第 1 卷发表的文章 [Ca] 中,由于轻率地列举个 6 阶群而把读者弄糊涂了.

显然,当时对于群表示论没有太多涉及. Klein 在 19 世纪 70–80 年代的工作中肯定使用了矩阵来实现群,但是他仅仅对于少数特殊的群这么做,并且没有暗示可能的理论。在数论里,Legendre 符号 \(\displaystyle \left (\frac {a}{p}\right )\)(其中 \(p\) 是奇素数) 也许提供了“特征标”的第一个例子.这个符号取值为 \(\pm 1\), 并且关于变量 \(a\) 是可乘的.Gauss 使用了类似的符号来论述 Gauss 和与二元二次型,并允许这些符号取值单位根.在 Dirichlet 的关于算术级数中的素数的工作中,Dirichlet \(L\)-级数

\[L (s,\chi)=\sum _{n=1}^{\infty}\frac {\chi (n)}{n^s}\]

显著地出现了“模 \(k\) 特征标”\(\chi \). 它是 \(n\) 的可乘函数,并且当 \(n\) 与 \(k\) 不互素时其值为 \(0\). 我们把 (Abel) 特征标的抽象定义归功于 R. Dedekind.Dedekind 在他给 Dirichlet 的《数论讲义》([D], 1879 年) 的补遗之一中,形式地定义有限 Abel 群 \(G\) 的特征标是从 \(G\) 到非零复数乘法群的同态。在函数接点相乘的乘法下,\(G\) 的特征标形成一个群 \(\hat {G}\)(称为特征标群), 它的基数等于群 \(G\) 的基数 \(|G|\). 特征标之间的正交关系被证明,它包含在 Weber 的《代数教程》第二卷中.这一阶段为任意有限群的一般特征标理论的发现作了准备.

Dedekind 和群行列式

对于学习数学的现代学生来说,按照下述方式扩充特征标的定义是完全自然的:取群 \(G\) 到 \(\mathrm {GL}_n (\mathbb {C})\)(\(n\) 阶可逆复矩阵的群) 的同态 \(D\), 然后定义 \(\chi _{D}(g)=\textrm {trace}(D (g))(g\in {G})\) 便得到特征标。然而这一步对于 19 世纪的数学家并不是显然的。因此一般群的特征标的概念的发现,必须绕一个相当大的圈子,通过 Dedekind 称之为群行列式的概念.

作为 Gauss 的著名的哥廷根学派的关门弟子,R. Dedekind (1831–1916) 无可争辩地是德国抽象代数的老前辈,直到 19 世纪末都是如此.尽管他宁愿在家乡不伦瑞克的地方学院2当教师,而不愿拥有更富声望的大学的职位,但是他产生的数学影响也许仅次于 K. Weierstrass.Dedekind 的最大贡献是在数论领域.在反复考察具有规范基的正规数域的判别式的形式时,他在群论里得到一个类似的行列式.给定一个有限群 \(G\), 设 \(\{x_{g}:g\in {G}\}\) 是可交换的不定元的集合,形成一个 \(|G|\times |G|\) 矩阵,它的行与列用 \(G\) 的元素作为下标,矩阵的 (\(g,h\)) 元为 \(x_{gh^{\tiny-1}}\).(就象 Dedekind 第一次做的那样,我们也可以取矩阵的 (\(g,h\)) 元为 \(x_{gh}\), 但是这两个矩阵的差别仅在于列的置换.) 矩阵 (\(x_{gh^{\tiny-1}}\)) 的行列式命名为 \(G\) 的“群行列式”;沿用 Dedekind 的记号,我们用 \(\Theta (G)\) 表示.

在 \(G\) 为 Abel 群的情形,\(\Theta (G)\) 通过 \(G\) 的特征标完全分解因式成 \(\mathbb {C}\) 上的线性型如下:

$$ \Theta (G)=\prod _{\chi \in {\hat {G}}}\left (\sum _{g\in {G}}\chi (g) x_{g}\right ), \tag {4.1} $$

其中 \(\hat {G}\) 是 \(G\) 的特征标群.证明是相当容易的,事实上,对于固定的 \(\chi \in {\hat {G}}\), 用 \(\chi (g)\) 乘行列式的第 \(g\) 行,然后把所有行都加起来,在第 \(h\) 列上,我们得到

\[\sum _{g\in {G}}\chi (g) x_{gh^{-1}}=(\sum _{g’\in {G}}\chi (g’) x_{g’})\chi (h).\]

于是对于每一个特征标 \(\chi \), \(\Theta (G)\) 能被 \(\sum \nolimits _{g\in {G}}\chi (g) x_g\) 整除.因为有 \(|G|\) 个不同的特征标,并且它们产生不同的线性型,所以我们得到 (4.1) 式. \(\Theta (G)\) 的分解因式肯定是有先例.在循环群的情形,“群矩阵”\((x_{gh^{\tiny-1}})\) 恰好是循环矩阵,对于 19 世纪的数学家来说,其行列式用 \(|G|\) 次单位根的术语做因式分解是众所周知的.

在一般群 \(G\) 的情形,我们能够构造一个“Abel 化”的群 \(G/[G,G]\), 其中 \([G,G]\) 是由 \(G\) 里的换位子生成的 (正规) 子群.上述证明仍然给出 \(\Theta (G)\) 的 (至少)\(|G/[G,G]|\) 个线性因子,它们对应于 \(G/[G,G]\) 的特征标.然而这些因子不再穷尽群行列式.例如,如果 \(G=[G,G]\), 这仅给出平凡的因子 \(\sum \nolimits _{g\in {G}} x_g\).像 19 世纪的大多数数学家一样,Dedekind 有坚实的计算基础.他对于第一个非 Abel 群 \(S_{3}\) 详细计算了 \(\Theta (G)\), 并且发现除了对应于 \(G/[G, G]\) 的平凡特征标的因子 \(\sum \nolimits _{g\in {G}} x_g\) 和对应于符号特征标的线性因子 \(\sum \nolimits _{g\in {G}}\mathrm {sgn}(g) x_{g}\) 以外,\(\Theta (G)\) 还有一个两重的不可约平方因子.他对于 8 阶四元数群也做了类似的计算,并且提出了奇妙的见解:如果系数域 \(\mathbb {C}\) 扩展到适当的“超复系”(或者用现代的术语“代数”), 那么他的两个例子里的 \(\Theta (G)\) 将分解成线性型,正如 Abel 群的情形那样. Dedekind 在 1880 年和 1886 年对这个问题有些零星的研究,但是没有得到任何确定的结论.Dedekind 于 1896 年 3 月 25 日给 Frobenius 发出了信,信中内容主要是关于四元数群的,此外也提到了他较早的时候对于群行列式的研究,包括在 Abel 情形里的因式分解 (4.1), 以及他对于在一般情形里超复系可能起的作用的思考.接着于 1896 年 4 月 6 日发出的信包含了他已经算出的两个非 Abel 的例子,以及对于 \(\Theta (G)\) 的线性因子的数目应当等于 \(|G/[G,G]|\) 的结论等推测.然而由于觉得他自己不大可能对这个问题取得任何结论,Dedekind 请 Frobenius 研究这个问题.结果,Dedekind 写的这两封信成了 Frobenius 创造抽象非 Abel 群的特征标理论的催化剂.

Richard Dedekind

Ferdinand Georg Frobenius

2现在的不伦瑞克工业大学.

Fredinand Georg Frobenius (1849–1917)

比 Dedekind 小 18 岁的 Frobenius 到 1896 年已经有了很高的声望.他曾在著名的柏林大学接受数学教育,得到杰出的教师例如 E. Kummer, L. Kronecker 和 K. Weierstrass 的指导.1870 年,他在 Weierstrass 的指导下写了关于微分方程的级数解的博士论文,此后在柏林大学的预科和大学里教了短暂的几年课.柏林大学一直有为苏黎世多科工艺学校 (现在的苏黎世联邦工业大学,简称 E.T.H.) 培养教员的传统,因此毫不奇怪 Frobenius 于 1875 年搬到苏黎世接受那儿的教授职位.

在 E.T.H. 任职的 17 年间,Frobenius 通过对于广阔的领域中各种各样的数学论题的贡献为他赢得了名声,特别是在线性微分方程,单变量和多变量的椭圆函数和 \(\theta \) 函数,行列式和矩阵论,以及双线性型方面.他对代数的偏爱到 19 世纪 80 年代后期日益明显地增长,当时他也开始在探索有限群论方面作出有影响的工作.1887 年,他发表了 [F:(35)]3关于抽象群 (而不仅是置换群) 的 Sylow 定理的第一个证明;他用类方程对于 Sylow 子群的存在性作出的归纳证明,直到今天仍然在使用.同一年他又发表了另一篇重要的群论文章 [F:(36)];这篇文章对有限群的双陪集作出了透彻的分折,并且包含了著名的 Cauchy–Frobenius 计数公式 (见第二部分), 这个公式目前在组合论里无处不在.Frobenius 并不知道,他所有的群论工作正在为他赠给数学的最伟大的礼物作着准备:这就是他很快要创造出的特征标理论.

19 世纪 90 年代早期是 Frobenius 的职业生涯转变的时期,Kronecker 于 1891 年 12 月逝世,柏林大学出现了空缺职位.邀请从前备受宠爱的学子 F. G. Frobenius 前来继任,任何人都决不会感到奇怪.处于创造力最高潮的 43 岁的 Frobenius, 显然是 Kronecker 的极佳继任者.可是如果让 Kronecker 本人来选择继任者,事情就不会那么显然.Kronecker 信奉自己的箴言:“上帝创造了整数,其余一切都是人为的工作”, 他批评了几乎每一个热衷于考虑含有实数或超越数问题的人.他对函数论专家的攻击非常不留情面,有时甚至大肆咆哮,以至于使老教授 K.Weierstrass 潸然泪下.Kronecker 大概还会对下述想法犹豫:他的继任者居然是 Weierstrass 的学生,显然这不会是他本人的选择.

Frobenius 诞生在柏林的一个郊区夏洛腾堡,远离家乡的 17 年是一段很长的时间,在当时人们明显地倾向于在他们的家乡度过一生.于是多亏来自柏林的邀请,Frobenius 很高兴地携全家于 1893 年衣锦还乡.在夏洛腾堡的莱布尼兹街 70 号,安顿了他的新家.同年他被选为有声望的普鲁士科学院的院士。由于 Kronecker 和 Kummer 两位都已逝世,并且他的前指导教师 Weierstrass 已八十高龄,Frobenius 自那时起必将成为柏林数学学派的主要执炬者之一.

Frobenius 虽然已精通群论,但在 1896 年以前他从未听说群行列式的定义.然而,他是行列式理论的专家,并且实际上,在 \(\theta \) 函数和线性代数的早期工作中,他已经接触到有点类似的行列式.因此,Dedekind 的群行列式的因式分解问题立即吸引了他.他被 Dedekind 在 Abel 情形下对 \(\Theta (G)\) 的分解迷住了,但是他不确信超复数会提供在一般情形下分解的恰当的工具.于是他打算只是在复数域上研究 \(\Theta (G)\) 的因式分解.他以令人惊异的速度求解这个问题.他狂热地工作,不到一个月就创造出一般有限群的特征标理论,并应用这个新发现的理论解决了群行列式因式分解问题.他在 1896 年 4 月 12 日、17 日和 26 日给 Dedekind 的三封长信里,报告了他的发现.这些信连同当前保存在不伦瑞克工业大学档案馆里的 Frobenius–Dedekind 通信联系的其他档案一起,现在成为创造有限群特征标理论的第一个文字记载.

图 1: 顶上是 Frobenius 于 1896 年 4 月 12 日写给 Dedekind 的信的第一页的部分内容.这封信以“Hochgeehrter Herr College!”开头,这是 Frobenius 时期在同事之间的普遍的客气称呼.底下是最后一页的部分内客,在这一页 Frobenius 以“您的忠诚的同事,Frobenius”结尾,并且在左边的空白处写了他的家庭地址:“Charlottenburg, Leibnizstr 70”, 注明这封信的日期“d.12.April 1896”, 这封信写在 6 大张纸上,每张上有 4 页.【感谢 C.Kimberling 友好地给我这封信的复印件.数学界应该深深感谢 Kimberling, 他在 E.Noether 的遗产里保留下来的书信文件集中发现了 Frobenius 给 Dedekind 写的这封信 (以及 Dedekind 的其他信件). 围绕这些信的发现的有趣的细节,在 Kimberling 的网页上有报告, 网址是 http://faculty.evansville.edu/ck6/bstud/noether.html

因为 Frobenius 的信已经被 Hawkins 和 Curtis (见第二节的文献) 详细分析,所以我们将试图从另一个角度探讨它们。由于假定我们正在与现代听众谈话,因此我们将首先讨论用现代的表示论工具如何分解群行列式,有了这个后见之明,我们将回到 Frobenius 的工作,阐述他在 1896 年是如何解决 \(\Theta (G)\) 的因式分解问题,以及在那个时候他是如何创造群的特征标理论的.

我们的方法实际上也有战略上的缘由,虽然首先引导 Frobenius 创造群的特征标的是群行列式,但是现代的群表示论不再通过群行列式发展.事实上,当代没有几本表示论教科书还接触这个专题,因此现代的学习表示论的学生很可能从未听说过群行列式.下一节用表示论的现代方法阐述 Frobenius 的部分工作,因此它将作为在老的方法和新的方法之间的有用的过渡环节.

3[F:(35)] 这个引文记号意指 Frobenius 全集 [F] 中的文章 (35). 其发表似乎被过分推迟. Frobenius 在 1884 年 3 月把这篇文章寄给 Crelle 杂志,但迟至 1887 年才发表出来.到这时,Frobenius 后来的几篇推广 Sylow 定理的文章已经刊登于 S’Ber. Akad. Wiss. Berlin.

为现代读者的 \(\Theta (G)\) 的因式分解

实际上我们在这一节将要做的并非都是“现代的”. 我们在这里将谈论的每一件事情都是 E.Noether 熟悉的,读者可以通过读她的关于表示论的奠基性文章 [N:\(\S 23\),pp.685–686] 中关于群行列式的论述很容易证实这一点.事实上,纯粹从形式上看,Noether 考虑了在可能的非半单代数上的更一般的“系统-矩阵”和“系统-行列式”. 对于我们的目的而言,用群代数 \(\mathbb {C}[G]\) 就足够了,\(\mathbb {C}[G]\) 是由有限的形式线性组合 \(\sum \limits _{g\in G} a_gg (a_g\in \mathbb {C})\) 组成的代数,它们按照自然的方式相加和相乘.

正如找们在较早一节中指出的,群 \(G\) 的一个表示是一个群同态 \(D\,:\,G~\rightarrow ~\mathrm {GL}_n (\mathbb {C})\);数 \(n\) 称为这个表示的维数 (或次数).表示 \(D\) 称为不可约的,如果 \(\mathbb {C}^n\) 没有任何 (非平凡的) 子空间在 \(D (G)\) 的作用下是不变的。每一个表示 \(D\) 诱导一个特征标\(\chi _D\,:\,G~\rightarrow ~\mathbb {C}\), 由下式定义:

\[\chi _D (g) = \textrm {trace}(D (g)) (\mbox {对于任意} g \in G)\]

两个 \(n\) 维表示 \(D,D’\) 称为是等价的,如果存在一个矩阵 \(U~\in \mathrm {GL}_n (\mathbb {C})\) 使得 \(D’(g) = U^{-1} D (g) U\) 对于一切 \(g\in G\) 成立.此时,显然有 \(\chi _D=\chi _{D’}\). 反之,如果 \(\chi _D=\chi _{D’}\) 并且 \(G\) 是有限群,表示论的一个基本结果保证 \(D\) 与 \(D’\) 是等价的.现在我们通过引进有限群 \(G\) 的任一表示的行列式来推广群行列式的观念。给定一个表示 \(D~:~G~\rightarrow ~\mathrm {GL}_n (\mathbb {C})\), 与前面一样,我们取一组交换的不定元 \(\{x_g\,:\,g \in G\}\), 并且令

$$ \Theta _D (G)=\det \left (\sum \limits _{g\in G} x_gD (g)\right ) \tag {6.1} $$

我们指出下面的三个事实:

1. 如果我们把 \(\sum _{g\in G} x_gg\) 看作是群代数 \(\mathbb {C}[G] \) 里的“一般”元素 \(\textbf {x}\), 那么上面的矩阵 \(\sum _{g\in G} x_gD (g)\) 恰好是 \(D (\textbf {x})\), 这里把 \(D\) 扩充成 \(\mathbb {C}\)-代数同态 \(\mathbb {C}[G]\rightarrow \mathcal {M}_n (\mathbb {C})\). 实际上,把表示 \(D\) 看成是这个代数同态“给出”的,往往是方便的.

2.\(\Theta _D (G)\) 仅依赖于表示 \(D\) 的等价类,因为表示矩阵的行列式在相似变换下不变.

3. 当 \(D\) 是正则表示 (使得 \(D (g)\) 是与 \(g\) 在 \(G\) 上的左乘联系的置换矩阵) 时,\(\Theta _D (G)\) 恰好是群行列式 \(\Theta (G)\). 事实上,在第 \(h\) 列,矩阵 \(x_{g’} D (g’)\) 有一个元索 \(x_{g’}\) 在第 \(g’h\) 行而其余元素全为零。因此,在第 \(h\) 列,\(\sum _{g’\in G} x_{g’} D (g’)\) 恰好有元素 \(x_{gh^{-1}}\) 在第 \(g\) 行.

显然 \(\Theta _{D_1\bigoplus D_2}(G) = \Theta _{D_1}(G)\Theta _{D_2}(G)\). 因此,为了计算 \(\Theta (G)\), 我们可以首先把正则表示“分解”成它的不可约成分.这是有限群的表示论的标准过程,它利用了归功于 Maschke 和 Wedderburn 的 \(\mathbb {C}[G]\) 的基本结构定理。根据这个定理,

$$ \mathbb {C}[G]\cong \mathcal {M}_{n_1}(\mathbb {C})\times \ldots \times \mathcal {M}_{n_s}(\mathbb {C})\tag {6.2} $$

对于适当的 \(n_1,\ldots ,n_s\)(满足 \(\sum _i {n_i^2} = |G|\)). 从 \(\mathbb {C}[G]\) 到 \(\mathcal {M}_{n_i}(C)\) 上的投影提供了第 \(i\) 个不可约复表示 \(D_i\), 然后运用环论的一点知识,我们从 (6.2) 看出,正则表示等价于 \(\oplus _in_iD_i\). 其次我们注意到下述事实.

引理 6.3每个 \(\Theta _{D_i}(G)\) 是 \(\mathbb {C}\) 上的不可约多项式,并且当 \(i\neq j\) 时,\(\Theta _{D_i}(G)\) 与 \(\Theta _{D_j}(G)\) 不成比例.

证明这里的关键一点是,如果我们记 \(D_i (\textbf {x}) = (\lambda _{jk}(\textbf {x}))\), 则这些线性型 \(\lambda _{jk}(\textbf {x})\) 在 \(\mathbb {C}\) 上线性无关。事实上,假设 \(\sum _{j,k} c_{jk}\lambda _{jk}(\textbf {x})=0\), 其中 \(c_{jk}\in \mathbb {C}\). 因为 \(D_i\,:\,\mathbb {C}[G]\rightarrow \mathcal {M}_{n_i}(\mathbb {C})\) 是映上的,所以我们能够找到这些 \(x_g\) 在 \(\mathbb {C}\) 上的适当的值使得 \(D_i (\textbf {x})\) 变成矩阵单位 \(E_{j_0k_0}\)4. 把这些 \(x_g\) 的值代入 \(\sum _{j,k} c_{jk}\lambda _{jk}(\textbf {x})=0\) 中,我们看出每个 \(c_{j_0k_0}=0\). 在证明了这些 \(\lambda _{jk}(\textbf {x})\) 线性无关之后,我们能够把它们扩充成 \(\{x_g\,:\,g\in G\}\) 的所有线性型组成的线性空间的一个基。这个基现在将作为多项式环 \(\mathbb {C}[x_g\,:\,g\in G]\) 里的新的变量,用这些新的变量的术语,众所周知 \(\det (\lambda _{jk}(\textbf {x}))\) 是不可约的.

为了证明 (6.3) 的最后陈述,只要注意 \(\Theta _{D_i}(G)\) 实际上决定了表示 \(D_i\). 为此可把 \(\Theta _{D_i}(G)\) 看成 \(x_1\) 的多项式,因为 \(D_i (1)=I_{n_1}\), 所以 \(x_1\) 仅出现在 \(D_i (\textbf {x})\) 的对角线上,记 \(D_i (g) = (a_{jk}(g))\), 我们有 \(\lambda _{jj}(\textbf {x}) = \sum _{g\in G} a_{jj}(g) x_g\), 因此

$$ \Theta _{D_i}(G)=\prod \limits _{j=1}^{n_i}\lambda _{jj}(\textbf {x})+\cdots =x_1^{n_i}+\sum \limits _{g\in G\backslash \{1\}}\chi _{D_i}(g) x_1^{n_i-1} x_g+\cdots .\tag {6.4} $$

于是这个不可约因式决定了特征标 \(\chi _{D_i}\), 并且正如我们前面已说过的,\(\chi _{D_i}\), 决定 \(D_i\), 这正是所要求的.

用上述观点便得出

$$ \Theta (G)=\prod _{i=1}^s\Theta _{D_i}(G)^{n_i}\tag {6.5} $$

是群行列式到 \(\mathbb {C}\) 上的不可约多项式的完全因式分解.这里因为表示 \(D_i\) 的维数为 \(n_i\), 所以不可约因式 \(\Theta _{D_i}{\rm (G)}\) 的次数是 \(n_i\)——与 \(\Theta _{D_i}{\rm (G)}\) 出现在 \(\Theta {\rm (G)}\) 里的重数相同。还有从 (6.2) 看出 \(s\) 似乎是 \(Z {\rm (\mathbb {C}[G])}\)(\(\mathbb {C}[G]\) 的中心) 的 \(\mathbb {C}\)-维数,它由 \(G\) 的共轭类的数目给出.我们将在下一节的稍微后面一些回到这一点.

从 (6.4) 和 (6.5) 我们明显地看到,\(\Theta {\rm (G)}\) 的分解因式与 \(G\) 的不可约特征标有密切联系.

4\(E_{j_0k_0}\) 是指在 (\(j_0,k_0\)) 位置为 1, 其余位置全为 \(0\) 的矩阵.——校注

Frobenius 的 (不可约) 特征标的第一个定义

当然,在上一节给出的 \(\Theta {\rm (G)}\) 的因式分解的高效率的处理是基于大量的后见之明,可是数学的开拓者并非事后诸葛,必须也只能指望善于发现意外收获的能力和纯粹的行列式.正如我们大家知道的,数学的任何新方向的第一步通常是最困难的一步.Frobenius 知道,他需要创造新的特征标理论来分解群行列式,但是不同于我们,他基本上没有线索来着手这个问题.从而看一看他实际上如何在漆黑的通道里设法找到第一道亮光,对于我们是非常有启发的.

正如我们在前面指出的,“群表示”不属于 19 世纪数学家的词汇,“特征标”的现代定义对于 Frobenius 在 1896 年是不存在的.代而替之,Frobenius 通过对某个交换 \(\mathbb {C}\)-代数的研究首次达到特征标的定义,后来他认识到这个 \(\mathbb {C}\)-代数就是群代数的中心 \(Z (\mathbb {C}[G])\).为了迅速地阐述他的想法,再次利用现代读者已知的那些观念是便捷的.不过我们将会评论出,在哪些地方,Frobenius 由于缺少现代观念而碰到困难.下面的讲解的理论基础是 \(\mathbb {C}\) 上的交换半单代数的概念.

设 \(g_{j}(1\leq {j}\leq {s})\) 是有限群 \(G\) 的共轭类的完全代表系 (\(g_{1}=1\)), 并且设 \(C_j\in \mathbb {C}[G]\) 是“类和”(与 \(g_j\) 共轭的群元素的和). 众所周知 (并且容易证明), 这些 \(C_j\) 给出了 \(Z (\mathbb {C}[G])\) 的一个 \(\mathbb {C}\)-基,具有由下述等式定义的结构常数:

$$ C_jC_k=\sum _{i} a_{ijk} C_i \tag {7.1} $$

这里在相差一个常数 (由第 \(i\) 个共轭类的大小给出) 倍的意义下,\(a_{ijk}\) 是使得 \(x\sim {g_j},y\sim {g_k},z\sim {g_i}\), 且 \(z=xy\) 的有序三元组 \((x,y,z)\in {G^{3}}\) 的数目 (其中“\(\sim \)”是指在 \(G\) 里共轭).Frobenius 通过对方程 \(xyw=1\) 而不是对 \(xy=z\) 的讨论稍微有点不同地建立这些数;差别只是记号上的.他非常熟悉这些常数,它们表出了这些方程在群里的解的数目,现在我们引入更现代化的一个内容,即,Wedderburn 分解式 (6.2).取这个分解的中心,我们得到

$$ Z (\mathbb {C}[G])=\mathbb {C}\varepsilon _1\times \cdots \times \mathbb {C}\varepsilon _s \tag {7.2} $$

对于适当的中心幂等元 \(\varepsilon _i \in {\mathbb {C}[G]}\) 满足 \(\varepsilon _i \varepsilon _j=0 \) 当 \(i\neq j\). 从 (7.2) 我们知道 \(Z (\mathbb {C}[G])\) 是 (交换且) 半单的,Frobenius 没有配备所有这些现代的专门术语,因此他不得不对数目 \(\{a_{ijk}\}\) 做大量的具体计算来检验我们现在所知道的关于半单性的迹条件.无论如何,Frobenius 做到了这一点,因此他能够利用这个半单性的信息,尽管是隐含的.

现在从 (6.2) 出发.设 \(D_{i}:\mathbb {C}[G]\rightarrow \mathcal {M}_{n_i}(\mathbb {C})\) 是给出第 \(i\) 个不可约表示的投影映射,并且设 \(\chi _i\) 是对应的特征标:\(\chi _i (g)=\textrm {trace}(D_i (g))\).因为 \(D_i\) 把中心映到中心,所以我们有

$$ D_i (C_j)=c_{ij} I_{n_i}\mbox {, 对于适当的 $c_{ij}\in {\mathbb {C}}$}. \tag {7.3} $$

等式两边取迹,我们得到 \(h_j \chi _i (g_j)\)=\(n_i c_{ij} \) 其中 \(h_j\) 是第 \(j\) 个共轭类的基数.因此

$$ c_{ij}=\frac {h_j\chi _i (g_j)}{n_i}=\frac {h_j\chi _i (g_j)}{\chi _i (1)}.\tag {7.4} $$

从 (7.3) 我们有 \(C_j=\sum _ic_{ij}\epsilon _i\);特别地,

$$ C_j \varepsilon _i = c_{ij}\varepsilon _i.\tag {7.5} $$

于是 \(\{\varepsilon _1,\ldots ,\varepsilon _i\}\) 是 \(Z (\mathbb {C}[G])\) 的一个基.它是由 \(\{C_1,\ldots ,C_s\}\) 确定的 (交换的) 左乘算子的公共特征向量组成.\(C_j\) 确定的左乘算子的特征值是在 (7.4) 给出的那些 \(c_{ij}\).

我们得到的上述计算比 Frobenius 做的迅速得多,因为他必须把他的较早的一篇关于交换算子的文章 [F:(51)] 的主要结果汇总来说明这些特征向量的存在性和无关性,而无关性证明的关键依赖于前面提到的 \(Z (\mathbb {C}[G])\) 的半单性质,他的那篇文章 [F:(51)] 是于 1896 年在 S’Ber.Aked.Wiss.Berlin 发表的著名的三部曲 [F:(51),(53),(54)] 的第一篇,此文又是受 Weierstrass, Dedekind 和 Study 关于交换超复系的较早工作的激励.然而,用现代的方法,Frobenius 的工作的全部内容都能够如上所述用几行就得出来的.

在做了这个工作之后,利用等式 (7.4), 特征值 \(c_{ij}\) 现在能被用来定义特征标的值 \(\chi _i (g_j)\) (当然我们首先必须知道 \(n_i = \chi _i (1)\), 但这是相对次要的问题5) 正如看上去绕了一圈,这正是 Frobenius 在 [F:(53)] 如何第一次定义特征标 \(\chi _i\) 作为 \(G\) 上的类函数!在定义这些 \(\chi _i\) 之后,Frobenius 在 [F:(53)] 里立刻得到了 (不可约) 特征标之间的第一和第二正交关系 (见下面框内的叙述).

$$\begin{aligned} \sum _{g\in G}\chi _{i}(g)\overline {\chi _{j}(g)}&=\delta _{ij}|G|,\\ \sum _i\chi _i (g)\overline {\chi _i (h)}&=\delta _{g,h}|C_G (g)|. \end{aligned}$$ Frobenius 在他的开创性文章 [F:(53)] 中证明的上述不可约特征标 \(\chi _{i}\) 之间的第一和第二正交关系至今仍是有限群的特征标理论的基石。这里 \(\delta _{ij} \) 是通常的 Kronecker 记号,如果 \(g ,h\) 在 \(G\) 里共轭,则 \(\delta _{g,h}=1\), 否则为 \(0\);\(C_{G}(g)\) 表示 \(g\) 在 \(G\) 里的中心化子.

虽然今天我们有更加容易的途径 (通过表示论) 通向特征标,但是 Frobenius 最初采取的的途径并没有被忘记. Frobenius 的上述结果现在用下面的简洁形式保存下来:定理 7.6结构常数 \(\{a_{ijk}\} \) 与特征标表 \((\chi _{i}(g_{j})) \) 彼此决定.

实际上,假设这些 \(a_{ijk} \) 被给定。那么这些 \(a_{ijk} \) 决定了 \(h_{j}(1\leq j\leq s) \), 于是上面的工作决定了这些 \(\chi _{i} \). 反之,如果这些 \(\chi _{i} \) 被给定,利用第二正交关系进行计算导致用各种特征标的值表示 \(a_{ijk} \) 的一个详细的公式.

上述 Frobenius 的定理 (7.6) 至今仍是特征标理论里的一个有深刻意义的结果,它的证明的内在性是这样一个结果:一个不可约特征标 \(\chi \) 的值的 \(\mathbb {Q}\)-生成子空间总是一个代数数域,现今称为 \(\chi \) 的特征标域. 用特征标的值来精确表示 \(a_{ijk} \) 的公式在有限单群的构造和研究中有各种各样的有趣的应用;关于这方向的恰当的参考文献是 Higman 的文章 [Hi].

Frobenius 从一开始就认识到群的特征标是具有高度算术性质的对象,他在 [F:(53), \(\S \) 2Eq.(15)] 里注意到了常数 \(c_{ij} \) 总是代数整数6, 并且后来在 [F:(54),\(\S \) 12] 里说明了特征标的值也总是代数整数。利用所有这些连同第一正交关系,他推导出一个重要的算术结果:每一个特征标的次数 \(n_{i} \) 整除 \(|G|\).

5Frobenius 对于这个问题有些含糊,它引起 Hawkins [\(\textbf {H}_3\):p.239] 的评论:在 [F:(53)] 里“特征标从未被完全定义”, 但是在 [F:(53)] 里有如此大量的信息可以利用,以至于这个问题能被一种或另一种方式解决。例如,一旦我们知道了对于所有 \(j\) 的比值 \(\chi _i (g_j)/\chi _i (1)\), 那么 \(\chi _i (1)\) 能够从第一正交关系被决定.

6一个高效率的现代的证明如下:因为环 \(\sum _{i}\mathbb {Z} C_{i}\) 是有限生成的 Abel 群,所以每个 \(C_{i} \) 在 \(\mathbb {Z}\) 上是整的。运用这点到 (7.5), 我们看出对于每个 \(c_{ij} \) 也是对的.

Frobenius 的群行列式文章

在发表了群的特征标的文章 [F:(53)] 之后,Frobenius 最后准备论证他心中已经有的关于 Dedekind 的群行列式 \(\Theta (G)\) 的因式分解.他在 1896 年写的系列文章的最后一篇 [F:(54)] 做了这件工作.因为他在处理这个问题时没有任何现代方法,所以 \(\Theta (G)\) 的因式分解仍是颇费周折的.

首先 Frobenius 写下 \(\Theta (G)\) 的因式分解如下:

$$ \Theta (G)=\prod _{i=1}^{t}\Phi _{i}^{e_{i}},\tag {8.1} $$

其中这些 \(\Phi _{i}\) 是不同的 (齐次) 不可约多项式,次数设为 \(f_{i}\).在大略估计之后,我们可以假设每个 \(\Phi _{i}\) 有一项是 \(x_{1}^{f_{i}}\);这唯一决定了这些 \(\Phi _{i}\)(除了它们出现的次序以外).要做的工作是描述这些 \(\Phi _{i}\) 并且决定 (8.1) 式中的指数 \(e_{i}\), 如果我们将现代的方法用于 \(\Theta (G)\) 并且假设我们在较早一节里关于 \(\Theta (G)\) 的因式分解已经做的工作,那么立即得到下述信息:

  • (1) (8.1) 式中的不同的不可约因式的数目 \(t\) 等于 \(G\) 里的共轭类的数目 \(s\).

  • (2) 对于所有 \(i\), \(f_{i}(\Phi _{i}\) 的次数) 等于 (8.1) 式中的重数 \(e_{i}\).

然而对于 Frobenius, 这些命题的每一个都必须要有证明.(1) 不太难;他用在 [F:(53)] 中得到的正交关系 (见上面框里所述) 处理了它.但是 (2) 却是一个真正的挑战!当然 (2) 被 Frobenius 和 Dedekind 知道的所有例子所证实.但是 Frobenius 是一个细心的人.而任何一个细心的人都知道,数学中的一些过度简单化的例子可能完全是骗人的!因此,Frobenius 起初并不准备相信 \(e_{i}=f_{i}\). 对于学数学史的学生来说,这是一个难得的事例.他们在这儿有极好的机会通过 Frobenius 给 Dedekind 写的信来直接观察 Frobenius 是怎样去进攻 (有时停止进攻) 这个困难问题的7.他首先在线性因子 \(f_{i}=1\) 的情形证明了 (2), 这是不难的;然后他设法解决二次因子 \(f_{i}=2\) 的情形,它是非常难的。他给 Dedekind 写信请求帮助或者给出可能的反例;同时他计算了某些三次因子的例子来证实 (2), 他向 Dedekind 吐露:他有时候怎样试图通过从事完全无关的活动来“达到证明 \(e_{i}=f_{i}\) 之目标”. 例如与妻子去贸易博览会,然后去艺术陈列馆;在家里读小说,或者除掉他的果树上的毛虫等.为了显示令人愉快的幽默感,他在 1896 年 6 月 4 日给 Dedekind 写信:

我希望您不要泄露这职业秘密给任何人,我的“论数学研究之方法”的伟大著作 (其附录涉及捉毛毛虫) 利用了它,这部著作将在我逝世后出版.

Frobenius 许诺的书从未出版,但是显然他的“数学研究之方法”今天在数学教授和他们的研究生中间仍在广泛地实践着.Frobenius 关于 \(e_{i}=f_{i}\) 问题的前哨战持续了五个月,但是以一个愉快的注记结束:到 1896 年底他最后以完全一般的形式设法证明了它,这使他能写完关于群行列式的文章 [F:(54)].在该文的第 9 节他写到:

包含在群行列式里的素因子的幂指数等于那个因子的次数.

现在把这个结论称为“群行列式理论的基本定理”, 这肯定是他 1896 年在特征标理论的不朽工作中得到的王冠上的宝石.Frobenius 的证明,是惊人的神奇技巧的展示,占了 Sitzungsberichte 的 4 页半.当然今天来证明基本定理要容易得多,就象我们在较前的一节中对 \(\Theta (G)\) 的因式分解已经做的那样.在那一节使用的方法也清楚地表明 \(\Theta (G)\) 的不可约因式如何对应于不可约特征标 \(\chi \): 在相差一个排列的意义上,(8.1) 式中的 \(\Phi _{i}\) 只不过是 (6.4) 式中的 \(\Theta _{D_{i}}(G)\), 因此它对应于特征标 \(\chi _{i}=\chi _{D_{i}}\)(并且当然有 \(e_{i}=f_{i}=n_{i}\)). 等式 (6.4) 说明,当 \(g\neq 1\) 时,在 \(\Theta _{i}\) 里 \(x_{i}^{n_{i}-1} x_{g}\) 的系数是 \(\chi _{i}(g)\). 更一般地,其他系数也能被明晰地决定.首先 Frobenius 用归纳法把每个 \(\chi _{i}\) 从一元函数扩充成 \(n\) 元函数 (对于任意 \(n\geq 1\));每个 \(\chi _{i}(g_{1},\ldots ,g_{n})\) 是 \(\chi _{i}(g_{1}),\ldots ,\chi _{i}(g_{n})\) 的多项式函数.(例如,作为归纳法的开始,令 \(\chi _{i}(g,h)=\chi _{i}(g)\chi _{i}(h)-\chi _{i}(gh)\).) 然后 Frobenius 用这些已定义的“\(n\) 重特征标”通过下述著名的公式 [F:(54),\(\S 3\),(15) 式] 决定了 \(\Phi _{i}\):

$$ n_{i}!\cdot \Phi _{i}=\sum \chi _{i}(g_{1},\ldots ,g_{n_{i}}) x_{g_{1}} x_{g_{2}}\ldots x_{g_{n_i}},\tag {8.2} $$

其中求和是跑遍 \(G\) 的元素组成的所有 \(n_{i}\) 元组.这计算了 \(\Phi _{i}\) 的所有系数作为通常特征标值 \(\{\chi _i (g)\,:\,g\in G \}\) 的多项式函数。迄今为止,群论学家没有对这些“高阶”特征标有实质上的应用,可能这里有很多的工作可做.

在我们离开群行列式之前,我们应当指出在这个专题上最近一些相当令人惊奇的的发展。众所周知群的特征标不足以决定这个群。倒如,8 阶二面体群和四元数群碰巧有相同的特征标表,然而,Fromanek 和 Sibley [FS] 已证明群行列式 \(\Theta (G) \) 的确决定 \(G\), 并且 Hoehnke 和 Johnson [HJ] 已证明 (上面指出的)\(G\) 的 1 重、2 重和 3 重特征标也足以决定 \(G\). 这些新发现的事实可能会使群行列式理论的先辈感到惊奇.

迄今为止我们仅仅讨论了特征零的域 (复数域) 上的群行列式,L. E. Dickson 在 1902 年和 1907 年的几篇文章中已经研究了在特征 \(p>0\) 的域上的群行列式。我们建议读者参看 Conrad 的文章 [Con], 该文很好地综述了 Dickson 的工作.

7这里我们关于 Frobenius 的方针的论述是根据 Hawkins 的激动人心的文件 [\(\textbf {H}_{3},\textbf {H}_{4}\)].

收获: 1897–1917

Frobenius 在他的第一篇群特征标的文章 [F:(53)] 的引言里早就表达了他相信这个新的特征标理论将导致有限群论的本质上的丰富和意义重大的进展。在他的一生的最后 20 年中,以近乎取之不尽的精力写了另外 15 篇群论的文章 (不包括其他领域的多篇文章), 进一步发展了群的特征标和群表示的理论,并且将它应用到有限群理论上。这里我们仅给出故事的这一部分的概述.

1 在 1896 年文章的三部曲之后的第一个有意义的发展是 Frobenius 能够形式地引进群表示的概念并且把它与群行列式联系起来;他按照 Dedekind 的建议又做了这件事。看一看 Frobenius 如何形式化这一定义,具有历史上的价值,因此我们直接引用原文 [F:(56),\(\S 2\)]:

设 \(G\) 是抽象群,\(A,B,C,\dots \) 是它的元索.我们给元素 \(A,B,\dots \) 指定矩阵 \((A),(B),\dots \), 用这种方式群 \(G\) 同构于8群 \(G’\), 即 \((A)(B)= (AB)\). 那么我称代换或者矩阵 \((A),(B),(C),\dots \)表示群 \(G\).

虽然对于现代读者来说这有一点笨拙,但是这本质上是群表示的定义,就象今天我们所知道的那样.Frobenius 也在 [F:(56),\(\S 4\) 等式 (5)] 中首次指出,他在 [F:(53)] 定义的特征标由不可约的 (或者,用他自己的话,“本原的”) 表示的代表矩阵的迹给出,Frobenius 用群行列式 \(\Theta _{D}(G)\) 的不可约来定义表示的不可约,不可约的概念在后来几年经历几次重新变动和重新阐述.

有重大意义的事实是,Frobenius 在 [F(56)] 里清楚地肯定了 Molien 的文章 \([\textbf {M}_1,\textbf {M}_2]\) 的贡献,是 Eduard Study 引起他注意到了这篇文章. Molien 的将群代数分析为超复系的有力方法是受 W. Killing 和 E. Cartan 的 Lie 代数方法所激励的。在相当大的程度上,它预示了后来 Maschke, Wedderburn 和 Noether 的工作;它也是更接近于今天研究表示论的途径. Molien 对半单性概念的理解 (和有效地使用它的能力) 是他工作的基点,尽管这个工作没有被他的同时代人广泛认识。然而 Frobenius 毫不犹豫地赞扬它,并且把 \([\textbf {M}_1]\) 看成一项“出色的工作” ([F:(56),92 页]. 在得知 Molien 只是多帕特的一个无薪讲师之后,Frobenius 甚至写信给有影响力的 Dedekind, 看他是否能帮助提升 Molien 的职务,然而 Molien 的工作相对而言仍然不引人注目。今天人们记得他主要是通过他在多项式不变量理论中的母函数公式.现代读者有幸从 Hawkins 的文章 [\(\textbf {H}_2\)] 看到对 Molien 关于表示论的贡献的出色分析.

2 在两篇相继的文章 [F:(57),(58)] 中,Frobenius 引进了特征标的“合成”(现在称为张量积), 并且导出了一个群的特征标与它的子群的特征标之间的关系。诱导表示的所有重要的概念来自这后一工作.这是真正的天才手法,在他创造特征标理论仅仅两年之内,他提出了辉煌的诱导表示的互反律,现在这一定律以他的名字命名.在 20 世纪仍认为这两篇文章 [F:(57) (58)] 为表示论到群的结构理论的许多应用提供了最有力的工具.

现今我们有群代数,张量积,态射–函子等方法,它们使每一件事情都变得容易和“自然”. 但是在数学里,“自然”仅仅是时间的函数.今天对于我们是自然的东西,在 19 世纪末却不存在.为了证明诱导表示和特征标的合成的主要事实,Frobenius 能够采取的工具只有一个:群行列式.对于现代读者来说,看一看 Frobenius 如何使群行列式在表示论中唱真正的重头戏,并且在一篇又一篇的文章中利用它到达这个专题一个个的新的里程碑,实在是相当令人惊奇的!尽管 Frobenius 的群行列式证明的大部分 (即使不是全部) 现在被较容易的现代证明所取代,但是按我的观点,它们仍然是 19 世界数学家的令人生畏的能力和尽善尽美的技巧的最恰当的证明.

3 Frobenius 对于某些特殊群的特征标的计算在表示论中有深刻的影响,这是从射影幺模群 \(\mathrm {PSL}_2 (p)\) 的特征标开始的.他在特征标理论的开创性文章 [F:(53)] 中已经计算了它.几年之后,这一工作发展成李型有限群的表示论的令人惊奇的丰富的研究专题.9Frobenius 早在 [F:(53)] 中的 \(\S 8\) 末尾就已注意到对称群的特征标值全部是有理整数.此后不久,在 [F:(60),(61)] 里,他独立地开始研究对称群 \(S_n\) 和交错群 \(A_n\) 的表示论.他对 \(S_n\) 的特征标 (从而也是对表示) 的分类和分析领先于 Alfred Young 的工作,并且为新的世纪里关于对称函数的大多数进一步的工作奠定了坚实的基础. Frobenius 在 [F:(60)] 里从 \(S_n\) 的特征标值建立了某种生成函数,并且定出了这些生成函数。于是至少在原理上,他设法计算了 \(S_n\) 在任一给定的共轭类上的特征标.这种计算的最值得注意的情形是 Frobenius 关于 \(S_n\) 的特征标次数的行列式公式:关于对应于 \(n\) 的划分 \(\lambda =(\lambda _1,\dots ,\lambda _r)\)(其中 \(\lambda _1\geq \dots \geq \lambda _r\geq 0\)) 的不可约特征标,Frobenius 证明了 (参看 [F:(60),\(\S \) 3 (6) 式])

$$ {\chi _\lambda}(1) = n!\det {\left ( {\frac {1}{{\left ( {{\lambda _i}-i + j} \right )!}}} \right )_{1 \le i, j \le r}} = \frac {{n!\Delta \left ( {{\mu _1},{\mu _2},\ldots ,{\mu _r}} \right )}}{{{\mu _1}!{\mu _2}!\cdots {\mu _r}!}}\tag {9.1} $$

其中 \(\mu _i=\lambda _i+r-i\) 并且 \(\Delta (\mu _1,\mu _2,\dots ,\mu _r)\) 是具有参数 \(\mu _i\) 的范德蒙行列式.同一公式被 Young 独立得到,但是 Frobenius 在这一方面似乎有优先权.更后来关于 \(S_n\) 的特征标次数的 Frobenius-Young 行列式公式被另一个用划分 \(\lambda \) 的 Ferrer 图的“钩长 (hook-length)”\(h_{ij}(\lambda)\) 的术语的等价的组合形式给出:Frame-Robinson-Thrall 钩长公式把特征标次数重新写成形式

$$ {\chi _\lambda}(1) = \frac {{n!}}{{\prod \nolimits _{i,j} {{h_{ij}}(\lambda)} }}\tag {9.2} $$

\(S_n\) 的表示论如今位于代数和组合论的中心,并且影响纯粹数学和应用数学的许多分支.

4Frobenius 甚至于在他的特征标理论的工作之前就已经对有限可解群怀有强烈的兴趣,并且在 1893 年和 1895 年发表了关于它们的两篇文章,集中在它们的子群的存在性和结构上.在该世纪末他在这个专题上的兴趣扩大到他新创造的群的特征标理论上。他写了在可解群方面的另外三篇文章,以及关于多重传递群的其他几篇文章,其中一些利用了特征标理论.他的最引人注目的结果之一 (在 [F:(63),199 页]) 现在是有限群表示论的任何研究生课程的主要内容:

定理 9.3如果 \(G\) 是传递地作用在一个集合上的有限群,使得在 \(G\setminus \{1\}\) 里没有任何元素可固定多于一个的点,则 \(G\) 的没有不动点的元素连同单位元组成的集合形成 \(G\) 的一个 (正规) 子群 \(K\).(如果 \(K\subsetneq G\), 则 \(G\) 称为 Frobenius 群,并且 \(K\) 称为它的 Frobenius 核。任何一点对群作用的稳定子群称为 Frobenius 补.)

一个世纪之后,Frobenius 用诱导特征标和不可约表示的核的概念给出的这个定理的证明仍没有失去它的魔力和魅力。更奇怪的是,直到今天都还没有找到这个貌似简单的命题的纯粹群论的证明,因此 Frobenius 在 [F:(63)] 中的原来的论证仍然是定理 9.3 的唯一已知的证明!多年以后,Frobenius 定理激发了关于例外特征标的 Brauer–Suzuki 理论,以及 Zassenhaus 对双传递 Frobenius 群的分类,并把它们与有限拟域的分类联系起来.Frobenius 群的理论也帮助了 Fields 奖获得者 J.G.Thompson 踏上卓越的研究生涯,他在他的芝加哥大学的博士论文里证明了长期未决的猜想: Frobenius 核是幂零群.

5Frobenius 和他的学生 I.Schur 引进了一个不可约特征标 \(\chi \) 的指数(或指标) 的概念:

$$ s (\chi): = \frac {1}{{\left | G \right |}}\sum \limits _{g \in G} {\chi ({g^2})},\tag {9.4} $$

并且证明了 \(s (\chi)\) 取的值属于 \(\{1,-1,0\}\).在这个 Frobenius-Schur 理论里,这些 \(\chi \) 分成三种不同的类型:\(s (\chi)=1\), 当 \(\chi \) 来自实表示;\(s (\chi)=-1\) 当 \(\chi \) 不是来自实表示但是它是实值函数;\(s (\chi)=0\), 当 \(\chi \) 不是实值函数.Frobenius–Schur 指数包含群 \(G\) 的超出它的特征标表的重要信息:例如,一个元素 \(g\in G\) 的平方根的数目能够通过 (9.4) 式中的指数用表达式 \(\sum _\chi s (\chi)\chi (g)\) 计算,这是群论里的一个相当重要的事实.在与他们关于第一种类型的特征标的工作的联系中,Frobenius 和 Schur 也证明了有趣的结果:一个有限群的任一复正交表示等价于一个实正交表示.

8在 Frobenius 时代,这个术语并不排除映射 \(A\mapsto (A)\) 是多对一.

9具有讽刺意味的是,众所周知,Frobenius 对于 S.Lie 的工作极其蔑视.

Frobenius 和数论

在数论和群论之间的类似亲属的密切关系由下述事实提供:数域的任一正规扩张 \(K/F\) 产生一个有限 Galois 群 \(G=\textrm {Gal}(K/F)\). 于是 Frobenius 的特征标理论在数论中的可应用性应当毫不奇怪。然而在这两个理论之间的真正的相互作用在 Frobenius 生前并没有发生,而要等到 20 世纪 20 年代,当代数数论和解析数论发展得更加充分的时候.

在数论里用 Galois 群的表示的想法首先出现在 1923 年 Artin 的工作中,对于正如在上面一段里所说的 Galois 群 \(G=\textrm {Gal}(K/F)\) 的任一特征标 \(\chi \), Artin 引进了现在称之为与 \(\chi \) 伴随的 Artin\(L\)-函数 \(L (s,\chi ,K/F)\) 这是复变量 \(s (|s|>1)\) 的函数,它把关于 \(\chi \) 以及关于 \(F\) 和 \(K\) 里的素元的信息译成码。例如,当 \(\chi \) 分别是 \(G\) 的平凡特征标 (或正则特征标) 时,\(L (s,\chi ,K/F)\) 是 \(F\)(或 \(K\)) 的 Dedekind zeta 函数.(一个数域的 Dedekind zeta 函数又是有理数域上的 Riemann zeta 函数的直接推广) Artin 的 \(L\)-函数理论以两种方式利用了 Frobenius 的工作,首先,Artin 证明了:在 \(G\) 是 Abel 群且 \(\chi (1)=1\) 的情形,他的 \(L\)-函数与较早由 Hecke 研究的 \(L\)-函数一致。这要求 Artin 互反律的全部力量,它是 Artin 通过利用 Frobenius 猜想 (现在称为 Tchebotarëv 密度定理) 的 Tchebotarëv 的证明的想法建立的. 第二,Artin 证明了:在非 Abel 的情形,Frobenius 的诱导特征标提供了完美的方式把 Artin \(L\)-函数与 (Abel 情形的) Hecke \(L\)-函数联系起来。后来 Brauer 证明了 \(G\) 的任一特征标是从 \(G\) 的适当子群的 1 维特征标诱导的特征标的整系数组合,从而完善了 Artin 的工作. Brauer 用这个有力的诱导定理证明了 \(L (s,\chi ,K/F)\) 延拓为复平面内的亚纯函数,并且 Dedekind zeta 函数的商 \(\varsigma _{K}(s)/\varsigma _{F}(s)\) 是一个整函数。在这个工作里 (Brauer 因此获得了美国数学会 1949 年颁发的 Frank Nelson Cole 奖), 特征标理论和数论的相互作用结出了果实。后来 Galois 群的表示变成模形式论的一个重要专题,但那是另一个故事了.

结语

大约一百年前 Dedekind 给 Frobenius 提出伴随一个有限群的某种行列式的因式分解问题。解决这个抽象问题导致 Frobenius 创造特征标理论。以及后来的有限群表示论。今天这些理论为代数的各个分支提供基本的工具,并且它们对拓扑群和 Lie 群的情形的推广在调和分析中起着重要的作用。同时群的特征和表示已广泛地使用在许多应用领域,例如光谱学、结晶学、量子力学、分子轨道理论和配位场论等。这些令人惊奇的多种多样的应用通过 Dedekind 和 Frobenius 的提前了几十年的理论的工作变成可能。这似乎为数学的伟大的“不可思议的有效性”提供了又一个惊人的例子.

第二部分

要点回顾

有限群表示论的源头可追溯到 1896 年 4 月,在 R.Dedekind 与 F.G.Frobenius 的一次通信中.为了纪念这个事件的百周年,本文作者在 1996 年作了几次演讲.本文就根据这几次演讲写成的.

在本文的第一部分中,我们曾详细地讲述了 Dedekind 是怎样向 Frobenius 提出一个关于从一个与有限群 \(G\) 相关的行列式 (称为“群行列式”) 中产生的某类齐次多项式的因式分解问题.在 \(G\) 是交换群时,Dedekind 能够利用群的特征标 (即 \(G\) 到复数乘法群中的同态) 将群行列式分解为线性因子. Frobenius 天才地发现了任意有限群的一般的特征标理论,从而对 Dedekind 的群行列式问题给出了完整的回答. Frobenius 关于 (非 Abel 群) 特征标的首次定义,是通过一组可交换矩阵的特征值作出的,这是一个相当别致的形式.这件工作导致 Frobenius 在 1897 年提出了群 \(G\) 的 (矩阵) 表示的现代定义,即是一个同态 \(D\,:\,G\rightarrow \mathrm {GL}_n (\mathbb {C})\)(对某个 \(n\)). 由这个定义可知,表示的特征标 \(\chi _{D}\,:\,G\rightarrow \mathbb {C}\) 可简单定义为 \(\chi _{D}(g)=\textrm {trace}(D (g))\)(对每个 \(g\) \(\in G\)).通过群的各种不同的表示来研究群自身,这种思想为群论及其应用的研究开辟了一个新方向.在本文第一部分简述了关于 Frobenius 发现特征标理论以及其后对群表示所作的伟大贡献之后,我们现在转向这门学科中的另一位巨匠,即英国群论学家 William Burnside.这就是本文第二部分的主要内容.大部分内容读起来是独立于第一部分的.如第一部分那样,[F:(53)] 表示在 Frobenius 全集 [F] 中的文章 (53).根据 Wagner 和 Mosenthal 编的大师年表 [B], Burnside 的文章是按出版年度排列的.对于我们这篇综述性质的文章来说,查阅原文是不必要的.

William Burnside (1852–1927)

William Burnside

本节关于 Burnside 的生平及工作的解释主要取材于 A.R.Folsyth 所写的讣告简传 [Fo](它于 Burnside 去世的第二年发表在《伦敦数学会学报》上), 以及即将出版的 C.Curtis 的《表示论的先驱》一书 [\(\textbf {Cu}_2\), 第 3 章].

William Burnside 生于伦敦一个苏格兰血统的家庭中.在剑桥的圣约翰和彭布罗克学院接受了传统的大学教育.在彭布罗克,他在数学和划船两方面都十分出色.他于 1875 年以一等第二名的成绩从剑桥毕业,载入数学优等考试及格者名册.之后他在剑桥得到了一个讲师职务,在那里呆了十年左右,讲授数学,并积极地做数学优等考试和划船水手的教练.1885 年,在海军管教育的负责人 (一个名叫 William Niven 的剑桥校友) 的建议下,Burnside 接受了设在格林尼治的皇家海军学院的教授职位.虽然他余生在格林尼治度过,但他一直与剑桥的学术界保持着密切联系,并一直在伦敦数学会的活动中扮演着十分活跃的角色,长期为学会服务,包括担任过两年的主席 (1906–1908).在格林尼治,他给海军中的人们讲授数学,这其中有负责火炮和鱼雷的官员,文员和机械师,也有军校学员.教学工作没有给 Burnside 提出更多的要求,这正合其意,使他有时间积极进行一系列的研究计划.虽然 Burnside 所在地与英国主要的数学中心有一定距离,但他自始至终都与当时最新的研究潮流并行.他一共发表了 150 篇纯粹与应用数学方面的文章.无论如何,Burnside 的一生都在为他的数学做着兢兢业业的贡献.

Burnside 早年在剑桥所受的应用数学传统训练过重.10那时,应用数学基本上是指分析 (函数论,微分方程等) 在理论物理课题上的应用,如运动力学,弹性力学,电动力学,流体力学以及气体理论等等.因此在 Burnside 科研生涯的前 15 年,他发表的文章或是在这些应用领域,或是在椭圆函数和自守函数及微分几何领域,这是毫不足怪的.由于这些工作,1893 年他被选为皇家学会的成员.正是在这段时期,Burnside 的数学兴趣凑巧转移到群论,他为这个学科贡献了自己黄金时代的主要创造能力.

在写了“关于有限阶群论的注记”等系列文章 (及其他文章) 之后,1897 年,Burnside 出版了他的群论书 [\(\textbf {B}_{1}\)], 这是第一本对群论提供了全面论述的英文书.1911 年在扩展的第二版中加入了关于群表示的新内容.半个多世纪中,这本书无疑是详尽解释群论基本内容的最常引用的一本书.多佛出版社 1955 年重印的 Burnside 的书 (售价 2.45 美元) 现在被奉为数学中真正的经典之一.我们将在下一节中更多地讲到这本书.11

由于在上个世纪更替之时,群论在英国不是流行的学科,Burnside 的群论著作并未受到应有的赏识.当 1927 年 Burnside 去世时,《伦敦时报》报道说“剑桥最好的运动家之一”12故去了.我们也许可以责备记者不学无术,缺乏数学鉴赏能力,但即便是 Forsyth 在《伦敦数学会学报》上发表的长达 17 页的详尽讣闻中,对 Burnside 在群论方面的工作介绍也不到一页,纵使 Forsyth 深知,这项工作是 Burnside 在数学中“最深远也最引人注目的贡献”.Burnside 最大的贡献使他的名字与群论共存.而这些贡献在 Forsyth 的文章中却只字不提.我认为可能有两个原因。第一,可能是 Forsyth 对群论知之甚少.尽管他是剑桥的数学教授,但他的主要领域是函数论和微分方程.13我们不能因为他对 Burnside 在函数论和应用数学方面的工作更为热情而责备他.毕竟是这些工作使 Burnside 赢得皇家学会成员的称号.第二,Burnside 在群论方面的工作确实是超前于其所处的时代的.他的思想的深刻意义和想象力真正的效力,在他去世多年后才变得清晰.今天,我没有听到搞应用数学的同事谈起 Burnside 在流体动力学或空气动力学理论方面的工作,但在我的群表示论的研究生课上,我一定会教我的学生 Burnside 关于 \(p^{a} q^{b}\) 定理 (任一 \(p^{a} q^{b}\) 阶群是可解群) 的伟大证明!在数学中,跟其他学科一样,时间将会说明什么是人类最卓越、最持久的作品.

10根据 Forsyth [Fo] 所说,当时纯粹数学主要是“研究 Cayley 领域中的内容,即使考试名列前茅的优秀人才也绝少涉足.”

11现已知 Dover 出版社曾出版了另外两本 Burnside 书的重印本,一本是概率论,一本是方程论.前者是 Burnside 本人写的,出版于他去世后的 1928 年,它也是用英语写成的概率论方面最早期的书之一.但两卷本的方程论是由 Panton 和另一个 Burnside 写成的 (约在 1904 年).W. Snow Burnside 是都柏林的数学教授,是同时代的 Burnside.他们在同一英文杂志上发表文章时,一个署名为 W.S.Burnside, 而另一个就是 W.Burnside.关于这点的最早注解是由 S.Abhyankar 作的 [Ab, p.91, 脚注 43].

12《伦敦时报》关于 Burnside 的讣告全文引自 [\(\textbf {Cu}_2\), 第 3 章].

13其两卷本函数论和六卷本微分方程的书在当时相当流行.

《有限阶群论》(1897–1911)

由于他在 Klein 和 Poincaré 自守函数方面的工作,Burnside 熟悉了不连续群理论,也许引发他最终离开应用数学并转向有限群理论研究.19 世纪 90 年代初,Burnside 紧随着 Hölder 关于特殊阶群的工作,很快他作出了自己关于有限单群的阶的性质的工作.显然,Frobenius 早期的群论论文首先引发了他对有限阶可解群14的兴趣.

Burnside 的杰作《有限阶群论》的第一版出版于 1897 年.很清楚,这是写于 (上一) 世纪之交时的最主要的群论著作.在那个时期,当要向英国读者介绍有限群论时,这本书一定会在该领域的最近研究论文中不时出现.例如,业已证明,对阶为 \(p^{a} q^{b}\) 的群,当 \(a\leq 2\) 或 Sylow 子群是 Abel 群时,它是可解的;一个 (非交换的) 单群的阶如果是少于 6 个素数的乘积,则它必然是偶数.15很清楚,Burnside 领会到这些结果还未达到最终的形式.他在 [\(\textbf {B}_1\), 第一版 p.344] 中写道:

如果结果出现得零零碎碎,我们必须指出:这个领域的这一分支直到最近才受到关注,它应被认为是比那些彻底搞清的领域更有希望的研究领域.

Burnside 所选取的靶子是正确的,他认为:在这条研究路线上,藏着很多很多东西呢.但是,Burnside 当时对线性变换群可能的作用估计比较迟疑.因为置换群的理论在 [\(\textbf {B}_1\)] 中占据一大部分,而线性变换群则较少地受到关注,Burnside 感到有必要告诉他的读者,在 [\(\textbf {B}_1\)] 的第一版前言中他写道:

我对这一问题的回答是,从目前所知道的领域来看,有很多纯理论方面的结果,用变换群的性质处理起来要便利很多.如果要直接通过考虑线性变换群,发现结果可能会比较难.

他完全不知道,就在他的书将要出版时,欧洲大陆的 Frobenius 已经在群特征标上有了突飞猛进的发现,而且事实上已经写好了关于群的新表示论的第一篇论文 [F:(56)].结果是,以后的 10 年成为用群表示论研究有限群的结构并取得辉煌成就的见证.而 Burnside 则是得到这些成果的一个领头人.毫无疑问,Burnside 总是要把当时最活跃的发现带给他的读者.当 [\(\textbf {B}_1\)] 的第二版于 1911 年 (在第一版出版后 14 年) 出来时,与第一版有了很大的不同.除了有很多新结果外,还有新写的篇章,向读者介绍群表示论的方法.在新版的前言中,Burnside 写道:

特别是,线性变换群理论经几位作者的努力,已成为丰富的主要的研究分支.原版前言中所说的要加以忽略的理由都不再成立.事实上更确切地说,为了得到抽象群的进一步结果,人们必得极大地注意将群表示为线性变换群.

随着这些话,Burnside 将群论分支带入 20 世纪.他以其特有的优雅流畅的文风继续写了 500 页的高质量的数学论文.尽管后来的作者们发现 [\(\textbf {B}_1\)] 中出现了一个差错和一些打字错误,16但直至今天,Burnside 的书还是像它在整个 20 世纪那样,是一个宝贵的参考文献.我本人则把对 Burnside 书的偏爱发展为嗜好:每当我步入到旧书店时,一旦在书架上找到一本 Dover 版的书,我一定会买下它.到现在为止我已经拥有七 (或八) 本.真正的书的鉴赏家决不会放过 Burnside 书的第一版,因为它的珍稀和历史价值.显然,一本好书在珍本书店中可价值几百美元.

14群 \(G\) 是可解群是指它可由一个 Abel 群经过有限次群扩张而构作的群.当 \(G\) 是有限群时,一个等价的定义是 \(G\) 的合成因子都有素数的阶.

15Burnside 证明了这样的阶只能是 60, 168, 660 或 1092.

16其中最明显的一个错误出现在第 510 页。在总索引中,Burnside “清除”了自己最伟大的定理,而代之以这样一段可笑的字句“阶为 \(p^{a} q^{b}\) 的群 (其中 \(p\) 和 \(q\) 为素数), 必是单群”(甚至在 1955 年,Dover 版中仍保留着).是谁作的校对?我的天啊 \(\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \)

Burnside 在表示论方面的工作

在读了 Frobenius 的文章 [F:(53), (54)] 后,Burnside 几乎立刻就看出了 Frobenius 的新理论与自己所作的有限群研究之间的联系.他试图做的第一件事是用自己的方式去理解 Frobenius 的结果.在 19 世纪 90 年代,Burnside 也紧跟着 Sophus Lie 在连续变换群方面的工作,不同于 Frobenius, 他熟悉 Lie 群和 Lie 代数的方法.给定一个有限群 \(G\), 他能很快地从 \(G\) 定义出一个 Lie 群,它的 Lie 代数是群代数 \(\mathbb {C}[G]\) 加上括号运算 \([A,B]=AB-BA\).分析这个 Lie 代数的结构,他成功地导出了 Frobenius 关于特征标和群行列式的主要结果 (关于更多的细节,请参见 [\(\textbf {Cu}_2\)] 和 [\(\textbf {H}_2\)]).他将这些结果分为几部分发表 (见 [B:1898a, 1900b] 等文).Burnside 当然不是宣布他有任何新的结果.他在 [B:1900b] 中说:

本文的宗旨是向英国读者介绍这一新进展.本文不是开创性的,因为除了一两处很小的例外,这些结果都应归功于 Frobenius 先生.但我们证明的方式与 Frobenius 先生使用的方法完全不同.

事实上,虽然 Burnside 的方法与 Frobenius 的证明方法不同,但他的方法本质上很接近 Molien 在 1893 年作出的 [\(\textbf {M}_1\)].两人都利用了正则表示的思想.仅有的区别是 Molien 将 \(\mathbb {C}[G]\) 视为结合代数 (或超复数系), 而 Burnside 将其视为 Lie 代数.然而,Molien 的文章 [\(\textbf {M}_1\)] 没有什么人能看得懂,这也许就是它没有受到应有重视的原因.Burnside 也对 Molien 文章中的讲法感到不解.在后来的一篇文章 [B:1902f] 中,在引用 [\(\textbf {M}_1\)] 时,Burnside 公开地哀叹说:

要准确判断某个东西是否包含在 Molien 先生的文章中真是很不容易.

后来,Molien 和 Burnside 的方法被 E.Noether [N] 的方法所取代.正如本文第一部分“为现代读者准备的 \(\Theta (G)\) 的因式分解”一节中所指出的,Noether 应用 Maschke-Wedderburn 定理立刻得出了表示论方面的所有已知的基本内容.

Burnside 下一阶段工作的内容是对不可约表示及其应用的详尽研究.我们回忆一下,对于不可约 (或本原) 表示,Frobenius 最初是通过与之相连的群行列式来定义的.很显然,这种定义有点麻烦,需要用直接的定义来代替.Burnside [B:1898a] 和 Frobenius [F:(56)] 两人都以矩阵表示来定义表示的不可约性.诚然,正象 Charles Curtis 向我指出的,这些早期的定义就是现在我们所称的不可分解表示.1898 年左右,E.H.Moore (及 A.Loewy, 独立地) 得到了一个结果,即任一个有限的线性变换群容许存在一个非退化的不变的 Hermite 型.在 1899 年,Maschke 利用 Moore 的结果证明了有限群表示对任一子表示的可分性 (现称之为 Maschke 定理).有了这些结果,在表示的不可约性定义中可能存在的任何混淆立刻变得不太重要了.至迟在 1901 年,Burnside 已能够毫不含糊地描述表示的不可约性:“称有限群 \(G\) 被表示为 \(m\) 个变量的不可约线性群是指 \(G\) 是单或多重同构 (即同态) 于该线性变换群并且不可能选取变量的 \(m^{’}(<m)\) 个线性函数,使得这些变量之间按照群的每个运算而互相变化.”除了它的叙述冗长以外,这基本上就是今天我们所用的矩阵表示的不可约性的定义.

Burnside 继续证明了有限群表示的“完全可约性”[B:1904c], 并正式将之归功于 Maschke (及 Frobenius), 他使用这个性质给出了关于基本特征标理论的一个自给自足的表述 [B:1903d].这与他早先在 [B:1898] 中使用的连续群方法是相互独立的.一年以后,Burnside 在 [B:1905b] 中得到了对不可约表示的优美的描述,我们直到今天还在使用:

定理 4.1 表示 \(D:G\rightarrow \mathrm {GL}_n (\mathbb {C})\) 是不可约的,当且仅当 \(D (G)\) 中的矩阵张成 \(\mathcal {M}_n (\mathbb {C})\).

Burnside 对任意群 (而不仅是有限群) 证明了这个结果 (后来他在 [B:1905c] 文中对可能是无限的群使用了这条定理).接着,Frobenius 和 Schur 将此定理推广到线性变换的“半群”上.在此之后,我们可以将 Burnside 的这一主要结果以环论形式叙述如下:\(\mathcal {M}_n (\mathbb {C})\) 的子代数 \(A\) 在 \(\mathbb {C}^{n}\) 中无平凡不变子空间的充分必要条件是 \(A = \mathcal {M}_n (\mathbb {C})\). 以这种形式叙述后,Burnside 定理对于研究算子代数和不变子空间的人有直接的好处.对无穷维空间的推广现已得到一些,如 [HR] 的第 8 章.我们还要指出 Burnside 的结果对任意特征的域都是成立的,唯一的必要条件是基域必须是代数闭的 (见 [L,p.109]).

Burnside 对特征标 (他当时称为“群特征”) 的算术有很敏锐的眼光.他在特征论上作出的很多贡献都来自于他对特征值的算术性质的准确直觉.下列是几项他的典型结果,足以证明他的这种特点:

  • 1 每一个不可约特征 \(\chi \), 若 \(\chi (1)>1\), 则必有零值.

  • 2 群 \(G\) 中实值不可约特征的个数等于 \(G\) 中实共轭类17的个数.

  • 3 (2 的推论) 如果 \(|G|\) 为偶数.则 \(G\) 必存在一个非平凡的实值不可约特征 (反之亦然).若 \(|G|\) 为奇数,则 \(G\) 中共轭类的个数与 \(|G|\) 模 16 同余.

  • 4 如果 \(\chi \) 是 \(G\) 的一忠实表示的特征,则任一不可约特征由 \(\chi \) 的某个幂次组成 (这个结果通常归功于 Burnside.然而,Hawkins [\(\textbf {H}_3\), p.241] 曾指出,它早被 Molien 所证明.关于这个结果的定量表述后来由 R.Brauer 所发现).

Burnside 在群表示方面最不朽的结果,自然是前面我们已经提到过的伟大的 \(p^{a} q^{b}\) 定理.他在证明这定理时所用的方法仍是纯算术的.利用单位根与 Galois 共轭,他证明了下列结果 [B:1904a]:

定理 4.2 设 \(g \in G\),\(\chi \) 是 \(G\) 的一个不可约特征.若 \(\chi (1)\) 与 \(g\) 所在的共轭类的基数互素,则 \(|\chi (g)|=0\) 或 \(|\chi (g)|=\chi (1)\).

利用此定理及第二正交关系 (在本文第一部分方框中给出), 他得到了非常出色的 (有限) 群非单性的一个充分条件:

定理 4.3 如果 (有限) 群 \(G\) 的共轭类数目为 \(p^{k}\) , 其中 \(p\) 为素数且 \(k\geqslant 1\), 则 \(G\) 不是单群.

这个非单性充分条件是极有力的,Burnside 利用它立刻得到了 \(p^{a} q^{b}\) 定理,这是群论专家们追求了十几年的成果.18值得指出的是在 [\(\textbf {B}_1\), 2nd ed.p.323] 中,在证明了定理 (4.2) 之后,Burnside 将 \(p^{a} q^{b}\) 定理简述为“推论 3”:

定理 4.4 对任意素数 \(p,q\), 任意一个阶为 \(p^{a} q^{b}\) 的群是可解的.

利用 Sylow 定理,证明是如此容易和简单,我们在这里就可以重述.我们可以假定 \(p\neq q\), 对 \(|G|\) 进行归纳.只要证明 \(|G|\) 不是单群即可.固定一个阶为 \(q^{b}\) 的子群 \(Q\)(它的存在性由 Sylow 定理保证), 取 \(Q\) 的中心中一个元素 \(g\neq 1\).如果 \(g\) 在 \(G\) 的中心里,则 \(G\) 显然不是单的,19如果 \(g\) 不属于 \(G\) 的中心,则 \(C_G (g)\)(\(g\) 在 \(G\) 中的中心化子) 是 \(G\) 的包含有 \(Q\) 的真子群.则 \(g\) 的共轭类个数为 \([G:C_G (g)]=p^{k} \)(对某个 \(k\geq 1\)).于是由定理 4.3 就得出了 \(G\) 是非单的.

初看去,(4.4) 不像是非常深刻的结果,然而多年来,为了寻找它的纯粹的群论证明,群论学家付出了极大的努力.1970 年,根据 J.G.Thompson 的想法,D.Goldschmidt [Go] 给出了当 \(p\),\(q\) 都是奇素数时的第一个群论证明. Goldschmidt 的证明使用了一个较为深刻的群论结果,即 Glauberman \(Z (J)\) 定理.几年之后,Matsuyama [Mat] 给出了定理 (4.4) 中剩下来的 \(p=2\) 情形的证明,完成了 Goldschmidt 的工作.稍稍领先于 [Mat], Bender [Be] 对一切\(p,q\) 给出了 (4.4) 的证明.其中使用了 \(p\)-群的 Thompson 子群的一种变形.尽管这些群论证法都不太长,同时包含了特别巧妙的推理,但无疑都赶不上 Burnside 原始的利用特征理论的证明具有的那种令人赞叹的简洁和优美.而对于 \(p^{a} q^{b}\) 定理的更为一般的定理 (4.3), 至今也未找到它的纯粹群论证明.

17共轭类称为实的,是指它在逆运算之下是封闭的.

18正如前一节所指出的,Burnside 在没有使用表示论时已证明了该定理的许多特殊情形,这些都总结在 [\(\textbf {B}_1\)] 的第一版中.

19此时 \(g\) 生成的循环群是 \(G\) 的一个正规子群.——译注

幻想家和预言家

如果我们对 Burnside 群论的工作追溯到最开始,就会很清楚地看出,打一开始起,他主要目的之一就是搞清楚有限单群,从 Galois 的工作和 Jordan–Hölder 定理,Burnside 知道有限单群的作用,但在 19 世纪 90 年代很少有人继续做这项工作.仅仅知道的有限单群就是 Galois 的交错群 \(A_n (n\geq 5)\), Jordan 的射影特殊线性群 \(\mathrm {PSL}_2 (p)(p\geq 5)\), Mathieu 群中的几种,以及阶为 504 的 Cole 单群.现在认清了,后者就是 \(\mathrm {PSL}_2 (8)\). 由于在 19 世纪 90 年代初,人们对有限域知之甚少,因此 1893 年,Cole 不得不“徒手地”将其构作为一个 9 次置换群.20

1892 年,Hölder 发现了所有阶 \(\leq 200\) 的单群.下一年,构造了 504 阶单群的 Cole 将 Hölder 的工作推进到了 660=\(|\mathrm {PSL}_2 (11)|\). 其后两年,Burnside 进一步将此工作扩充到阶为 1092=\(|\mathrm {PSL}_2 (13)|\), 他也证明了一些关于单群阶的早期的定理.例如,证明了若其阶为偶数,则必被 12、16 或 56 整除.这些结果都总结在 [\(\textbf {B}_1\)] 的第一版中.借助于这些理论结果,Burnside 坚信,Hölder 的计划至少可推进到阶为 2000 的群.然而,他又观察到了征兆:“当群的阶增加时,会使得研究量变得更加繁重.因为你必须处理不断增多的各种不同情形”, 显然,要求有更强的一般性结果.从下面所引的 Burnside 在其第一版书的结尾注记中,我们可以欣赏到他的令人赞叹的远见:21

目前没有发现奇数阶的单群.22在关于这种群存在与否的研究,无论最后结论如何,毫无疑地都会得出重要的结果;它会使读者感到它是值得关注的.还有,也没有一个单群的阶包含有少于三个的不同素因子.\(\cdots \cdots \) 在这个方向的研究也将会得出有趣且重要的结果.

在这一小段文字中,Burnside 提出了 20 世纪在有限群论中需要对付的两个最主要的研究课题.

第二个问题提出没有多久,Burnside 的力作 [B:1904a] 就解决了它:阶为 \(p^{a} q^{b}\) 的群的可解性 (定理 4.4) 就蕴含了其非单性 (反之亦然).这个大定理的证明之关键,在于应用了新发现的特征论这一工具.然而第一个问题,即奇数阶群的可解性证明起来要困难得多.Burnside 关于奇数阶群的文章 [B:1900c] 的目的显然是要解决这个问题,他得到了很多正面的例证.例如,他证明了阶小于 40000 的奇数阶群都是可解的.类似地,次数为素数或小于 100 的奇数阶可迁置换群也是可解的.证明中包含了一些特征论中的论证,这促使 Burnside 在 [B:1900c] 的引言部分作了下列预言:

本文中所得到的结果 (这只是应该有的结果的一部分) 对我而言是指出了复合奇数阶单群是否存在的有趣问题的答案可能要通过对群特征论的进一步研究才能达到.

很清楚,在 Burnside 出版 [\(\textbf {B}_1\)] 的第二版时,他已经确认奇数阶群是可解的.不仅是猜想,他总结情况说 (在 Note M, p.503):“关于奇数阶群与偶数阶群之间结果的对照告诉我们奇数阶单群必定是不存在的.”

Burnside 在他的有生之年没有见到奇数阶问题的解决.事实上,在接下来的 45 年中,这个问题都没有什么进步可言.然后,随着 Brauer 利用对合的中心化子研究单群的新思想渐渐普及后,新的有意思的结果才浮出水面.最后,Feit 和 Thompson 在 M.Suzuki, M.Hall 及他们自己的工作基础上,于 1963 年成功地证明了所有奇数阶群都是可解的.他们近乎完美的工作有 255 页,占据了《太平洋数学杂志》整整一期的版面.定理的证明不仅仅是说明 Burnside 的“猜想”是正确的,而且也说明他关于特征标理论将在定理证明中起主要作用的预见是正确的.确实,在 Feit–Thompson 论文的第五章中,差不多有 60 页全部是关于特征标和 Frobenius 群的.Feit 和 Thompson 在 1965 年由于此项工作双双获得 Cole 奖,Thompson 更由于其后关于极小单群的工作获得了 1970 年的 Fields 奖.所有这些工作以 80 年代早期有限单群分类计划的完成而达到了高潮.

这个项目取得的极大成功显然已远远超过了 Burnside 的梦想,他曾在 [\(\textbf {B}_1\)] 的第一版第 370 页说:“后一问题的完全解决是不可预期的”.但这是因为他是在 19 世纪 90 年代的“黑暗时期”.如果 Burnside 知道 \(p^{a} q^{b}\) 定理,奇数阶群可解定理以及在 20 世纪 60 年代或 70 年代才发现的某些散在单群,他可能有不同的感想.今天,我想人们大都会同意:没有 Burnside 先驱性的努力,有限单群的分类计划是不可能完成的.

在 1902–1905 年,出现在 Burnside 文章中的另一个著名的群论问题是关于挠群 (即其中每个元素皆有有限阶的群) 的.这个问题有如下两种 (显然相关的) 叙述方式:

Burnside 问题 (1)设 \(G\) 是一个有限生成的挠群,\(G\) 是否必为有限群?

Burnside 问题 (2)设 \(G\) 是一个有限生成群,具有有限指数 \(N\)(即,对任一 \(g\in G\), 都有 \(g^{N}= 1\)). \(G\) 是否必定为有限群?用表示论方法,Burnside 对问题 (2) 在复线性群的情形能给出肯定的答案.事实上,他的方法说明了,如果 \(G\) 是 \(\mathrm {GL}_n (\mathbb {C})\)(对某个 \(n\)) 的子群,且 \(G\) 有指数 \(N\), 则必有 \(|G|\leq N^{3}\).这个结果是用迹的方法来证明的,这显然是由 Burnside 在特征标方面的不断努力促成的.Burnside 还证明了对于具有指数 \(N\leq 3\) 的任意群,(2) 也是对的.后来,Schur 给出了当 \(G\subseteq \mathrm {GL}_n (\mathbb {C})\) 时 (1) 肯定是对的,Kaplansky 将 Schur 的结果扩张到 \(G\subseteq \mathrm {GL}_n (K)\), \(K\) 为任一域.证明的细节可参见 [L,§9].

Burnside 的问题 (1) 和 (2) 一开始时进展很慢.对 \(N=4\) 时 (2) 的肯定由 I.N.Sanov 在 1948 年给出,\(N=6\) 的由 M.Hall 在 1958 年给出.对于 \(N\geq 72\), P.S.Novikov 在 1959 年宣布 (2) 的结果是否定的,然而从未发表过详细的证明.最后,在 1968 年,对 \(N\) 是奇且 \(N\geq 4381\) 的情形,(2) 的反面结果出现于 Novikov 和 S.I.Adian 的合作文章中.对于小的 \(N\), \(N\notin \{2, 3, 4, 6\}\) 或 \(N\) 为偶数情况下,已知的东西不多.特别在 \(N=5, 8\) 的情形下,问题仍是未决的.至于问题 (1), 则变得容易得多了.1964 年,E.S.Goldo 对每个素数 \(p\) 都得出一个两个生成元的无限群,其中每个元素的阶都是 \(p\) 的幂次.这就宣布了 Burnside 的问题 (1) 答案是否定的.

然而,这还不是故事的结束.从 30 年代起,群论学家已经考虑 Burnside 问题的其他变形.我们可以简述如下,对给定的自然数 \(r\) 和 \(N\), 设 \(B (r, N)\) 是有 \(r\) 个生成元且指数为 \(N\) 的“万有 Burnside 群”, 换句话说,\(B (r, N)\) 是一个 \(r\) 个生成元的自由群模掉由所有 \(N\) 次幂元生成的正规子群所得的商群.上面的 Burnside 问题 (2) 相当于问题“\(B (r, N)\) 是否是有限群.”这个问题的下述变形叫作:

局限的 Burnside 问题对给定的自然数 \(r\) 和 \(N\), 是否只有有限多个 \(B (r, N)\) 的商群?

这就是说,尽管万有群 \(B (r, N)\) 是无限的,我们还是希望仅存在有限种方法将其“具体化”为一个有限的商群 (因此就有唯一一种方法将其特征化为最大可能的有限商群).1959 年,A.I.Kostrikin 对所有素指数得到了问题的肯定的解答.他的绝大部分工作 (属于俄国学派) 收在其后他写的《环绕 Burnside》一书中.在知道了 Burnside 问题 (2) 的部分否定的结果后,对局限的 Burnside 问题的兴趣大增.突破性的结果在 1990 年由 Zelmanov 得到,他对所有的 \(r\) 和所有的 \(N\) 得到了该问题的肯定的答案.令人 (如果不是对行家也是对其他人) 吃惊的是,Zelmanov 的解法强烈地依赖于 Lie 代数和 Jordan 代数的方法.Zelmanov 解法的另一种要素是有限单群的分类.凭借着 Hall 和 Higman 的早些结果,Zelmanov 利用分类定理的一些推论把一般指数情形简化为幂指数的情形.那时 Zelmanov 的主要工作,先是 [\(\textbf {Z}_1\)] 对于 \(N =p^{k}\)(\(p\) 是奇数), 然后 [\(\textbf {Z}_2\)] 对于 (更为困难的) \(N=2^{k}\) 的情形确认了局限 Burnside 问题.为此,Zelmanov 得到了 1994 年的 Fields 奖.回首往事,我想 Burnside 引入注目的不仅是表示论方面的工作,而且他提出的问题实际上孕育出了其后两个 Fields 奖得主的工作.这是一笔何其丰厚的数学遗产呀!

我的老师和导师经常激励我去“读读大师”:从中我们可以学到大师们深刻的洞察力,这种洞察力可以在他们的原著中或含蓄或明显地表示出来,要不惜任何代价,不要与它失之交臂.在结束本节时,我想我要将这个中肯的劝告转达给年轻的同事们,Burnside 的书 [\(\textbf {B}_1\)] 就是一个恰当的例子.在这部名著中包含了这么多有价值的信息.其中还有大师留给后辈们去发掘的“财富”(已知的或尚未发现的).在 [\(\textbf {B}_1\)] 第二版的 \(\S \) 184–\(\S \) 185 两节中,Burnside 讨论了群 \(G\) 的可迁置换表示的特征标,作出了“记号表”(即它们的特征值), 并演示了如何使用这种记号,使得结果可以表为这些记号的整数系数的组合.半个多世纪以后,L.Solomon 发展了这个思想 (在 [So] 中), 他正式构作了有限 \(G\)-集合同构类的交换 Grothendieck 环,并恰当地将其命名为群的“Burnside 环”.今天 Burnside 环 \(\mathfrak {B}(G)\) 不仅在表示论中,而且在组合论和拓扑 (特别是在同伦论) 中都是重要对象.23后来的作者们发现,Burnside 环 \(\mathfrak {B}(G)\) 与群 \(G\) 本身的联系是令人惊异的.例如,A.Dress [Dr] 证明了 \(G\) 是可解群当且仅当 \(\mathfrak {B}(G)\) 的 Zariski 素谱是连通的,还有用 \(\mathfrak {B}(G)\) 的术语对极小单群的类似的描述.1997 年 4 月在 MSRI (即 Berkeley 的数学科学研究所) 举行的表示论与组合论的交叉的研究活动时我见到了 L.Solomon.我问他,是否“Burnside 环”源自他的文章 [So], 他肯定了这点,并强调说:“这完全是属于 Burnside 的!”

205 年以后,Burnside 以生成元和关系表示出了 Cole 群,并注意到它同构于 \(\mathrm {PSL}_2 (8)\), 见 [B:1898d].

21在 [\(\textbf {B}_1\), 1st ed.P.379] 中 §260 的注记.

22显然,文中认为素数阶循环群是平凡的,不足道的.——译注.

23[CR] 是对于此主题的一本好的参考资料,其中整个最后一章描述 Burnside 环和它的现代类比,表示环.

两个数学家的故事

在我沉思并写下 Frobenius 和 Burnside 两人著作年表时,不禁注意到这两位出色的数学家有很多有趣的相似.他们俩人在风格上有很大不同,正如人们都明白一个德国人和一个英国人是多么不同,但他们的数学生涯却有那么多惊人的相似,这不禁令我们大胆地尝试作一下直接的对照.

Burnside 比 Frobenius 小三岁,晚去世十年,所以他们是真正的同一代的人.巧合的是他们在同一年 1893 年被分别选入所在国家的最高学术机构.Frobenius 是在普鲁士科学院,Burnside 则是在英国皇家学会.在数学上,两人都是从分析开始,而在年富力强时发现了自己所钟爱的群论这一分支.两人都是通过 Sylow 定理进入群论,并各自发表了抽象群的 Sylow 定理的证明.Frobenius 发表于 1887 年,Burnside 发表于 1894 年.Burnside 在 1893–1896 年期间发表了其他一些群论文章,其中也有一部分与 Frobenius 早些时发表的论文内容重复.显然,这些东西是 Frobenius 先得到的,而 Burnside 也因为自己发表文章以前没有充分地查阅文献而感到窘迫.这次经验给 Burnside 上了宝贵的一课.从这以后,他密切追随着 Frobenius 的工作.在其后的一些文章中,他经常提到 Frobenius 的工作,尊敬地称他为“Herr Frobenius”(“Herr”即德语“先生”之意) 或“Frobenius 教授”, 在书 [\(\textbf {B}_1\)] 中,Frobenius 受到的引用比其他作者 (包括 Jordan 和 Hölder) 都多.然而 Frobenius 对 Burnside 的工作不感兴趣,至少在一开始时是这样的.在 1896 年 5 月 7 日写给 Dedekind 的信中,Frobenius 提到了 Burnside 关于群行列式的文章之后说道:

就是同一位 Burnside 先生几年前就用很快地重新发现所有我已发表的群论定理来打扰我,而且无一例外地按同一顺序作:首先是我对于 Sylow 定理的证明,然后是阶数无平方因子的解的定理,关于阶为 \(p^{a} q\) 的群的定理,关于阶数为 4 或 5 个素因子乘积的定理,等等.

如果说上述感慨是 1896 年发出的,那么我们能够想象出 Frobenius 在后来看到 Burnside 的一系列文章 [B:1898a, 1900b] 等等将有什么样的感想.在这些文章中,Burnside 真的重新导出了 Frobenius 关于群行列式,群特征标及正交关系的所有结果.至少有一次或两次 (例如在 [\(\textbf {B}_1\)] 第二版的第 269 页), Burnside [B:1898a] 说自己“独立得到 Frobenius 教授早期论文中的主要结果”.关于 Burnside 这一论断的专家分析,我们请读者参阅 [\(\textbf {H}_{2}\), p.278].

也许是命运的捉弄,Frobenius 和 Burnside 的群论工作一直是常常互相盘绕的:他们有共同感兴趣的问题,而且很多情况下,他们努力得出的恰是同样结果.下列是一些有趣的比较.

1.Frobenius 和 Burnside 都曾在有限群中正规 \(p\)-补的存在性的问题上工作.双方各自得出了这种 \(p\)-补存在的重要条件.他们的条件是不同的,而得出的结果却都是今日有限群论中的标准结果.Frobenius 的结果似乎更强一点儿,因为它给出了必要且充分条件.而 Burnside 的结果只提供了一个充分条件.

2.令 Frobenius 深感兴趣的素数次可迁群问题,Burnside 也作出了结果,在 [B: 1900c] 证明了任一这样群或是双可迁的,或是亚循环的 (metacyclic).由此可得出,不存在素数次的奇数阶 (合数) 的单群.文 [B: 1900c] 紧跟着 Burnside 另一篇关于群特征标的 [B: 1900b] 出现,代表着群特征标对群论第一次真正的应用.Frobenius 自己也承认了这点.

3.Frobenius 群.Burnside 对这个群有着浓厚的兴趣,并在 [\(\textbf {B}_{1}\)] 第一版 141—144 页专门写此群,接着在论文 [B: 1900a] 中研究它.显然他想证明 Frobenius 核是一个子群,并于 1901 年得以在 Frobenius 补有偶数阶或是可解的情形下证明了这个结论.如果我们假定有 Feit–Thompon 定理,则可得出在所有情形下对这一预期结果的真正的证明.也许这就是加强了 Burnside 关于奇数阶群是可解群的信念的理由之一.我们不能肯定是这样.无论如何,Frobenius 群的问题是 Frobenius 占先了,因为他在 1901 年证明了在所有情况下 Frobenius 核是一个子群.Frobenius 凭借着雄厚的诱导表示知识,在这场竞赛中占了优势.

4.\(p^{a} q^{b}\) 群的可解性.这显然是 Frobenius 和 Burnside 的共同目标.两人都有很大希望攻克它.记 \(m\) 是 \(p\) 模 \(q\) 的指数,Burnside 在 \(a<2m\) 的情形下给出了正面解 [\(\textbf {B}_{1}\) 第一版 p.345.] 后来 Frobenius 将 Burnside 的假设放宽为 \(a\leq 2m\), 这结论在所有情况下的真实性在 1904 年为 Burnside 所证明 (上面定理 4.4).这样,Burnside 在特征标计算方面的技巧又使得他赢得了优势.

由于 Frobenius 和 Burnside 研究很多共同的问题,所得的结果也互相关联,因此难怪后人有时搞不清哪项结果是属于哪个作者的.一个最明显的例子是一个著名的计数公式.它是说:有限群 \(G\) 作用于一个有限子集 \(S\), 则 \(G\) 的元素的固定点数的平均值等于 \(S\) 在 \(G\) 的作用下的轨道数目 (见下面“一条不属于 Burnside 的引理”).从 20 世纪 60 年代开始,越来越多的作者引用这个计数公式时称之为“Burnside 引理”.根据 P.M.Neumann [Ne] 考证,S.Golomb 和 N.G.de Bruijn 在 1961 以及 1963—64 年最先引用此公式并将之归功于 Burnside, 此后“Burnside 引理”的名声传开.而 Burnside 在他的群论书中确实写下了这条引理 [\(\textbf {B}_{1}\), p.191], 但他和这个引理没有多少关系.Neumann 在他的文章“一条不属于 Burnside 的引理”中说,Cauchy 是最先应用这个想法的,当时用于研究可迁群,而后是 Frobenius 将此引理清楚地表述 (见 [F:(36), p. 287]), 也是他最早在应用中理解了这个公式的重要性.在 [Ne] 结尾的一个引用中,他建议将此公式冠名为“Cauchy–Frobenius 引理”, 此建议得到 de Bruijn 的赞同.但是,在与 Stoy 和 Thompson 合写的群论书 [NST] 中,Neumann 无意中竟决定称这个结果为“非 Burnside 引理 (Not Burnside’s Lemma)”!

“一条不属于 Burnside 的引理”

\[\#(S\text {的 $G$-轨道})=\frac {1}{| G |}\sum _{g \in G}\pi (g),\]

其中 \(\pi (g)\) 是 \(S\) 中被 \(g\) 作用不动的点数.据 R.C.Read [PR, p.101] 说“这个引理可比喻作乡下人数母牛的方法,即数了腿数之后除以 4”.令人啼笑皆非的是,有时数腿数比数牛数容易些。例如计算由两种颜色 (例如绿色和蓝色) 的六颗串珠串成的不同的宝石项链的个数,我们应用上述公式,以一个 12 个元素的二面体群作用于 \(2^{6}=64\) 的“形式项链”上,可得到答案为 13.Burnside 应得的功绩只是将 Cauchy–Frobenius 公式通俗化,写入了他的书中,后来这个公式被进一步推广而成著名的 Pólya 基本定理,成为计数组合学领域中的一个里程碑.从表示论观点看,\(\pi \) 是与 \(G\) 在 \(S\) 中的作用相对应的置换表示的特征标.Burnside 在他的书中证明了,当此作用为二重可迁时,\(\pi \) 是平凡特征标与一个 \(G\) 的不可约特征之和.

另一个类似的例子,是在上半篇中提到的一个定理,即群 \(G\) 的不可约 (复) 表示的次数整除 \(G\) 的阶.有些作者将此定理归功于 Burnside, 但仍然是 Frobenius 第一个证明了这个结果,我们只要读读 Frobenius 的经典的群行列式文章 [F:(54) ]24的最后一页便可容易地验证此事.Burnside 为此定理提供了用他自己的术语的证明,但这定理无疑是属于 Frobenius 的.后来,Frobenius 的学生 Issai Schur 证明了群 \(G\) 的不可约表示的次数整除 \(G\) 的中心的指数,N.Itô 最终证明了该次数整除任一 Abel 正规子群的指数.

我们用这两个关于归属权的小故事来结束关于 Frobenius 和 Burnside 的生活与工作的讨论.虽然他们的工作密切相连,但好像彼此从未谋面或通信.如果这两个伟大的数学家是相识的,或者他们之间有类似 Frobenius 和 Dedekind 之间的书信往来,那么有限群表示论的历史就会大大不同了.

24Hawkins 曾指出 [\(\textbf {H}_{2}\), p.271], Molien 也曾独立地证明此结果.

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