椭圆函数正篇:Gauss与AGM(0)


Das Werk des Genius scheint es zu sein, die natürliche Weiterentwicklung, um ein gut Stück dem Bewußtsein der Zeitgenossen vorauseilend, vorzuahnen, und eben dadurch eine entscheidende Wendung und eine gesteigerte Produktion in neuem, früher nicht gekanntem Geiste herbeizuführen. An ihm scheiden sich die geschichtlichen Epochen, er ist die höchste Ausbildung der vergangen, die er abschließt, zugleich das Fundament der neuen, die er noch weit——durchgreifender und wirksamer als es vielleicht im Bewußtsein der Zeit lebendig ist——mit seinen letzten Ausstrahlungen durchsetzt; wenn es mir gestattet ist, ein Gleichnis zu brauchen: Gauß erscheint mir wie die Zugspitze im Gesamtbild unserer bayrischen Berge, wie es sich dem Beschauer von Norden her darbietet. Die allmählich von Osten her ansteigenden Kuppen gipfeln in dem einen riesigen Koloß, der steil abfällt in die Niederungen einer neuen Formation, in die seine Ausläufer noch auf viele Meilen weit hineinragen und in denen die von ihm abströmenden Wasser neues Leben erzeugen.天才人物的作用似乎是,他们对科学自然延续的感知,比同时代的人自觉得要早得多,这样就带来决定性的转折,和越来越多的在全新精神下的产物。天才人物是历史时期的分界点:他是以他为结束的旧时期的最高点,他又是新时期的基础,而他最后的光辉又将要渗透入新的时期中,比时代可能具有的自觉性还要更加透彻,更加有效。请允许我做一个比喻:对于我,高斯好比是从北边看巴伐利亚群山所见的最高峰。小山峰从东向西逐渐上升,汇聚成巍峨的高山,再陡然下降成为平地的新风景,山麓在其中绵延千里,泉水从中流淌而下,带来了新生命。

[摘自 Felix Klein《数学在十九世纪的发展》(第一卷,第一章)。原文来自Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19. Jahrhundert,译文主要采取齐民友先生的译文 (高等教育出版社,2010),根据 M. Ackerman 的英译 (Math Sci Press, 1979) 对文字做了微调。]


1827 年时年 25 岁的 Abel 在 Crelle 杂志上发表了他关于椭圆函数的研究“Recherches sur les fonctions elliptiques”的第一部分。Gauss 看过 Abel 的文章后,在 1828 年 3 月 30 日写给 Bessel 的信中这样说道 [原文来自 Gauss 全集第十卷第一册,248 页,译文来自 A. N. Kolmogorov 等人编辑的十九世纪数学史的英译文,138 页]:

...Zur Ausarbeitung meiner seit vielen Jahren (1798) angestellten Untersuchungen über die transcendenten Functionen werde ich vorerst wohl noch nicht kommen können, da erst noch mit manchen anderen Dingen aufgeräumt werden muss. Herr Abel ist mir, wie ich sehe, jetzt zuvorgekommen und überhebt mich in Beziehung auf etwa ein Drittel dieser Sachen der Mühe, zumal da er alle Entwickelungen mit vieler Eleganz und Concision gemacht hat. Er hat gerade denselben Weg genommen, welchen ich 1798 einschlug, daher die grosse Uebereinstimmung der Resultate nicht zu verwundern ist. Zu meiner Bewunderung erstreckt sich diess sogar auf die Form und zum Theil auf die Wahl der Zeichen, so dass manche seiner Formeln wie einereine Abschriftder meinigen erscheinen. Jeder Missdeutung zuvorzukommen bemerke ich jedoch, dass ich mich nicht erinnere, von diesen Sachen irgend jemand etwas mitgetheilt zu haben. ...……眼下看来我可能没有时间返回到我已经研究了很多年 (从 1798 年开始) 的超越函数上去,因为我得先处理很多其他的事情。我现在看到,Abel 先生已经走在我前面并且卸掉了我差不多三分之一的担子 [指未发表内容],特别 [要指出的] 是他以简洁准确的方式完成了所有 [相关的] 计算。他和我 1798 年选择 [向问题进攻] 的路线是完全相同的,因此 [我们的工作] 有大量重合并不奇怪。令我吃惊的是这种相似性甚至体现在 [代数式] 形式以及部分记号的选择上,以致于他的许多公式就是我自己的公式的翻版。然而为了避免误解,我要声明,我并不记得我曾经与其他人讨论过我这方面的研究。……

就像卢昌海站长在其《黎曼猜想漫谈》中所说的那样:

但是 Gauss 并没有发表这一结果。 Gauss 是一位追求完美的数学家,他很少发表自己认为还不够完美的结果,而他的数学思想与灵感犹如浩瀚奔腾的江水,汹涌激荡,常常让他还没来得及将一个研究结果完美化就又展开了新课题的研究。因此 Gauss 一生所做的数学研究远远多过他正式发表的。但另一方面, Gauss 常常会通过其它的方式——比如书信——透露自己的某些未发表的研究成果,他的这一做法给一些与他同时代的数学家带来了不小的尴尬。其中“受灾”较重的一位便是 Legendre。

两人撞车不仅仅在最小二乘法和素数定理的发现上。Jacobi 在 1827 年 8 月 5 日与 Legendre 的首次通信中提到,Gauss 宣称自己在 1808 年就已经发现了椭圆函数的某些结果。Legendre 在 11 月 30 日的回信中怒火冲天 [原文来自 Jacobi 文集第一卷,译文来自高木贞治《近世数学史谈》第四章以及 Reinhold Remmert 的 GTM 172, p. 29]:

Comment se fait-il que M. Gauss ait osé vous faire dire que la plupart de vos théorèmes lui était connus et qu'il en avait, fait la découverte dès 1808? Cet excès d'impudence n'est pas croyable de la part d'un homme qui a assez de mérite personnel pour n'avoir besoin de s'approprier les découvertes des autres. Mais c'est le même homme qui en 1801 voulut s'attribuer la découverte de la loi de réciprocité publiée en 1785 et qui voulut s'emparer en 1809 de la méthode des moindres carrés publiée en 1805. D'autres exemples se trouveraient en d'autres lieux, mais un homme d'honneur doit se garder de les imiter.Gauss 怎么敢向您宣称,您的绝大多数定理他已然知晓,而且早在 1808 年他就发现了这些定理?这样一个已经功成名就的人本没有必要抢他人之功 [为己有],做出这种无礼至极的举动简直是不可思议。但就是同一个人,在 1801 年想要将 [我] 1785 年发表的二次互反律的发现据为己有,而且 [这个人] 在 1809 年又想占有 [我] 1805 年发表的最小二乘法。别的例子还可以在别处举出,不过一个有荣誉感的人绝不可以去模仿这样的 [行径]。

Legendre 自然是愤愤不平。次年 4 月 14 日,Legendre 又重复了一遍 [原文来自 Jacobi 文集第一卷,译文来自高木贞治《近世数学史谈》第四章]:

M. Bessel a mandé à M. Schumacher que vous êtes fortement occupé de la rédaction d'un grand mémoire sur les fonctions elliptiques. Ce travail contiendra sans doute des développements curieux et très-intéressants de votre nouvelle théorie; il ne pourra manquer de vous faire beaucoup d'honneur; mais je vous engage de ne pas trop tarder à publier les parties essentielles de ce travail. Il y a des gens comme M. Gauss, qui ne se feraient pas scrupule de vous ravir, s'ils le pouvaient, le fruit de vos recherches, et de prétendre qu'elles sont depuis longtemps en leur possession. Prétention bien absurde assurément; car si M. Gauss était tombé sur de pareilles découvertes qui surpassent à mes yeux, tout ce qui a été fait jusqu'ici en Analyse, bien sûrement il se serait empressé de les publier.Bessel 先生已经告诉过 Schumacher 先生:您正在忙于写一部关于椭圆函数的大作。这项工作毫无疑问包含着您的新理论的极其引人入胜的进展;这部作品不可能不会给您带来极大的荣誉,但我还是要敦促您赶快把这项工作的关键部分发表出来。因为 [毕竟] 还有 Gauss 先生这样的人在,这种人如果可能的话,会毫无顾忌地偷窃您的研究成果,而且假装自己已经在很久以前就拥有这些发现了。这种话毫无疑问是荒谬的谎言。如果 Gauss 先生真的有什么发现,而且这些发现是到目前为止我都没有目睹的成果,他肯定早就把这些成果发表出去了。

根据高木贞治《近世数学史谈》,此后六个月,Legendre 又强调了一遍 (1828 年 10 月 15 日)[来源及译文同上]:

Je remarque au surplus que votre possession à vous et a M. Abel est maintenant bien assurée. L'envahisseur M. G. ... ne s'avisera point, je pense, d'écrire qu'il avait trouvé tout cela longtemps avant vous, car s'il disait pareille chose, il se ferait moquer de lui.我再加一句,您和 Abel 先生的 [成果] 现在是很安全了。我觉得,某个入侵者 G 先生,他还是不把自己那些在您之前很久就发现的东西写下来比较好,如果他要写出来,那就成了别人嘴里的笑话了。

无论 Legendre 如何愤慨,事实证明,Gauss 确然在更早的时候就有了惊人的发现。但 Gauss 在发表文章这件事上是和 Legendre 的想法针锋相对的。1829 年 1 月 27 日,Gauss 在写给 Bessel 的信中就自己关于非欧几何的研究这样说道 [译文依然来自高木贞治《近世数学史谈》第四章]:

...Inzwischen werde ich wohl noch lange nicht dazu kommen, meine sehr ausgedehnten Untersuchungen darüber zur öffentlichen Bekanntmachung auszuarbeiten, und veilleicht wird diess auch bei meinen Lebzeiten nie geschehen, da ich das Geschrei der Boötier scheue, wenn ich meine Ansicht ganz aussprechen wollte. ...……同时,我可能没有办法把我在这个主题上的大量工作公布出来,而且在我在世期间可能也不会发表这些内容,如果我一旦完整公布出来,那些愚人的喊叫我可受不了。……

另一方面,他自己对优先权的态度是这样的 (1812 年 1 月 30 日致 Laplace 的信,原文来自 Gauss 全集第十卷第一册,译文来自高木贞治《近世数学史谈》第四章):

...J'ai dans mes papiers beaucoup de choses, donc peut etre je pourrai perdre la priorité de la publication: mais soit, j'aime mieux faire mûrir les choses. ...我的草稿里还有很多东西,也许我失去了发表的优先权。但是 [无所谓,] 我宁可等到东西成熟起来 [再说]。

Gauss 就这样隐藏着自己的很多成果,一直到他去世。Gauss 文集的第一卷在 Gauss 去世八年后出版,但这离网罗 Gauss 所有的作品还差得远。根据 Klein 的记载,Gauss 的一部分稿件必然已经遗失。幸好 1898 年发现了 Gauss 的数学日记,可以作为 Gauss 1796 年到 1801 年工作的总纲,而 Gauss 关于椭圆函数的工作就从这一段时间中孕育出来。

[下文的资料主要来自五个人的工作:L. Schlesinger,高木贞治,A. I. Markushevich, Jeremy Gray, David Cox, 在此向先贤致敬]

作者: rainbow zyop