Euler 的猜想

$x^4+y^4+z^4=w^4$ 不存在非平凡整数解

是在 1987 年前后被 Noam Elkies 等人否定的。这件事知乎上已经有好几位用户提到过。不过，近来看到一些与 Euler 猜想的否证相关的故事，值得作为自己自行选题的第一篇文章的内容。这些内容或许 150 年前的数学家们也会感兴趣。

Euler 本人对数论的热爱几乎贯穿了他的整个数学生涯。据 Andre Weil 所说，Euler 一生中关于数论最重要的记录当属他本人与 Goldbach 1730 年至 1756 年互相来往的信件。Goldbach1729 年 12 月 1 日的信件提到了 Fermat 的猜想：$2^{2^n}+1$ 对所有自然数 n 是否都是质数？Euler 本人一开始对 Fermat 的猜想似乎并没什么热情，但在 Goldbach 本人的坚持下，Euler 在 1730 年 6 月开始阅读 Fermat 的著作，从此一发不可收拾。

Fermat 大定理的内容现在已经是尽人皆知了。Euler 就 Fermat 大定理写过很多篇文章，并且证明了 n=3 和 n=4 的 Fermat 大定理。从 n=4 的 Fermat 大定理到 Euler 的猜想仅仅是简单的外推而已。Euler 对于自己的猜想是有些自信的。在1772 年的文章中他是这样写的：

Quum demonstratum sit, neque summam neque differentiam duorum biquadratorum, quadratum esse posse, multo minus biquadratum esse poterit; haud minori autem fiducia negari solet, summam trium adeo biquadratorum umquam biquadratum esse posse, etiamsi hoc nusquam demonstratum reperiatur. Utrum autem quatuor biquadrata reperire liceat, quorum summa sit biquadratum; merito dubitamus, quum a nemine adhuc talia biquadrata sint exhibita. Since it has been demonstrated that neither the sum nor the difference of two fourth powers can be a square, much less can it be a fourth power; one would hardly have any more doubt that the sum of three fourth powers could ever be a fourth power, even if this has still not been demonstrated. We are rightly uncertain whether one can find four fourth powers whose sum is a fourth power, since so far no one has exhibited such fourth powers. (John Bell) 两个四次方数的和或差不等于平方数，更不可能为四次方数已经得到证明；因此几乎没有疑问，三个四次方数的和不等于四次方数，尽管现在对此仍然没有证明。我们还不确定是否能找到四个四次方数之和是四次方数，因为到现在为止还没有人能找到这样的四次方数。

在1778 年的文章里他进一步加强了自己的论断：

Pluribus autem insignibus Geometris visum est haec theoremata latius extendi posse. Quemadmodum enim duo cubi exhiberi nequeunt, quotum summa vel differentia sit cubus, ita etiam certum est nequidem exhiberi posse tria biquadrata, quorum summa sit pariter biquadratum, sed ad minimum quatuor biquadrata requiri, ut eorum suma prodire queat biquadratum, quamquam nemo adhuc talia quatuor biquadrata assignare potuerit. Eodem modo etiam affirmari posse videtur, non exhiberi posse quatuor potestates quinta, similique modo res se habebit in altioribus potestatibus; ... It has seemed to many Geometers that this theorem may be generalized. Just as there do not exist two cubes whose sum or difference is a cube, it is certain that it is impossible to exhibit three biquadrates whose sum is a biquadrate, but that at least four biquadrates are needed if their sum is to be a biquadrate, although no one has been able up to the present to assign four such biquadrates. In the same manner it would seem to be impossible to exhibit four fifth powers whose sum is a fifth power, and similarly four higher powers.（L. E. Dickson）似乎有很多数学家认为这个定理 (Fermat 大定理) 可以推广。正如两个立方数的和或差不等于立方数，可以确定三个四次方数的和不等于四次方数，至少四个四次方数的和才等于四次方数，尽管还没有人能够给出这些四次方数。同样四个五次方数的和似乎也不等于五次方数，对高次幂有类似的结论。

没人清楚 Euler 为什么对自己的结论确信无疑。数论大牛 Don Zagier 在自己的文章中评论道，Euler 这个猜想不是太明智 (日语达人 Zagier 马上引用了一句日语谚语“猿も木から落ちる”[智者千虑必有一失])。Zagier 为什么认为 Euler 的猜想不太明智呢？

对于丢番图方程 $P (x_1, x_2, \cdots, x_n)=0$, P 是定义在 Q 上的多项式，如何估计它在一个超立方体 $ B$ 内 ($x_i\in [-X,X],i=1,2,\cdots,n$, X 是一个足够大的正实数) 解的个数呢？

a.考虑 $B$ 与 $\{(x_1, x_2, \cdots, x_n):\vert P (x_1, x_2, \cdots, x_n)\vert<a\}$ 的交集 $V$, $a$ 是一个远小于 $X$ 的正实数。这个交集是有有限体积的。我们的第一条经验准则是：$V$ 内的整点个数 $\approx V$ 的体积。

b.记 $ V$ 内的整点个数为 $N (a)$，体积为 $V (a)$。$N (a)$ 是阶梯函数，而 $V (a)$ 是它的平滑化。怎么用 $V (a)$ 来确定 $N (a)$ 的特性呢？物理学家们使用的技巧在这里可以帮得上忙：$N (a)$ 在不连续点的变化可以用 $V (a)$ 在这点的导数来代替。这与物理中求态密度时所用的手法是完全一致的。因此我们称 $V (a)$ 的导数为 real density。对于 $a=0$, 自然用右导数来代替导数。

c.对于 Euler 的方程

$$x^4+y^4+z^4=w^4$$

而言，怎么计算 real density 呢？学过一点多元微积分的话，得到 real density (的一个近似估计) 并不十分困难：

$$c\iiint_{D}\frac {\mathrm {d} x\mathrm {d} y\mathrm {d} w}{(w^4-x^4-y^4)^{3/4}},$$

c 是某个实常数。注意到求解体积以及 real density 的过程中所有的量都要求是实数，因此积分区域也容易确定：D 就是 $x\geq 0, y\geq 0, w^4\geq x^4+y^4, c_0\leq w\leq X $, 这里 w 的下限并不重要，只要求它是大于 0 的常数。做一个坐标变换，可以得到

$$\mathrm {real}\ \mathrm {density}\sim c^{\prime}\log X\iint_{D^{\prime}}\frac {\mathrm {d} x\mathrm {d} y}{(1-x^4-y^4)^{3/4}}$$

c' 是另一个与 x,y,z,w 无关的正实数，D' 是区域 $x\geq 0, y\geq 0, 1\geq x^4+y^4$。上面的二重积分是收敛的，因此可以猜测：方程解的个数与 X 成对数关系。

Don Zagier 给他的读者一个忠告：

If you are a number theorist, even a very great one, then you shouldn’t make conjectures unless you not only have numerical evidence, but have thought about the heuristic aspects of your assertion!

Remark：上面这一大堆启发式推理，如果用 Weil 这句话

Rigour is to the mathematician what morality is to men.

来评判的话，几乎连节操都没有。但是，这种启发式推理有一个强有力的支持者：Hardy-Littlewood 的圆法。圆法中同样需要计算 real density，计算手段与上面的论证几乎完全重合，但是圆法的计算是有着严格的分析背景作为支撑的，因此我们的启发式推理某种程度上可以作为合情推理方法的候选。

然而，这种合情推理可能会失效。1966 年 J. W. S. Cassels 等人找到一个三次曲面

$$5x^3+10y^3+9z^3+12w^3=0$$

如果用同样的启发式方法推理，会得到方程解的个数与 X 成线性关系。但是 Cassels 等人严格证明了：这个三次曲面上的整数点只有 (0, 0, 0, 0). 因此，我们可以稍稍升级一下 Zagier 的忠告：思考问题对应的启发式方法是不够的，还得思考启发式方法背后是否有更加深刻的东西。