中国算学之过去与现在


近十数年来中国算学的研究有了若干可喜的进步。为检讨过去,策励将来起见,笔者愿把中国算学家几千年来所做的工作加以历史的叙述,最后则略叙近年国人进行研究工作的大概情形,俾大家了然我们这个时代将在中国算学史上所占的地位。

根据几件重要的事实,中国算学的发展约可分为五个时期,兹分述于下:

1. 第一时期

第一时期可从上古算至公元 263 年(即曹魏景元四年)。公元 263 年为刘徽注《九章算术》之年,中国古代最完全的一本算学经典,是这一年告成的。

讲到上古的算学,往往要提到伏羲,隶首,或《河图》,《洛书》,这些史实比较渺茫,我们姑置之不谈。今仅提出此时期中值得注意的两点。第一是《九章》和《周髀》两部算经的完成。这两书成书的确年已不易考。《九章》最迟当在秦火之前,因为刘徽的序里曾说张苍,耿寿昌各有删补,而张苍是秦末汉初的人,故《九章》之成书,在秦朝以前,当无疑义。汉时《九章》之名,几为算学之代表,大儒如郑玄,马续俱通《九章》,其重要可知。全书共分九章,其目录为:方田第一,粟米第二,差分第三,少广第四,商功第五,均输第六,盈不足第七,方程第八,勾股第九。其内容经刘徽注后,网罗甚广,所论问题有涉及二次方程式,联立方程式,及圆与球之面积体积者。另一部《周髀算经》是大家认为最古的算书,但内容远不及《九章》。其成书确年亦不可考,只知道扬雄,蔡邕都曾提到过。今本有汉赵君卿注,注比原书重要得多。书中最重要的一部分是几何问题,如以 3 为圆周率,以正三角形勾股弦之比为 $3:4:5$ 等。后世中算里有所谓割圆术与勾股术,则皆以此书为嚥矢。

第二,从以上两书的内容可以看出中国算学的一个特点,即对于应用之注重。所谓应用指日常问题与造历二种。由于历代帝王的重视,中国古时的算学家无不兼治历算。汉初张苍,耿寿昌都以善历知名,以后大多均同此现象。这种注重应用的态度使中国算学不能产生一部有系统的著作,使中国算学只包括一群零星的结果,不成为近代意义下的算学。在同一时期内,希腊的算学已在最光荣的阶段。毕达果拉斯(Pythagoras)的门人早就有了无理数的观念。欧几里得(Euclid)的《几何原本》则在公元前三百年已成书!希腊科学所产生的最末一个大算学家是丢番都(Diophantus),他的时代约为公元 250 年左右,与刘徽同时,他的著作中已有三次方程式和二次不定方程式的讨论。

总之,第一时期的中国算学,虽比不上希腊,然与同时期的其他国家,如埃及、印度等相比,则决无逊色。在这个时期的后半期,继希腊而起的罗马帝国,在算学上可说毫无成就,反把希腊的文化遗忘了。我们的算学却由此入于一个光荣灿烂的时期。

2. 第二时期

中国算学之第二时期,应自刘徽之注《九章》,算至王孝通之著《辑古算经》,约自 260 年至 620 年。这时算学的先进——希腊——已衰落了,欧洲转入黑暗时代,印度比不上我们。美索不达米亚平原上的报达(Bagdad)是一个中心,但阿喇伯人的工作,大多是留传希腊的算学。中国的算学家却在此时有几桩值得称道的工作。

为简短起见,我只举这时期三个代表的算学家说一说。第一个是刘徽,徽除《九章注》外,还有若干贡献。在徽以前,周三径一是公认为圆周率,徽以为疏,遂由圆之内容六边形起算,令边数倍进,而求得较密的圆周率。他所得的值为 3.14,后人称为徽率。他的方法与亚几默德(Archimedes)的相同。此外徽另造重差术,又称海岛算,实际上是相似三角形的方法。

在此时期中第二个算学家为祖冲之,南朝宋齐间人(429 至 500)。许多人认他为中国最大的算学家,虽尚有人持异议,至少可见他在算学史上地位之重要。他最重要的贡献是求圆周率,得知π之值在 $3.1415926$ 与 $3.1415927$ 之间,并另得两近似值为 $\frac{22}{7}$ 与 $\frac{355}{113}$。这是一个超时代的贡献!以当时算学进展的情形,这种准确程度,甚为难能可贵。冲之圆率西洋方面直到 1573 年德人奥陶(Valentinus Otto)才得同样的结果,前后相差一千余年!

冲之在算学上的其他贡献,我们不大知道,原因是他所著的书《缀术》失传了。《缀术》的内容已不可知,史称“学官莫能究其深奥,是故废而不理”,可见必尚包括其他许多新结果在内。此外可知者,此书的内容必很丰富:唐代学官制度,《孙子算经》与《五曹算经》共习一年,《九章》与《海岛》共习三年,而《缀术》一书要读四年之久!

第三个算学家是王孝通,唐初算学博士(相当于现在的教授),时代约在 620 年左右。他著的书叫做《辑古算经》,今尚有存本。《辑古算经》中的问题,应用到二次和三次的方程式,可惜书中没有解法,不知他的结果是怎样得的。

这是中国算学家在世界上称雄的一个时期。

3. 第三时期

祖冲之,王孝通以后,欧洲固仍为黑暗时代,中国的算学也缺少新的进展。到了十三世纪大家都同时醒觉了。西洋开始了近数百年的文明,中国的算学因有天元,四元术的发现,造成了一项不可磨灭的贡献。所谓天元,四元术其实就是代数,元指未知数,天就是 $x$。 不过照那时的写法,未知数不能在四个以上,所以天地人物四元并用,为最普通的情形。那时的代数算式的形状,可举例明之如次:

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式中太即是常数,写成今式,当为:

$$ x^{2}+680 x+96000 $$

$$ x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2}+2 x y+2 x z+2 x w+2 y z+2 y w+2 z w. $$

在此时期内杰出的算学家,当推李冶,秦九韶,其他如杨辉,郭守敬,朱世杰,亦都有重要的著作。这几个算学家的年代,都在十三世纪中叶到十三世纪末叶,约当南宋,金,元的时候。

这时期是中国算学的黄金时期,学者之多,贡献之广,超越前代。我们试随便举几点重要的说一说。第一,中国自己的代数学此时奠定了基础。正负数的观念,代数运算的规则,已为一般算学家所共习。进一步的方程式论自然成了中心的问题。杨辉《详解九章算法》已有巴斯嚼三角形定理,比巴氏约早四百年。此外如霍纳(Homer)方法,已早为许多算学家所发现,至秦九韶著《数书九章》(注意此并非《九章算经》),其理遂大明,时间上比霍氏早了五百多年。

第二,秦九韶《数书九章》卷一“大衍类”论及联立一次同余式的解法。这问题在中国有悠久之历史,实起源于《孙子算经》(大约为后汉时人所著,为中国第三部古算书)“物不知数”之问。我先把这问题及其解答录下:

“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?

“答曰:二十三。术曰:三三数之剩二,置一百四十,五五数之剩三,置六十三,七七数之剩二,置三十; 并之,得二百三十三,以二百一十减之,即得。”

此问题俗称“韩信点兵法”(自然韩信不会只点二十几个兵),问题和解法都很美妙可喜。所谓大衍就是这问题的推广。秦九韶的普通解法,与欧几里得算法实际上完全一致。在初等数论中这是一个比较“深”的定理。西洋近人所作数论教本中有称此定理为“中国余数定理(Chinese Remainder Theorem)”者。

第三,中算学家往往喜言堆垛与纵横图,前者即为有穷级数论,后者今称幻方。研究这类问题的算学家当以杨辉,朱世杰为最重要。他们的结果因图式太繁,兹从略。

以上所列举和选择的,自然杂有个人主观的成分,但即此已可见中国算学在此时期之光芒万丈了!

4. 第四时期

中国算学经过第三时期的清醒以后,复入于一沉睡的时期。西洋的算学却从此长足进展,渐渐的使我们望尘莫及。一直到十六世纪末叶,利玛窦(Matte。Ricci)东来,才把我们唤醒,把西洋精神上的食粮喂给我们。于是我们遂入于一新时期,即接受西洋算学的时期。

利玛窦来华后,与徐光启,李之藻等合作,译了许多书,就中从算学方面讲,以《几何原本》前六卷与同文算指二书,为最重要。两书都是当时欧洲所通行的书,后者是一本算术,系德国算学家克拉维斯(Clavius)所著。克氏即为利氏之师,以善写课本出名。利氏译本序中所盛赞之丁先生,即指克氏。

利氏以后,西洋教士之东来者日众,译著亦渐多,几何学,天文学,对数术等渐渐的都输入中国。中国人虽尚有只习中算的,但渐渐都感到西洋方法之优越,不能墨守成规。所以清初著名的算学家,如梅文鼎(1633—1721),王锡阐(1628—1682)等都兼治西算。自利氏东来至民国初年前后三百余年,中国出的算学家很多,清时汉学家兼善算者尤不少。但其结果与并时的西洋算学家相比,就瞠乎其后了。

就译述方面讲,徐,李以后,工作较多者,有清末之李善兰(1811—1882),华蘅芳(1833—1902)。比较深一点的书如微积分等都是这时候译的。以当时译述情形的困难,此项译书工作,其价值正不亚于创作的贡献。比方说,伟烈亚力(AlexanderWylie)帮李善兰译书,李不懂西文,而伟不懂算学,困难可想。我们现在展开一本旧译的算书,观其译笔之雅而达,当对这几位古人致无限的景仰。惜自学校盛兴之后,我国中小学之课本,大都取自于日本。大学用书又直接采用英美原版。对于李,华诸人之译本,久已束置高阁,无人过问,不免可惜耳!

5. 第五时期

这是最近的一个时期,它的前途一时还不容易估量,它的特色是研究精神的复兴。四十年来的学校教育已替许多有志于算学的人开了路,从前需要十年才习毕的材料,现在或者一年就够了。同时还有一些始终受西洋教育的学者,他们的西文程度使他们与西洋学者能有差不多的方便与机会。才智志士,遂得进行同样的工作。1920 年左右中国算学家已有将其在国外大学的论文发表于国际第一流算学杂志的。此后数年,即有若干人继起。到了现在,国人前后在有地位的国际算学杂志发表论文者,据个人的统计,约在三百篇左右,战事发生前数年,每年约有三十篇,在国内杂志发表的尚不在内。以工作者之人数比之,这些数目自然要算难得的了!

以上论及的工作,最初几年所产生的,大约是中国学生在国外导师指导下所做的。其中国内产生的部分,则随时间而增加。这自然要归功于国内算学研究机关的设立,与算学研究设备之充实。最先设立算学研究所的,是清华大学,从 1930 年起,前后毕业肄业者已有多人。此后浙江大学,中央大学,北京大学,都先后设研究所,成绩亦颇为一般人所称道。南开大学未设算学研究所,但最先注意算学的设备,其图书馆所藏算学图书之充实,国内迄今无出在右者。惜自战事发生以还,该项藏书,稍有分散,如何加以整理和充实,使永成国家之珍藏,当为该校当局与社会上热心科学的人士,所应熟为考量的。

民国二十五年中国数学会创办一个《数学学报》,专载有创作性的论文,已出两卷。这杂志已得国际的注意,所刊论文,质地不在一般先进国杂志之下。犹忆 1937 年的时候,编辑者虑此杂志或因战事不能续刊,把存留的稿件,分寄国外第一流杂志,结果都刊登了!

近代中国算学家工作的范围,代数方面着重于数论,几何则形势几何,微分几何,代数几何都有作者,分析则以函数论,微分方程论,级数论工作者较多。至于详细的结果及其价值,一则太涉专门,未易细述,二则这些专家大多是笔者的师友,批评起来,不免参加主观的成分,最好让他们的工作说明他们的成绩罢了!

6. 结论

在以上的叙述后,愿对未来的中国算学界及社会,提出两点希望:

一、希望中国算学界同志保留并发扬那点可贵的研究精神,使中国科学能渐渐不落人后。上节所说的工作实很有限,以之开始则可喜,从此自满便可悲了!同时近代的研究工作需要设备,希望政府及热心文化事业的机关予以充分的帮助。

二、在第一节中曾提及中国算学注重应用的特色。这也是应有的精神,值得加以培养的。希望有一部分算学家能多注意一点应用的问题,以发挥算学的效能。同时希望社会上遇着与算学有关的问题,肯予算学家以一个商讨的机会。

作者: 陈省身
来源: 原载《科学》第 25 卷第 5、6 期,上海,1941 年。