4. Lie 在精神崩溃前的最后一个重要结果

在搬到莱比锡以后，Lie 工作非常勤奋努力，也非常多产。虽然莱比锡在学术上促进了 Lie，但对他来说也并非毫无压力，他与其他人的关系也很复杂。“工作的压力、合作的问题以及家事负担，使他失眠和沮丧，1889 年他有过一次彻底的精神崩溃”[27, p. 328]。Lie 不得不去一个精神病诊所，并在那里待了几个月。医生给他用了鸦片，但治疗没有效果，于是他决定自己给自己治病。1) 他在给朋友的信中写道 [26, p. XXIII]：

后来我开始睡不好，最终甚至根本睡不着。我不得不中止我的讲课，住进一家精神病诊所。不幸的是，我不是个好伺候的病人。我总是认为，医生没有完全了解我的病情。我服用了大量的鸦片来镇定我的神经，但无济于事。安眠药也不起作用。

三四周以前我就厌倦了待在精神病诊所。我决定试试看自己能够为重获平衡和睡眠的能力做些什么。现在我做了医生所说的无人能够忍受的事情，也就是说，我完全停止了服用鸦片。这曾经是巨大的痛苦。但现在，违背医生的建议，我已经作了好几天的身体锻炼。

我希望一周内我能完全克服鸦片治疗的有害副作用。我认为医生给我用鸦片只会害了我。

我的神经还是绷得很紧，但我的身体仍然有活力。我要自己治愈自己。我将从早到晚地走路（医生说我疯了）。通过这种方式，我将排除掉鸦片的所有污秽，以后我将慢慢恢复自然睡眠的能力。这是我的希望。

最终他认为自己康复了，然后离开了诊所。但事实上他离开时并没有治愈。在诊所的诊断报告上，他当时的情况记录是 “忧郁症尚未治愈”[27, p. 328]。Lie 的朋友和同事发现了他对其他人的态度和他本人的行为的变化：不信任、控诉别人窃取他的想法。事实上，根据 Engel[27, p. 397] 的说法，Lie 确实恢复了其数学方面的能力，但 “作为普通人并未恢复。他的对人不信任与容易发怒不仅没有被驱散，甚至与日俱增，以至于生活对他和他的朋友来说都很不容易。最痛苦的是，他绝不能容忍自己公开说出意气消沉的原因”。

当他忙于教学和展开其结果时，Lie 没有多少时间触碰新课题。不过当他在精神病诊所时，他重新研究了关于几何学公理的所谓 Helmholtz 问题 2)，并写了两篇这个主题的论文。

Lie 对这个问题思索了很久，他批评了 Helmholtz 的工作，并对 Klein 提及了他的抱怨。据 [27, p. 380-381] 说：

很早的时候，Lie 就非常清楚他发展的变换群的理论跟非欧几何有关联，早在 1875 年写给 Mayer 的一封信中，Lie 就指出了，Helmholtz 自 1868 年以来关于几何学公理的工作，从基础和根本上来说，都是一类变换群的研究：“我对此构想很久了，在读到他的工作时最终确认了它。”

Klein 在 1883 年也问 Lie 对 Helmholtz 的几何工作怎么看。 Lie 立即回答说他发现其结果是正确的，但 Helmholtz 对实数与复数的情形做了区分，这是不合适的。稍晚些时候，在更深入地研究了 Helmholtz 的论著后，Lie 告诉 Klein 说，Helmholtz 的工作有 “本质的缺陷”，而且他认为用 Helmholtz 所采用的初等方法几乎不可能弥补这些缺陷。Lie 开始完善和简化 Helmholtz 的空间理论 ······

Lie 在 1884 年写信给 Klein 说 [26, p. XXVI]：

如果我曾达到像从前对三维空间的所有群和点变换的计算那样的完善，我将从一个纯粹解析的观点来探讨 Helmholtz 关于度量几何的假设。

据 [27, p. 381] 说：

Lie 对 Helmholtz 的空间问题做了进一步研究，并向 Klein 吐露，对这个问题的前期工作现在得到了满意的结论 —— 至少当考虑有限维变换群时，只有有限多个参数。于是，只需要将这一论证推广到包括无限维群的情形。

Lie 关于 Helmholtz 问题的工作使他在 1897 年被授予第一届 Lobatschevsky 奖。Klein 为 Lie 的工作写了一个强有力的推荐报告，这也是他获奖的决定性因素。

文章标注

1) 根据现在接受的理论，Lie 患的是恶性贫血性精神病，这在当时是无法治愈的一种疾病。人们也认为，他与 Klein 和其他人的不良关系有部分原因就是这个病引起的。见 [9] 中关于 1886—1898 年这一时期的一节内容以及那里的参考文献 [29]。

2)Lie 在 Helmholtz 问题方面的工作在 20 世纪初似乎很有名。【这也许是因为：

(1) Hilbert 在其 1899 年出版的《几何基础》（Grundlagen der Geometrie）的附录中讨论了这个问题。—— 译者注

(2) H. Poincaré 将这个定理写入了其 1904 年出版的科普名著《科学与假设》（Science and Hypothesis）中。 —— 译者注】

根据 [5] 定理 16.7，Lie-Helmholtz 定理断言，常曲率空间，即欧几里得空间、双曲空间和球面，就是那些具有充分多的等距的空间：即，对于任意两个全等的有序三元点组，存在空间的一个等 距将其中一个三元点组映到另一个三元点组，所谓两个有序三元点组 (v1, v2, v3) 与 (v′1, v′2, v′3) 全等，是指如果对应的距离相等，即对所有的 i, j，都有 d(vi, vj) = d(v′i, v′j)。Weyl 与 Enriques 关于这个定理的论文索引可见 [5] 。

5. Lie 的主要工作概览

如前所述，Lie 非常多产，写了几千页的论文和多部论著。他的名字将永远与 Lie 群和 Lie 代数以及数学中的其他几十个概念（几乎全都涉及 Lie 群 和 Lie 代数）联系在一起。一个自然的问题是：Lie 对 Lie 理论真正贡献了什 么？第二个自然的问题是：除了 Lie 群和 Lie 代数，Lie 还做了什么？

由于 Lie 的写作风格，阅读理解 Lie 的工作是很不容易的。有一套称为 《李群：历史、前沿及应用》（Lie Groups: History, Frontiers and Applications）的丛书，其中有一本收录了 Lie 的论文的英译本 [21]，还有 E. Cartan， Ricci，Levi-Civita 和其他更近代的人的经典著作和论文，Robert Hermann 在该书序言中写道：

在为了对这些翻译发表评论而做准备时，我阅读了 Lie 的工作，我被从他的工作中涌出的几何思想之丰富与优美惊呆了。其中仅有一小部分融入主流数学中。他的思考和写作都很粗线条，并且是以一种现在看来已经过时的方式，在我们当代的科学刊物中一定会被枪毙！在本卷以及接下来各卷中翻译的论文，呈现了 Lie 最狂放伟大的一面。

虽然如此，我们还是尽力提供一些简短的概括。虽然《大英百科全书》 的文章面向的是受过教育的大众，但关于数学家的文章通常给出了比较受认可的总结。因此，在 Lie 群的整体理论被 Weyl 和 Cartan 发展之前，看一看这样一篇关于 Lie 的文章也许是富有教益和趣味的。《大英百科全书》中写于 1911 年的一篇文章总结了 Lie 在 Lie 理论方面的工作：

Lie 的工作在 19 世纪最后几十年对数学科学的进展产生 了巨大影响。他最初的目标是提升和精心阐述微分方程的理论，正是为此目的，他开创了变换群的理论，这表述在他的《变换群理论》（3 卷，莱比锡，1888—1893）中。这部著作视野宽阔，极富原创性，也许正是此书最令他著名。他的连续群理论的一个特殊应用是非欧几何的一般问题。上面提到的这部书的后一部分致力于研究几何学的基础，依据的是 Riemann 和 Helmholtz 的观点；他曾打算在 G. Scheffers 博士的协助下出版一 部关于其几何研究的系统论著，但出版的只有一卷《切触变换的几何学》（Geometrie der Berührungs-transformationen，莱比锡， 1896）。

这篇文章的作者在 1911 年也许没有预见到 Lie 理论的广阔范围和多层面的应用。根据我的所见所闻，可以列出 Lie 的主要工作如下：

(1) 直线簇 1) 。Lie 的这一工作是他后来关于微分方程和变换群、进而 Lie 理论 [13] 的工作之基础。它还包含了环胚多样体的起源。

(2) Lie 球面几何与 Lie 切触结构。切触变换与切触几何密切相关，切触几何是在奇数维时与辛几何相对应的理论，在物理学中有广泛的应用。最近，它被应用于低维拓扑学。

(3) 微分方程的积分理论。这个课题曾一度陷于沉寂，后来伴随着与可积系统和隐对称的紧密联系而恢复生机。

(4) 变换群（或 Lie 群）的工作。在 Lie 群的发展、成熟和应用中，这产生了巨大的影响。变换群理论的研究在 20 世纪 60−70 年代达到了其高潮。随着时间的推移，Lie 群的理论将会变得愈加重要，而且只要有数学，就会屹立不倒。

(5) 无穷小变换群（或 Lie 代数）。Lie 代数比 Lie 群简单，而且首先是作为理解 Lie 群的工具，但它们自身也很重要。例如，无限维的 Kac-Moody Lie 代数是通常的有限维 Lie 群的自然推广，它们的重要性和应用现在已经得到确认。虽然它们也有对应的 Kac-Moody Lie 群，但尚不清楚那有多大用处。

(6) 对 Erlangen 纲领的巨大贡献，这由 Klein 写下并公开提出，其成功和影响是导致 Lie 与 Klein 友谊破裂的部分原因。Lie 对这一纲领的表述和发展都有贡献，他的作用越来越得到数学史家和数学工作者的认可。

(7) Helmholtz 空间问题：决定其几何性质可以被刚体运动群确定的几何学。这一问题的解决促成 Lie 被授予 Lobatschevsky 奖。Lie 的这 一工作也对 Poincaré 的几何工作有巨大影响。

(8) 极小曲面。1878 年，基于 Monge 关于极小曲面的 Euler-Lagrange 方程的求积工作，Lie 指出每一个极小曲面都联系着一条复解析曲线。这个联系 催生了丰富的成果。与 Weierstrass, Riemann, Schwarz 等人的工作一起，这为 19 世纪末的极小曲面理论引入了复变函数理论的方法与结果的广泛应用。

文章标注

1) 根据现在在代数几何中，直线簇是 Grassmann 流形 G(4,2)（通过 Plücker 坐标嵌入到 P5 中）与某超曲面的交集。——译者注

6. Lie 理论中 Lie 的三个基本定理

当人们谈论 Lie 的工作时，通常会提及 Lie 的三个基本定理。他的第二定理和第三定理是众所周知的，在许多关于 Lie 理论的教科书中都会讲到。另一方面，绝大多数关于 Lie 群和 Lie 代数的书都不会提及 Lie 的第一基本定理。下面的讨论将会解释其原因：

(1) 它讨论的是变换群理论的一个基本问题，而不是抽象 Lie 群上的问题。

(2) 这个结果是如此基本以至于人们通常会直接承认。

我们首先在原始的变换群的框架内讨论这些定理，稍后将用现代的语言总结所有三个定理。

Lie 的第一定理说，局部群在流形上的作用可被它在流形上所诱导的向量场决定。因为流形上的向量场空间（在 Lie 括号运算下）构成一个 Lie 代数，因此对 Lie 群作用的研究归结为对 Lie 代数的研究。

这是 Lie 的一个深刻洞察，也是人们之所以说 Lie 将对 Lie 群的研究归结为对 Lie 代数的研究从而将一个非线性对象归结为一个线性对象的原因之一。

对于流形上的一个单参数局部微分同胚群，它的作用就是由该流形上的一个向量场所决定的。反之，对给定的向量场存在对应的局部解，这在 Lie 那个时代应该是众所周知的。不过那时对流形没有适当的定义，然而并不需要流形的观念，因为在 Lie 的工作中的 Lie 群作用是局部的，从而可以视为作用于 Rn。

在 Lie 的陈述中，要点在于说明，在一个流形 M 上，由 Lie 群 G 的作用所给出的那些向量场实际上是来自于 g = TeG 到 M 的向量场空间χ(M) 的某个同态（定理的一部分就是证明 g =TeG）。

Lie 的第二定理说，一旦给定了一个 Lie 代数同态 g = TeG → χ(M)，就存在一个局部作用。重要的一点是，总能找到一个 Lie 群 G，它的 Lie 代数就是 g。

Lie 的第一、第二基本定理的一个特殊情形是：流形 M 上的单参数微分同胚群 ϕt 相当于 M 上的一个向量场。这有两方面的含义：

(1) 通过对 ϕt 求导可以得到一个向量场 X，而且 ϕt 可被 X 唯一确定。 这个唯一性是因为 ϕt 满足某个常微分方程。

(2) 给定向量场 X，总可以找到一个单参数局部微分同胚群 ϕt，它求导后就给出 X。若 X 是紧的，则这些 ϕt 都是整体微分同胚。这相当于说，流形上的一个向量场通过积分可以产生一个流。

Lie 的第三定理说，任给一个抽象 Lie 代数 g 与一个 Lie 代数同态 g → χ(M)，必可找到一个局部 Lie 群（或 Lie 群的芽）G 连同 G 在 M 上 的一个作用，使得该作用诱导出同态 g → χ(M)。

Lie 对 Lie 群的作用感兴趣。而今的人们对抽象 Lie 群的理论更有兴趣，并且通常将这些结果用抽象 Lie 群和 Lie 代数的术语重新表述：

(1) 第一定理应该被陈述为：Lie 群同态在局部上是由对应的 Lie 代数同 态所决定的。

(2) 第二定理说：Lie 群的任何同态都可以诱导出 Lie 代数的同态。反之， 给定一个 Lie 代数的同态，必有一个 Lie 群的局部同态与之对应。如果这个局部同态定义在一个单连通的 Lie 群里，则还有一个整体的 Lie 群同态与之对应。

(3) 第三定理说：给定一个 Lie 代数 g，存在一个 Lie 群以 g 为 Lie 代 数。（注意到这里没有群作用，因此这个陈述不同于此前的陈述。）

7. 与 Klein 的关系之第一阶段：富有成果的合作

在 Lie 和 Klein 之间有许多不同和相似。Lie 是一个脾气和善、真正伟大的数学家。例如，他在假期为美国学生免费开课，以帮助他们适应之后他的正式课程。他不怕麻烦地帮助他的博士生。他不受拘束，他的讲课很少事先打磨，有时甚至乱七八糟。

Klein 则是一个视野开阔的优秀数学家，在数学圈他也是一个有权势的政治家。他是一个高贵而刻板的绅士。他的讲稿总是精心打磨，组织得很好。

Lie 与 Klein 的第一次见面是在 1869—1870 年冬季学期，地点在柏林，并且他们成了亲密的朋友。他们的合作研究以及关于他们的数学工作和生涯的讨论，其重要性是不可低估的。例如，正是 Klein 帮助 Lie 看清了他关于 微分方程的工作与 Abel 关于代数方程的可解性之间的相似，从而激发 Lie 发展起一个与代数方程的 Galois 理论类似的关于微分方程的一般理论，这引出了 Lie 理论。另一方面，正是 Lie 为 Klein 的 Erlangen 纲领的一般思想提供了大量的证据，并极大地推动了该纲领的发展。

Klein 还以多种方式帮助提升 Lie 的研究工作与职位。例如，当 Klein 离开莱比锡时，他力排众议确保了空缺的职位留给 Lie。Klein 还代表德累斯顿的皇家撒克逊文化部起草了给莱比锡大学哲学教员会的推荐信，其中关于 Lie 的评价如下 [9, p. 12]：

Lie 是唯一可以凭借其性格与思维方面的原创性而有能力建立一个独立的几何学派的人。Kregel von Sternback 奖学金的颁发已经向我们证明了这一点。我们派送了一个年轻的数学家 —— 如今已成为我们的讲师 Engel 博士 —— 到克里斯蒂安尼亚向 Lie 学习，他从那里带回了极丰富的新思想。

为了帮助读者理解，此处引用 Weierstrass 在那时写的一封信 [9, p. 12]：

我不能否认 Lie 已经让数学界共享了他的优秀工作。但他作为学者或教师都没有如此重要，只是他作为一个外国人，通常会比我们同样可行的同胞得到优待。现在，人们好像把他当作第二个 Abel，不惜一切代价地宠着他。

Weierstrass 所想到的一个特别的同胞是他从前的学生 Hermann Schwarz，他也是一个伟大的数学家。

Klein 对 Lie 的另一个关键贡献是派 Engel 去帮助 Lie 写下他关于变换群的深刻工作。如果没有 Engel，Lie 的贡献也许不会如此为人所知，因此可能不会像现在一样对数学和物理产生如此巨大的影响。说来有点可惜，在 Lie 和 Klein 决裂后，Engel 也遭到了 Klein 的冷遇，因为他是 Lie 的合作者。再次峰回路转的是，Lie 去世后，Klein 却要求 Engel 认真编辑 Lie 的论文集。

（未完待续……）