按照黎曼的意见¹几何学是根据以下两个论据：

（一）空间是三维连续区因此，它的点的流形可以一致地用三个坐标值 $x _ { 1 , } , x _ { 2 } , x _ { 3 }$ 来表示。

（二）毕达哥拉定理两个无限接近点

$$P ^ { \prime } = \left( x _ { 1 } + d x _ { 1 } , x _ { 2 } + d x _ { 2 } x _ { 3 } + d x _ { 3 } \right) \text{ 和 } P ^ { \prime } = \left( x _ { 1 } + d x _ { 1 } , x _ { 2 } + d x _ { 2 } x _ { 3 } + d x _ { 3 } \right)\tag{1}$$

（任何坐标皆可采用）之间的距离力 $ds$ 的平方是相对坐标 $dx_{\mu}$ 的二次形式：

$$d s ^ { 2 } = \sum _ { \mu _ { \nu } } g _ { \mu \nu } d x _ { \mu } d x _ { \nu } \quad \left( g _ { \mu \nu } = g _ { \mu \nu } \right)\tag{2}$$

第二点可以简述为空间是度规连续区。为了与物理学的直接作用的精神完全一致，我们假定毕达哥拉定理仅在距离为无穷小的情况下严格有效。

狭义相对论导致一个发现，即时间是作为第四个坐标以平等的地位和三个空间坐标连系在一起的，于是物质事件的实况即世界，是一个四维度规连续区。这样一来，确定世界度规性质的二次形式（2），就不必像三维空间几何那样必定是正定二次形式，而是具有惯性指数 3² 黎曼本人没有忘记指出，这二次形式应看作一种物理实在，因为它是作为对物质施加实际影响的根源而出现(例如离心力)的，可想而知，物质也会给它以反作用。直到那时，所有几何学家和哲学家还把空间的度规性质看成是空间本身固有的，与它所包含的物质无关。黎曼在当时要贯彻他的思想是简直不可能的；而今天，爱因斯坦正是在这个思想的基础上(与黎曼独立地)建立了他那广义相对论的大厦。依照爱因斯坦，引力现象也必须纳入几何学，而关于物质如何影响测量的规律不外就是引力定律：即式2)中 ${g}_{\mu \nu}$ 组成引力势的分量。引力势既然是由一个不变的二次微分形式组成的，电磁现象就为一个四元势所支配，这个势的所有分量 $\phi_{\mu}$ 组成一个不变的线性微分形式 $\Sigma_{\phi_{\mu}} d x_{\mu}$ 然而直到现在，引力和电这两类现象仍然互不相干地同时并存。

列维一契维塔³，海森伯 (Hessenberg)⁴和作者⁵在最近的工作中十分明确地指出，若要与自然现象一致，就必须以矢量的无穷小平行移动作为发展黎曼几何的基本概念。如果 $P$ 与 $P^{*}$ 是由一条曲线连结起来的任何两个点，在 $P$ 点一个给定的矢量可以沿这条曲线从 $P$ 平行于它本身而移动到 $P^{*}$ 但一般来说，矢量从 $P$ 到 $P^{*}$ 的这种搬运是不可积的，也就是说，移动终点 $P^{*}$ 处的矢量与移动的路线有关。只是在“无引力的”欧几里得几何中，可积性才行得通。以上提到的黎曼几何仍然包含一些有限几何的残余成分，就我所知，这是没有可靠的理由的。看来这是由于黎曼几何碰巧是起源于曲面论的缘故。二次形式（2）使我们不仅能够比较在同一点上两个矢量的长度，并且也能把任何两点上的两个矢量的长度加以比较。

然而真正的无穷小几何必须只容许从一点到另一个无限接近点的长度转移原理。这样就不允许我们假定从一点到另一有限距离点的长度转移是可积的，尤其是因为方向的转移已经证明了是不可积的。认定这种假定不成立，就会产生一种几何学，这种几何学运用于我们的世界时，它以出人意外的方式不仅解释了引力现象，而且也解释了电磁场的现象。依照现在提出的理论，两类现象都来自同一根源；事实上，一般来说我们不能把电和引力主观地区分开。在这理论中，所有物理量都具有世界几何里的意义。特别是那些表示物理效应的量同时作为纯数出现。这理论导致本质上完全确定的世界定律。在某种意义上，它甚至使我们了解为什么世界是四维的。现在我首先扼要地叙述一下这个修正的黎曼几何的结构，而不考虑其物理解释。它在物理学上的应用將自然而然地得出。

在一个给定的坐标系里，与 $P$ 无限接近的点 $P^{*}$ 的相对坐标 $dx_{\mu}$［见式（1）］就是无限小位移 $PP'$ 的分量。从一坐标系到另一坐标系的过渡，是由一定的变换公式表示的，即

$$ x_{\mu}=x_{\mu}\left(x_{1}^{*}, x_{2}^{*}, \cdots, x_{n}^{*}\right) \quad \mu=1,2, \cdots, n, $$

这公式确定了同一点在两系统里的两组坐标之间的联系。那么在点 $P$ 处具有同一个无穷小位移的两个分量 $d x_{\mu}$ 和 $d x_{\mu}^{*}$ 就有以下的线性变换公式：

$$ d x_{\mu}=\sum_{\nu} a_{\mu \nu} d x_{\nu}^{*}\tag{3} $$

其中 $a_{\mu \nu}$，为导数 $\frac{\partial x_{\mu}}{\partial x_{\nu}^{*}}$ 在点 $P$ 的值点 $P$ 处的一个逆变矢量 $\mathbf{X}$，用两个坐标系的任一个表示时，都有 $n$ 个已知数 $\xi^{\mu}$ 作为其分量，这些分量变换到另一系统的方式，与无限小位移分量的变换公式（3）相同。我把在点 $P$ 的矢量的全体称为点 $P$ 的矢量空间。首先这空间是线性或仿射的，即將 $P$ 点的矢量乘上一个数以及把两个这样的矢量相加，总是得出 $p$ 点的矢量；其次，这空间是度规的，即对于具有分量严和于的每一对矢量 $\mathbf{X}$ 与 $\mathbf{Y}$ 可以根据属于（2）的对称双线性形式，不变地规定一个标积

$$ \mathbf{X} \cdot \mathbf{Y}=\mathbf{Y} \cdot \mathbf{X}=\sum_{\mu \nu} g_{\mu \nu} \xi^{\mu} \eta^{*}. $$

然而我们认为，这个形式仅仅确定到差一个任意的正值比例因子。若空间点的流形由坐标 $x_{\mu}$ 和来表示，那么根据点 $P$ 的度规性质来确定 $g_{\mu \nu}$ 就只准确到各分量之比。就物理意义而言，也正是 $g_{\mu \nu}$ 冲各分量的比值具有直接的现实意义。因为当 $P$ 为一给定的原点时，由 $P$ 发出的光信号所到达的那些无限接近的世界点满足方程

$$ \sum_{\mu \nu} g_{\mu \nu} d x_{\mu} d x_{\nu}=0. $$

为了获得分析表达式，我们首先要选定一个确定的坐标系，其次再在每个点 $P$ 处确定 $g_{\mu \nu}$ 中所固有的任意比例因子。于是即将找出的公式一定具有双重不变性：一方面对任意连续的坐标变换不变，另一方面，如果用 $\lambda g_{\mu \nu}$（其中 $\lambda$ 为位置的任意连续函数）代替以 $g_{\mu \nu}$，也必须保持不变。附加的第二个不变性是我们这理论的特征。

设 $P$，$P^{*}$ 是任意两个点，若对于 $P$ 的每个矢量 $\mathbf{X}$，我们在 $P^{*}$ 都这样指定一个矢量 $\mathbf{X^*}$ 使得一般来说，$\alpha \mathbf{X}$ 变为 $\alpha \mathbf{X^*}$（$\alpha$ 为任意指定的数），$\mathbf{X}+\mathbf{Y}$ 变为 $\mathbf{X^*}+\mathbf{Y^*}$ 而在 $P$ 的零矢量唯一地对应于 $P^{*}$ 的零矢量，这样我们就在 $P^{*}$ 的矢量空间上作出了  $P^{*}$ 的矢量空间的一个仿射的或线性的“复制品”。如果对应于每一对矢量 $\mathbf{X}$，$\mathbf{Y}$ ，在点严的两个矢量 $\mathbf{X^*}$   $\mathbf{Y^*}$ 的标积都与点 $P$ 的两个矢量 $\mathbf{X}$，$\mathbf{Y}$ 的标积成正比，这个“复制品”就极其相似了。（在我们看来，正是这种相似“复制品”的观念具有客观意义；以前的理论则容许全等“复制品”的更确定的概念。）点 $P$ 的矢量平行移动到邻近点 $P'$ 的意义由以下两个假设规定：

（一）利用点 $P$ 的矢量平行移动到邻近点 $P'$ 在 $P'$ 的矢量空间上就作出 $P$ 的矢量空间的相似象。

（二）若 $P_1$ ,  $P_2$ 为 $P$ 邻近的两个点，设 $P$ 处的无穷小矢量  $PP_2$ 通过平行移动到点 $P_1$ 变为 $P_1P_{12}$ ，而 $P$ 处的无穷小矢量 $PP_1$ 通过平行移动到点巳变成 $P_2P_{21}$ 则 $P_{12}$ 与 $P_{21}$ 重合，就是说，无穷小平行移动是可易的。

假设（一）说明平行移动是矢量空间从 $P$ 到 $P'$ 的仿射易位，这假设可以解析地表示如下：在 $P=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)$ 的矢量 $ \xi^{\mu} $ 经平行移动变换成 \(P^{\prime}=(x_{1}+d x_{1}, x_{2}+d x_{2}, \cdots,x_{n}+d x_{n} )\) 处的矢量 $\xi^{\mu}+d \xi^{\mu}$。这矢量的分量与針就具有线性关系：

$$d \xi^{\mu}=-\sum_{\nu} d \gamma_{\nu}^{\mu} \xi^{\nu}.\tag{4}$$

（4）第二个假设告诉我们，$d \gamma_{\nu}^{\mu}$ 是左性微分形式

$$ d \gamma_{\nu}^{\mu}=\sum_{\rho} T_{\nu \rho}^{\mu} d x_{\rho} $$

其系数具有对称性

$$ \Gamma_{\nu \rho}^{\mu}=\Gamma_{\rho \nu}^{\mu},\tag{5} $$

如果在 $P$ 的两个矢量 $\xi^{\mu}$，$\eta^{\mu}$ 经平行移动，在 $P'$ 变成 $\xi^{\mu}+d \xi^{\mu}$ 和 $\eta^{\mu}+d \eta^{\mu}$。则（一）所表达的相似性假设（它超出了仿射性）告诉我们，

$$ \sum_{\mu \nu}\left(g_{\mu \nu}+d g_{\mu \nu}\right)\left(\xi^{\mu}+d \xi^{\mu}\right)\left(\eta^{\nu}+d \eta^{\nu}\right) $$

一定正比于

$$ \sum_{m_{p}} g_{\mu \nu} \xi^{\mu} \eta^{\nu} $$

如果用 $1+d \phi$ 表示与 $1$ 相差无穷小的比例因子，并象通常那样用公式

$$ a_{\mu}=\sum_{\nu} g_{\mu \nu} a^{\nu} $$

规定指标的缩减，我们就得到

$$ d g_{\mu \nu}-\left(d \gamma_{p \mu}+d \gamma_{\mu \nu}\right)=g_{\mu \nu} d \phi\tag{6} $$

由此可见，$d\phi$ 是线性微分形式

$$ d \phi=\sum_{\mu} \phi_{\mu} d x_{\mu}.\tag{7} $$

假使这是已知的，方程（6）或者

$$ d \phi=\sum_{\mu} \phi_{\mu} d x_{\mu}, $$

加上对称条件（5），就明确地给出量 $\Gamma$。于是空间的内在度规联络除依赖于二次形式（2），还取决于线性形式（7）——准确到差一个任意比例因子⁶。如果我们用 $\lambda g_{\mu \nu}$ 代替 $g_{\mu \nu}$ 而不改变坐标系，则量 $d \gamma_{\nu}^{\mu}$ 不改变，$d \gamma_{\nu}^{\mu}$ 带有系数 $\lambda$，而 $d g_{\mu \nu}$ 如变成 $\lambda d g_{\mu \nu}+g_{\mu \nu} d \lambda$。于是方程（6）表明 $d\phi$ 变为

$$ d \phi+\frac{d \lambda}{\lambda}=d \phi+d(\lg \lambda). $$

所以在线性形式 $\Sigma \phi_{\mu} d x_{\mu}$ 里保持不确定的并不是那个取决于测量单位的任意选择的比例因子，更确切地说是其固有的任意成分，实际上是一个可加的全微分。对于几何学的分析表示来说，形式

$$ g_{\mu \nu} d x_{\mu} d x_{\nu}, \quad \phi_{\mu} d x_{\mu}\tag{8} $$

与

$$ \lambda g_{\mu \nu} d x_{\mu} d x_{\nu} \text{ 和 } \phi_{\mu} d x_{\mu}+d(\lg \lambda)\tag{9} $$

处于平等地位，其中 $\lambda$ 为任何一个正值位置函数。于是分量为

$$ F_{\mu_{y}}=\frac{\partial \phi_{\mu}}{\partial x_{y}}-\frac{\partial \phi_{\nu}}{\partial x_{\mu}}\tag{10} $$

的反对称张量，亦即形式

$$ F_{\mu \nu}=d x_{\mu} \delta x_{\nu}=\frac{1}{2} F_{\mu \nu} \Delta x_{\mu \nu} $$

具有不变的意义，这张量双线性地依赖于点 $P$ 处的两个任意位移 $dx$ 和 $\delta x$ ——或者不如说，线性地依赖于由这两个位移规定的、分量为 $\Delta x_{\mu \nu}=d x_{\mu} \delta x_{\nu}-d x_{y} \delta x_{\mu}$ 的面元。现在提出的理论有一个特殊情况，即原点处任意选定的单位长度允许以不依赖所经路线的方式，通过平行移动而传送到空间的一切点——当 $g_{\mu \nu}$ 能完全确定，使得 $\phi_{\mu}$ 样为零时，这种特殊情形就会出现，这些 $\Gamma_{\mu\rho}^{\mu}$ 不外就是克里斯托菲三指标符号。出现上述情况的充分和必要不变性条件就是张量 $\Gamma_{\mu\rho}$ 恒等于零。

这就很自然地使我们想到，在世界几何中把 $\phi_{\mu}$ 解释为四元势，从而张量 $F$ 可解释为电磁场。因为不出现电磁场是爱因斯坦理论有效的必要条件，直到现在，爱因斯坦理论只说明了引力现象。如果采取这种观点，我们將看出，电量具有这样一种性质，即在确定的坐标系里，它们用数字表示的特征不依赖于测量单位的任意选择。事实上，在测量单位问题和量纲问题上，一定存在着理论的新方向。在任意的测量单位选定之后，如果这量的一个单值在每一坐标系里确定一个数阵 $a_{\mu \nu}$ 这些数组成两个任意的无穷小位移的不变双线性形式

$$ a_{\mu \nu} d x_{\mu} \delta x_{\nu}\tag{11} $$

的系数，这样的一个量，我们就一直称它为，比如说，二秩张量。但在这里我们要谈及的是一种张量，如果取某一坐标系作为基，在选定 $g_{\mu \nu}$ 所包含的比例因子后，分量 $a_{\mu \nu}$ 就唯一地确定了，并且使得当变换坐标时，形式（11）保持不变，然而当用 $\lambda g_{\mu \nu}$ 代替 $g_{\mu \nu}$ 时，$a_{\mu \nu}$ 就变成 $\lambda^e a_{\mu \nu}$。这样我们就说，此张量的权为 $e$ 或者说，如果给线素 $ds$ 以“长度 $=l$” 的量纲，则此张量的量纲为 $l^\nu$。只有那种其权为零的张量才是绝对不变的。分量为 $F_{\mu \nu}$ 的场张量就属于这种类型。根据式（10），它满足第一组麦克斯韦方程

$$ \frac{\partial {F}_{\nu \rho}}{\partial x_{\mu}}+\frac{\partial F_{\rho \mu}}{\partial x_{\nu}}+\frac{\partial F_{\mu \nu}}{\partial x_{\rho}}=0. $$

一旦弄清楚平行移动的概念，几何学与张量计算就可以毫无困难地建立起来了。

（a）短程线 给定一个点 $P$ 及在该点的一个矢量，在这矢量方向上从 $P$ 出发的短程线可用这矢量平行于其自身，朝它自己的方向连续运动的方法得出来,•利用适当的参数 $\tau$，短程线微分方程可写成

$$ \frac{d^{2} x_{\mu}}{d \tau^{2}}+I_{\nu \rho}^{\mu} \frac{d x_{\nu}}{d \tau} \frac{d x_{\rho}}{d \tau}=0. $$

（当然不能够用长度最小表示短程线的特征，因为曲线长度的概念没有意义。）

（b）张量计算 例如，为了用微分法从分量为 $f_{\mu}$ 的零权的一秩协变张量场导出一个二秩张量场，我们要借助于点 $P$ 的任意矢量 $\xi^{\mu}$ 组成不变量 $f_{\mu}\xi^{\mu}$ 及其从点 $P(x_{\mu})$ 转移到邻近点 $P^{\prime}\left(x_{\mu}+d x_{\mu}\right)$ 时的无穷小变更，当转移时，矢量要平行于其自身移动。对此变更我们有

$$ \frac{\partial f_{\mu}}{\partial x_{\nu}} \xi^{\mu} d x_{\nu}+f_{\rho} d \xi^{\rho}=\left(\frac{\partial f_{\mu}}{\partial x_{\nu}}-\Gamma_{\mu \nu}^{\rho} f_{\rho}\right) \xi^{\mu} d x_{\nu}. $$

所以右边括弧内的量是权为零的二秩张量场的分量，这是由场f以一种完全不变的方式形成的。

（c）曲率 为了作出黎曼曲率张量的模拟物，让我们从前面用过的图形出发，即由 $P$ ,  $P_1$ ， $P_2$ 和 $P_{12}=P_{21}$ 这些点所构成的无穷小平行四边形②。如果我们将 $P$ 处的矢量 $X=\xi^{\mu}$ 平行于它自身移动到 $P_1$ 再从 $P_1$ 移往 $P_{12}$ 第二次，则首先移到 $P_2$ 再从那里移往 $P_{21}$ ，那么既然 $P_{12}$ 与 $P_{21}$ 重合，在这点得到的两矢量之差 $\Delta\mathbf{X}$ 就有意义了。它们的分量是

$$ \Delta \xi^{\mu}=\Delta R_{\nu}^{\mu} \xi^{\nu},\tag{12} $$

其中 $\Delta R_{\nu}^{\mu}$ 不依赖于被移动的矢量 $\mathbf{X}$ 但另一方面，它又线性地依赖于由两个移动 $P P_{1}=d x_{\mu}$ 和 $P P_{2}=\delta x_{\mu}$ 所确定的面元。所以

$$ \Delta R_{\nu}^{\mu}=R_{\nu \rho \sigma}^{\mu} d x_{\rho} \delta x_{\sigma}=\frac{1}{2} R_{\nu \rho \sigma}^{\mu} \Delta x_{\rho \sigma}. $$

曲率的分量 $R_{\nu \rho \sigma}^{\mu}$ 仅依赖于地点 $P$，它具有两种对称性：（1）当交换后两个指标为 $\rho$ 与 $\sigma$ 时，它改变符号；（2）如果作 $\nu\rho\sigma$ 的三次循环置换，再把相应的分量加起来，则结果为零。降低指标 $\mu$ 我们就得出 $R_{\mu \nu \rho \sigma}$ 这是权为 $1$ 的四秩协变张量的分量。甚至不必计算都看得出，$R$ 自然地按不变的方式分成两部分：

$$ R_{\nu \rho \sigma}^{\mu}=P_{\nu \rho \sigma}^{\mu}-\frac{1}{2} \delta_{\nu}^{\mu} F_{\rho \sigma} $$ $$ (\delta_{\nu}^{\mu}=1, \text{ 当 } \mu=\nu;~\delta_{\nu}^{\mu}=0,\text{ 当 } \mu \neq \nu),\tag{13} $$

其中第一项 $P_{\nu \rho \sigma}^{\mu}$ 不仅关于 $\rho\sigma$ 反对称，而且关于 $\mu\nu$ 也是反对称的。所以方程 $F_{\mu \nu}=0$ 表示我们的空间是一个无电磁场的空间，即在这种空间中，长度的转运是可积的；而方程 $P_{\nu \rho \sigma}^{\mu}=0$［如式（13）所示］则是引力场不存在的不变性条件，亦即方向转运可积的不变性条件。欧几里得空间本身就是一种既没有电也没有引力的空间。

式（12）的线性模拟物（给每个矢量 $\mathbf{X}$ 配上一个矢量 $\Delta\mathbf{X}$）的最简单的不变量，就是它的“迹”

$$ \frac{1}{n} \Delta R_{\mu}^{\mu}. $$

根据式（13），在本情况下，这不变量取下列形式:

$$ -\frac{1}{2} F_{\rho \sigma} d x_{\rho} \delta x_{\sigma}. $$

这种形式我们在上面已经遇到过了。象 $-\frac{1}{2} F_{\rho \sigma}$ 这样的张量的最简单不变量是“其数值的平方”：

$$ L=\frac{1}{4} F_{\rho \sigma} F^{\rho \sigma}.\tag{14} $$

$L$ 显然是权为 $-2$ 的不变量，因为张量 $F$ 的权为 $0$。 如果 $g$ 是 ${g}_{\mu \nu}$ 的行列式的负值，而

$$ d \omega=\sqrt{g} d x_{0} d x_{1} d x_{2} d x_{3}=\sqrt{g} d x $$

是无穷小体积元的体积，则我们知道，麦克斯韦理论就由电的作用量所支配，这作用量等于上述最简单不变量展布在选定区域上的积分 $\int L d \omega$，当然所谓支配是指对于 $g_{\mu \nu}$ 与 $\phi_{\mu}$ 的在世界区域边界上为零的任何变分，我们有

$$ \delta \int L d \omega=\int\left(S^{\mu} d \phi_{\mu}+T^{\mu \nu} \delta g_{\mu \nu}\right) d \omega $$

其中

$$ S^{\mu}=\frac{1}{\sqrt{g}} \frac{\partial\left(\sqrt{g} F^{\mu \nu}\right)}{\partial x_{\nu}} $$

是广义麦克斯韦方程的左边(其右边是四元电流的分量)，而 $T^{\mu\nu}$ 构成电磁场的能量动量张量。既然 $L$ 是权为 $-2$ 的不变量，而 $n$ 维几何中体元是权为 $\frac{1}{2} n$ 的不变量，故仅当维数 $n=4$ 时，积分才有意义。因此根据我们的解释，麦克斯韦理论只能限于四维的情况。可是在四维世界中，电磁作用量变为一个纯数。不过除非要由观察来检验的物理问题(例如电子)已在本理论的基础上计算过，否则量 $1$ 的大小就不能用传统的 c.g.s. 制来确定。

现在让我们从几何转到物理，仿效 G. 米的理论⁷，我们必须假设，一切自然定律都以一定的积分不变量为根据，即作用量

$$ \int W d \omega=\int \mathfrak{M} d x, \quad \mathfrak{M}=W \sqrt{g}, $$

使得真实世界与一切可能的四维度规空间由下列特征相区别：对于真实世界中任何一部分区域里，如果势 $g_{\mu \nu}, \phi_{\mu}$ 的变分在这区域的边界上为零，则包括于这区域的任何部分的作用量都取逗留值。作用量的世界密度 $W$ 一定是权为 $-2$ 的不变量。作用量在任何情况下都是纯数；因此我们的理论立即说明了当前认为具有重要意义的世界的原子结构——作用量子。对于 $W$，我们所能作的最简单而自然的推测是

$$ W=R_{\nu \rho \sigma}^{\mu} R_{\mu}^{\nu \rho \sigma}=|R|^{2} $$

根据式（13），我们有

$$ W=|P|^{2}+4 L. $$

（在这里，看来除电项 $L$ 上所加的系数 $4$ 以外，其他任何东西都是无可怀疑的。）但是即使不详细分析作用量，我们也可以从作用原理引出某些一般性的结论。我们將指出，按照希尔伯特，洛伦兹，爱因斯坦，克莱因和本文作者的研究⁸物质（指能量动量张量）守恒的四个定律与作用量（包含四个任意函数）对坐标变换的不变性是相联系的；同样地，电的守恒定律与“测度不变性” [从（8）过渡到（9）] 也是相联系的，这种不变性是在这里第一次出现的，它引入了第五个任意函数，在我看来，后者与能量动量原理相联系的方式是支持这理论的最有力的一般论据之一——只是在纯理论的论证上可能还有一点问题。

对于在所考虑的世界区域边界上为零的任何变分，我们有

$$ \delta \int \mathfrak{M} d x=\int\left(\mathfrak{M}^{\mu \nu} \delta g_{\mu \nu}+\mathfrak{m}^{\mu} \delta \phi_{\mu}\right) d x \quad\left(\mathfrak{M}^{\mu \nu}=\mathfrak{M}^{\mu \nu}\right).\tag{15} $$

于是自然定律取下列形式：

$$ \mathfrak{M}^{\mu \nu}=0, \mathfrak{m}^{\mu}=0.\tag{16} $$

前者可以看作引力场定律，后者可以看作电磁场定律。由

$$ \mathfrak{M}_{\nu}^{\mu}=\sqrt{{g}} W_{\nu}^{\mu}, \mathfrak{m}^{\mu}=\sqrt{g} w^{\mu} $$

规定的量 $W_{\nu}^{\mu}, w^{\mu}$ 分别是权为 $-2$ 的二秩混合张量和一秩逆变张量的分量。在方程组（16）里，依照不变性，有五个方程是多余的。这点表现在 $\mathfrak{M}_{\nu}^{\mu}$ 与 \(\mathfrak{m}^{\mu}\) 之间的五个不变恒等式：

$$ \frac{\partial \mathfrak{m}^{\mu}}{\partial x} \equiv \mathfrak{M}_{\nu}^{\mu},\tag{17} $$ $$ \frac{\partial \mathfrak{M}_{\nu}^{\mu}}{\partial x_{\mu}}-\Gamma_{\nu \beta}^{\alpha} \mathfrak{M}_{\alpha}^{B} \equiv \frac{1}{2} F_{\mu \nu} \mathfrak{m}^{\mu}.\tag{18} $$

第一个恒等式由测度不变性得出。因为当从式（8）过渡到式（9）时，如果取一无穷小位置函数 $\delta \rho$ 来代替 $\lg \lambda$，我们就得到

$$\delta g_{\mu \nu}=g_{\mu \nu} \delta \rho, \delta \phi_{\mu}=\frac{\partial(\delta \rho)}{\partial x_{\mu}}.$$

为此，变分（15）一定等于零。其次，若我们利用作用量对于

世界连续区无穷小变形这种坐标变换的不变性匕则得恒等式

$$\frac{\partial \mathfrak{M}_{\nu}^{\mu}}{\partial x_{\mu}}-\frac{1}{2} \frac{\partial g_{\alpha \beta}}{\partial x_{\nu}} \mathfrak{M}^{\alpha \beta}+\frac{1}{2}\left(\frac{\partial \mathrm{m}^{\mu}}{\partial x_{\mu}} \phi_{\nu}-\Gamma_{\alpha \nu} \mathrm{m}^{\alpha}\right) \equiv 0.$$

若根据式（17）用 $g_{\alpha \beta} \mathfrak{M}^{\alpha \beta}$ 代替 $\partial \mathfrak{m}^{\mu} / \partial x_{\mu}$，这恒等式就变为（18）。

所以单从引力定律我们已经得出

$$ \frac{\partial \mathfrak{m}^{\mu}}{\partial x_{\mu}}=0,\tag{19} $$

单从电磁场定律出发，则得

$$ \frac{\partial}{\partial x_{\mu}} \mathfrak{M}_{\nu}^{\mu}-\Gamma_{\nu \beta}^{\alpha} \mathfrak{M}_{a}^{\beta}=0.\tag{20} $$

在麦克斯韦理论中，$\mathfrak{m}^{\mu}$ 取下列形式：

$$ \mathfrak{m}^{\mu} \equiv \frac{\partial\left(\sqrt{g} F^{\mu \nu}\right)}{\partial x_{\nu}}-\mathfrak{s}^{\mu}, \mathfrak{s}^{\mu}=\sqrt{g} s^{\mu}, $$

其中 $s^{\mu}$ 表示四元电流。由于第一部分恒等地满足方程（19）, 故这方程给出电的守恒定律

$$ \frac{1}{\sqrt{g}} \frac{\partial\left(\sqrt{g} s^{\mu}\right)}{\partial x_{\mu}}=0. $$

类似地，在爱因斯坦引力理论里，$\mathfrak{M}_{\nu}^{\mu}$ 是由两项组成的，其第—项恒等地满足方程（20），第二项等于能量动量张量的混合分量 $T_{\nu}^{\mu}$ 乘以 $\sqrt{g}$。因此方程（20）导致四个物质守恒定律。如果取（14）为作用量，则完全类似的情况在我们的理论中也成立。五个守恒原理是场定律的行“消元式”，也就是说，这些守恒原理以双重形式从场定律导出，这就表明，其中有五个是多余的。

取式（14）为作用量，则麦克斯韦方程可写成

$$ \frac{1}{\sqrt{g}} \frac{\partial\left(\sqrt{g} F^{\mu \nu}\right)}{\partial x_{\nu}}=s^{\mu},\tag{21} $$

而电流是

$$ s_{\mu}=\frac{1}{4}\left(R \phi_{\mu}+\frac{\partial R}{\partial x_{\mu}}\right), $$

其中 $R$ 表示权为 $-1$ 的不变量，这是由 $R_{\nu \rho \sigma}^{\mu}$ 两次（先对 $\mu,\rho$ 后对 $\nu,\sigma$）降秩得出的。如果 $R^{*}$ 表示仅由 $g_{\mu\nu}$，构成的黎曼曲率不变量，计算给出

$$ R=R^{*}-\frac{3}{\sqrt{g}} \frac{\partial\left(\sqrt{g} \phi^{\mu}\right)}{\partial x_{\mu}}+\frac{3}{2} \phi_{\mu} \phi^{\mu}. $$

在静态场合，电磁势的空间分量不出现，而且所有的量都与时间 $x_0$ 无关，根据式（21），我们有

$$ R=R^{*}+\frac{3}{2} \phi_{0} \phi^{0}=\text{ 常数}. $$

在 $R\neq 0$ 的世界区域里，我们可以通过适当地规定长度单位使处处有 $R=$ 常数 $=±1$。可是在随时间而变化的情况下，我们只好期望曲面这些曲面显然将起独特作用。$R$ 不能用以充当作用量的密度（在爱因斯坦引力理论中用 $R^{*}$ 表示），因为它的权不是 $-2$ 。结果，尽管我们的理论导致麦克斯韦电磁方程，然而却不导致爱因斯坦引力方程。在爱因斯坦引力论中，出现四阶微分方程。不过很难说爱因斯坦引力方程是绝对正确的，首先其中出现的引力常数就与其他自然常数截然不同，例如，电子的质量和电荷的作用半径具有完全不同于电子本身的半径的数量级（相差 $10^{20}$ 倍或 $10^{40}$ 倍）⁹。

在这里，我的意图只是扼要介绍这理论的一般原理③，以下问题自然会出现：在形如式（14）的作用量基础上导出这理论的物理结果，并把这些结果同经验比较；特别是考察一下电子的存在和原子内部至今未能解释的过程的特性是否能从这理论推导出来④。从数学观点看来，这课题是非常复杂的，因为若局限于线性项，我们就不可能获得近似解；在电子内部，忽略高阶项无疑是不容许的，忽略这些项而得出的线性方程,一般来说只有零解。我打算在其他地方再详细考虑所有这些问题。

注释：

1. Math. Werke（2nd ed., Leipzig, 1892）, No. XII, p. 282.

2. 这就是说，如果坐标选择得使其在连续区的一个特殊点上 $d s ^ { 2 } = \pm d x _ { 1 } ^ { 2 } \pm d x _ { 2 } ^ { 2 } \pm d x _ { 3 } ^ { 2 } \pm d x _ { 4 } ^ { 2 }$ 则在每一种情况下都是三个符号为 $+$，一个个符号为 $-$——英译者注

3. "Nozione di parallelismo ...", Rend, del Circ. Matern, di Palermo, Vol. 42 (1917).

4. "Vektorielle Begründung der Differentialgeometrie, Math Ann., 78 (1917).

5. "Sρace, Time, and Matter" (Ist. ed. Berlin, 1918), § 14.

6. 作者后加的注释 (1)-(4) 见文末。

7. Ann. d. Physik 37, 39；40, 1912—1913.

8. Hilbert, "Die Grundlagen der Physik," Göttinger Nachrichien, 20 Nov., 1915; H. A. Lorentz in four papers in the Versl. K. Ak. van Wetensch. Amsterdam 1915—16； A. Einstein, Bcrl. Ber., 1916, pp. 1111—6；F. Klein, Gött. Nachr. 25 Jan., 1918； H.  Weyl, Ann. d. Physik 54, 1917, pp. 121—5.

9. 参看 Weyl, Ann. d. 54, 1917, p. 133.

作者后加的附注：

（1）最近我在下列几点修改了这理论的结构（参看“Raum, Zeit, Materie”,1921, $\S$13, $\S$18最后第四版的叙述）。（甲）代替平行移动所必须满足的假设（一）、（二），现在只有一个假设：设点 $P$ 处有一坐标系，利用这坐标系，$P$ 处的每个矢量当平行移动至与 $P$ 无限接近的点时，其分量不改变。这一假设表示，平行移动的特性有如易位，就此而论，可以恰当地说，它保持矢量“不受改变（乙）对于单个点 $P$ 处的度规（按照这度规，点 $P$ 的每个矢量 $\mathbf{X}=\xi^{\mu}$ 都附属有这样一个区域，当而且仅当两矢量具有相同的测量数 $l=\Sigma g_{\mu \nu} \xi^{\mu} \xi^{\nu}$ 时，由两个矢量来规定同一区域），现在必须加上P与其邻近点的度规联络：通过向无限接近点P作全等易位，在P处的一个区域就变成P处的一个确定区域。对于区域的全等易位概念，如果规定一个类似对矢量平行移动概念所作的假定（甲）那样的条件，我们就看出，这一过程（其中区域的测量数增加了 $dl$）由下列方程表示：

$$ d l=l d \phi ;\quad d \phi=\Sigma \phi_{\mu} d x_{\mu}. $$

在这情况下，度规和度规联络明确地规定了“仿射”联络（平行移动）。——诚然，按照现在我在空间问题上的观点，这是几何学的最基本的事实——而按照本文的表述，在给定的度规里，当平行移动时保持任意的正是线性形式 $d \phi$。

（2）在这里，无穷小“平行四边形”的对边是互相由平行移动而得出这一点是不重要的；我们关心的只是 $P_{12}$ 与 $P_{21}$ 的重合。

（3）关于定文一切可以作为作用量的不变量 $W$（其中只能包含 $g_{\mu\nu}$ 的至多是二阶的导数和 $\phi_{\mu}$ 的只到一阶的导数）的问题，已为 R. 外森伯克所解决（Sitzungsber. d. Akad. d. Wissensch. in Wien, 129, 1920； 130, 1921）。如果我们忽略其变分 $\delta \int W d \omega$ 恒为零的不变量 $W$，根据 R. 巴赫较晚的计算（Math.Zeitschrift, 9, 1921, pp. 125 和 189 ）就只剩下三种组合。看来真实的 $W$ 是麦克斯韦的 $L$ 与 $R$ 的平方的线性组合。这个推测由泡利（Physik. Zeitschrift. 20, 1919, pp. 457—67）和我更仔细地检验过；特别是我们甚至成功地在这基础上导出了质点的运动方程。在前面所选定的不变量（14）最初是随便取的，但现在看来，在自然界中，它反而是不起作用的。（参看“Raum, Zeit, Materien”第四版 $\S$ 35,36，或 Weyl, Physik. Zeitschr., 1921, pp. 473—80。）

（4）当时其实我已经完全放弃由 G. 米理论所引起的希望；我不相信物质问题要单靠场的理论来解决。参看我有关本题的论文“Fuki und Materie”，Ann. d. Physik, 65, 1921, pp. 541一63。

来源:	相对论原理，A. 爱因斯坦 等著，赵志田，刘一贯 译 孟昭英 校，科学出版社 1980-2