林开亮 陈见柯

数论中一个重要的课题是平方和问题，它有很长的历史。这里做一简要介绍。

韦伊（A. Weil）在其数论史著作[8]中提出，法国数学家费尔马（Fermat）为现代数论之父。关于平方和，费尔马有两项杰出工作。第一，他在1640年指出：形如的素数 都可以写成2个整数的平方和，并进一步给出了任意一个自然数 表示为整数平方和的方法数目；第二，他在1636年断言：每个正整数都可以写成4个平方数的和。¹

费尔马的工作吸引了欧拉（Euler），对于费尔马关于2个整数的平方和的命题，欧拉用了七年时间才给出证明。对于与二平方和命题几乎平行的四平方和的断言，欧拉也投入了大量精力，一个关键性的突破，是他在1748年发现了著名的四平方和的乘积公式（一个特例是归功于丢番图的平方和的乘积公式）：

$$\left( x _ { 1 } ^ { 2 } + x _ { 2 } ^ { 2 } + x _ { 3 } ^ { 2 } + x _ { 4 } ^ { 2 } \right) \left( y _ { 1 } ^ { 2 } + y _ { 2 } ^ { 2 } + y _ { 3 } ^ { 2 } + y _ { 4 } ^ { 2 } \right) = z _ { 1 } ^ { 2 } + z _ { 2 } ^ { 2 } + z _ { 3 } ^ { 2 } + z _ { 4 } ^ { 2 }$$

其中 $z _ { 1 } , z _ { 2 } , z _ { 3 } , z _ { 4 }$ 为²

$$\begin{array} { l l } { z _ { 1 } = x _ { 1 } y _ { 1 } - x _ { 2 } y _ { 2 } - x _ { 3 } y _ { 3 } - x _ { 4 } y _ { 4 } , } & { z _ { 2 } = x _ { 1 } y _ { 2 } + x _ { 2 } y _ { 1 } + x _ { 3 } y _ { 4 } - x _ { 4 } y _ { 3 } } \\ { z _ { 3 } = x _ { 1 } y _ { 3 } - x _ { 2 } y _ { 4 } + x _ { 4 } y _ { 2 } , } & { z _ { 4 } = x _ { 1 } y _ { 4 } + x _ { 2 } y _ { 3 } - x _ { 3 } y _ { 2 } + x _ { 4 } y _ { 1 } } \end{array}$$

遗憾的是，欧拉没有完成证明，而把临门一脚——证明每一个素数都可以写成四个整数的平方和——留给了后起之秀拉格朗日（Lagrange）。1770年，在欧拉工作的基础上，拉格朗日证明了费尔马所猜测的

四平方和定理：对任意的正整数 $n$，丢番图方程

$$x _ { 1 } ^ { 2 } + x _ { 2 } ^ { 2 } + x _ { 3 } ^ { 2 } + x _ { 4 } ^ { 2 } = n$$

有整数解。

仿照费尔马，欧拉提出了这样的问题：对任意给定的 $n$，求出该方程的非负整解$\left( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } , x _ { 4 } \right) \in \mathbb { N } ^ { 4 }$的个数关于 $n$ 的一个公式。欧拉尝试用母函数的办法，但由于他限制于考虑正整数解，所得的母函数

$$1 + q + q ^ { 4 } + q ^ { 9 } + q ^ { 16 } + \cdots = \sum _ { n = 0 } ^ { \infty } q ^ { n ^ { 2 } } = f ( q )$$

丧失了对称性，最终徒劳无功。欧拉也曾建议，用母函数的方法考察费尔马关于多边形数断言的证明，他认为这是“最自然的证明方式”。然而，他也没有成功。可喜的是，安德鲁斯（Andrews[1])后来复活了欧拉的想法，用母函数的方法重新证明了高斯的三角形数定理。

1829 年，另一位在计算方面可与欧拉相媲美的数学家雅可比（Jacobi）通过考虑上述丢番图方程的整数解 $\left( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } , x _ { 4 } \right) \in \mathbb { Z } ^ { 4 }$ 而修正了欧拉的思路，得到了满意的解答。雅可比将欧拉的母函数  对称化从而得到了著名的 $\theta$ 函数：

利用 $\theta$ 函数，雅可比求得了将任意给定的正整数 $n$ 分别表示为 $2,4,6,8$ 个平方数的表达数目的公式。例如，雅可比算出

$$\theta ^ { 4 } ( q ) = \left( \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } q ^ { n ^ { 2 } } \right) ^ { 4 } = 1 + 8 \sum _ { 4 \nmid d } \frac { d q ^ { d } } { 1 - q ^ { d } } \quad ( | q | < 1 )$$

由此立即可以读出不定方程

$$x _ { 1 } ^ { 2 } + x _ { 2 } ^ { 2 } + x _ { 3 } ^ { 2 } + x _ { 4 } ^ { 2 } = n$$

的整数解 $\left( x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } , x _ { 4 } \right) \in \mathbb { Z } ^ { 4 }$ 的个数 $r _ { 4 } ( n )$ 的通式

$$r _ { 4 } ( n ) = 8 \sum _ { m > 0 : 4 \nmid m | n } m$$

这就引出了一个一般问题（平方和问题）：设 $r _ { s } ( n )$ 表示丢番图方程

的整数解 $\left( x _ { 1 } , x _ { 2 } , \ldots , x _ { s } \right) \in \mathbb { Z } ^ { s }$ 的个数，求 $r _ { s } ( n )$ 的显式表达式。

在雅可比之前，勒让德（Legendre，1798 年）与高斯（1801 年）分别求得了 $r _ { 2 } ( n )$  的公式（此处从略）。雅可比的贡献在于，将椭圆函数引入到这个数论问题中，这后来成为了求解这类问题的标准方法。对于 $r _ { s } ( n )$ 的求解，历史上许多大数学家都有贡献，继勒让德、高斯和雅可比之后，很多大数学家作出了重要贡献，列表说明如下（见[4]）：

其中特别传奇的两个人物是闵可夫斯基（Minkowski）与拉马努金（Ramanujan）。

年仅 18 岁的闵可夫斯基比他的前辈艾森斯坦因（Eisenstein）和史密斯（H. J. Smith）更深入地解决了 $s = 5,7$ 的情况，可见[7]。而自学成才的拉马努金则独立发现了雅可比的 $\theta$ 函数，他的故事可见其传记《知无涯者》[5]。

继他们之后，对更一般的二次型的算术理论作出了巨大贡献的，还有西格尔（Siegel）与志村（Shimura）。但对平方和问题，即 的求解，直到2000年左右，才取得重大进展。

首先是在 1996 年，米尔恩（Stephen Milne）迈出了突破性的进展，他对 $S = 4 k ^ { 2 } ,\, 4 k ( k + 1 )$ 给出了 $r _ { s } ( n )$ 的公式。Milne 的工作受到了卡茨（V. G. Kac）和胁本实（Minoru Wakimoto） 1994 年在研究李代数时提出的猜想的启发。

继此重要突破之后，察吉尔（D. Zagier）、刘治国、曾衡发及其合作者蔡国成、C. Krattenthaler、小野（K. Ono）等做了相关的工作。 特别值得一提的有两笔。

2003 年，曾衡发（Heng Huat Chan）与蔡国成（Kok Seng Chua）对一切偶数 $s\geq 8$ 成功猜测出 $r _ { s } ( n )$  的公式。 之后，杨一帆（Yifan Yang）与福原真二（Shinji Fukuhara）、田坂浩二（Koji Tasaka）、德国数学家克里格（K. Kilger）等给出了三个独立的证明。

2013 年，刘治国首先给出了一个一般方法对任意的正整数 $n$ 计算 $r _ { s } ( n )$，其中 $s$ 是任意的正整数。这个方法原则上将 $r _ { s } ( n )$ 的计算，归结为计算某些基本的超几何级数的特殊值，不过后一个问题目前还是很难。

平方和问题一度在历史上占有重要地位，例如它占据着迪克森（Dickson）的第2卷《数论史》[3] 的四章篇幅。完全可以理解，当米尔恩在1997年取得如此大的成就时，美国的《科学新闻》[6]对此作了激动人心的报道。对平方和问题更详细的介绍，见曾衡发与Krattenthaler合写的精彩综述[2]。

注释：

1. 事实上，费尔马提出的，是一连串的命题：每个正整数都是三个三角形数的和、四个平方数的和，五个五边形数的和，如此等等。高斯(Gauss)1796年证明了头一个命题，而一般性的命题到1813年为柯西(Cauchy)所证明。关于这个命题的高维类比，至今仍未证明，见林开亮、郑豪，从费尔马多边形数猜想到华罗庚的渐近华林数猜想, 数学文化, 第7 卷第2 期, (2016) 61-83。↩

2. 注意，它们分别是四元数乘积 $$\left( x _ { 1 } + x _ { 2 } \mathbf { i } + x _ { 3 } \mathbf { j } + x _ { 4 } \mathbf { k } \right) \left( y _ { 1 } + y _ { 2 } \mathbf { i } + y _ { 3 } \mathbf { j } + y _ { 4 } \mathbf { k } \right)= z _ { 1 } + z _ { 2 } \mathbf { i } + z _ { 3 } \mathbf { j } + z _ { 4 } \mathbf { k }$$ 的各个系数。1817 年，高斯正是从欧拉的这个等式 （比哈密尔顿更早地）预见到四元数。如果在四平方和乘积公式中令，我们就得到丢番图（Diophantus）的平方和乘积公式，而这只是复数乘积公式的坐标展开表达。类似的，根据八元数的乘积公式，可以得到一个八平方和的乘积公式。著名的胡尔维茨(Hurwitz)定理断言，不存在其它类型的平方和乘积公式了。↩

致谢：作者在论文准备过程中，曾与下述数学家与学者通讯并获得帮助，特表感谢：新加坡国立大学数学系曾衡发教授，台湾国立交通大学应用数学系杨一帆教授，以及华东师范大学数学系刘治国教授。

参考文献：

[1] G. E. Andrews, EREKA! num=$num=\Delta + \Delta + \Delta$ , J. Number Theory 23 (1986) ,285--293.

[2] H.H. Chan and C. Krattenthaler, Recent progress in the study of representations of integers as sums of squares, Bull. London Math. Soc. 37 (2005), 818–826.

[3] L. E. Dickson, History of the Theory of Numbers,Vol. 2: Diophantine Analysis. New York: Dover, 2005.

[4] 华罗庚，《数论导引》，科学出版社，1957年。

[5] R. Kanigel, The Man Who Knew Infinity: a Life of the Genius Ramanujan. New York: Charles Scribner's Sons, 1991. 中译本《知无涯者》，胡乐士、齐民友译，上海科技教育出版社，2008年。

[6] Ivars Peterson, Surprisingly Square:Mathematicians take a fresh look at expressing numbers as the sums of squares, Science News, June 16, 2001; Vol. 159, No. 24, p. 382—383.

[7] C. Reid, Hilbert, Copernicus, New York, 1996. 中译本《希尔伯特》，李文林、袁向东译，上海科技出版社，2006年。

[8] A. Weil, Number Theory: An Approach through History from Hammurahi to Legendre, Birkhäuser, Boston, Mass., 1983. 中译本《数论：从汉穆拉比到勒让德的历史导引》，胥鸣伟译，高等教育出版社，2010 年。

作者:	林开亮，西北农林科技大学理学院讲师
	陈见柯 中国传媒大学理学院