抽象——代数学之美




在我们享用代数学饕餮大餐之前,我想引用人类历史上最伟大的人物之一说的一句话。这就是伽利略·伽利莱所说的,因为我觉得这句话很好地总结了地代数的真谛和数学的真实意义。他说:

“哲学就写在展现在我们眼前的那本伟大的著作中。我指的是宇宙。但如果我们不先学习掌握这本书所用的语言和符号,我们就不会理解它。这本书是用数学语言来写的。没有数学,人们就会在黑暗的迷宫中徒劳地游荡。”

这个说法很夸张,但也很深刻,这就是数学的本质。

随着我们开始慢慢深入学习代数,我们看到我们将要开始抽象。我们将要接近解释宇宙是如何构造的这一核心思想。当然这些想法可以被应用到很多东西上,比如天文学、经济学、物理学和化学。但是从本质上说它们都是一样的。所以它们比其他任何一种应用都更加基本,更加纯粹。

要明白我的意思就要从最基本的想法开始。我想我们可以从宇宙的哲学是用数学来书写的这一首要法则开始。但让我们从一个非常具体、简单问题开始。我们将逐步抽象,来看看同样的想法是如何和我们宇宙中多个领域联系在一起的。

让我们假设我们在一家商场里。我们打算买点东西,商场恰好有打折,折扣是七折。我一般不在很贵的店里购物。假设我们对一条裤子感兴趣。打折前这条裤子是20美元。这就是我想在这条裤子上花的钱。现在我对这条20美元的裤子感兴趣。更巧的是这条裤子可以打七折。那么我能从20美元中节省多少钱呢?

这还不是代数。这种情况你可能以前遇到过。你可以用30%乘以20美元。所以你的折扣等于——你可以写30%乘以20美元。我们用紫色来写20美元。或者你可以,如果你想的话,用小数表示。你可以写成0.30·20美元。简单计算下,你会得到6美元。这里没有什么新东西。

但是如果我想做一点推广呢?这是这条特定的裤子的折扣。但是如果我想知道商场里任何东西的折后价呢?那么我可以说:假设$x$是原价。让我们用另一种颜色。我只是做个标记。假设$x$是我想买的商品的价格。这是商场商品的原价。我们可以说折扣是七折,30%乘以$x$。如果我们想写成小数,我们可以把30%写成小数,我们可以写0.30乘以$x$。

现在有趣的事发生了。现在你给我商场里任何一件商品的价格,我可以用$x$替换它。然后我可以乘0.3倍,就会得到折后价。现在我们慢慢开始进入代数的抽象中。我们可以看到当我们开始学习越来越多的代数问题后,它们变得更加细微和深刻了。实际上也更优美了。

但我们并不止步于这里,我们还可以更加抽象。刚才我们说过。我们可以推广为任何一种商品。我们不只是在说这条20美元的裤子。

如果有个10美元的商品,我们可以把10美元商品放在这当$x$。然后我们可以说0.30乘以10,这个折后价是3美元。也有可能是件100美元的商品,那么折后价就是30美元。

让我们进一步推广。比如说,当折扣是一个特定值的话, 那么任何一种商品的折后价是多少呢?现在我们可以说那个折后价。让我先定义一个变量。让我们假设一个值$p$,这样更有意义。$p$等于这个去掉的百分比。我们能做什么?现在我们可以说这个折扣和这个去掉的百分比是一样的。在其他例子中我们选择了30%。但现在我们说$p$就是这个去掉的百分比,这是问题中商品要乘以的去掉的百分比。乘以这个价格,问题中商品的原价,那是$x$。这个折后价等于$p$乘以$x$。这下真有趣了。现在我们有了计算折扣的通常办法。对任何给定的折扣和任何给定的商品$x$都可以用。我们不一定需要用这些单词和字母。

我们可以让$y$等于折后价,那么我们用同样的基本想法。我们可以写$y$等于去掉的百分比$p$乘以商品原价,即乘以$x$。你也可以用任何一种你想要的方式来定义这些字母,也可以不用写$y$。你可以写希腊字母,只要你记下符号代表的是实际的折扣。

现在事情变得有趣了。因为我们可以使用这种关系,这种等式。你用$y$来等于这些东西,我们把这个叫做等式。这些可以用来表示和商场折后价完全没关系的东西。

在物理学中你看到,力等于质量乘以加速度。字母不一样,但理念是基本一致的。我们可以假设$y$等于力,质量等于$p$。我写下$p$等于质量。这种定义方法不直观(一般用m表示质量),但是我想说明,这是同样的思想和关系应用到了两种不同的事物上。我们可以说$x$等于加速度,然后那个著名的“力等于质量乘以加速度”就可以重新写成:$y$——我们定义为力——就等于,质量——我们将用$p$来表示——乘以加速度——这里我们正好用字母$x$来表示,即$y=p·x.$ 这和刚才是一样的方程。

我们还可以把这个方程式应用在经济学上,或者是计算机科学,或者逻辑学、工程学,会计学等任何学科。这个方程式有无穷多种应用方法。这就是数学的灵活性,特別是代数的灵活性。我们可以聚焦于抽象,我们可以操作抽象。

从这些理念和操作中我们发现它们可以被反复应用到所有其他的应用中。更巧妙的是,如果把这些人为的定义和人为的应用都去掉,它好像在告诉我们宇宙的真正结构。

比如,我们可以说,看,$y$等于$p$乘以$x$,字面意思是,有人说“这是$y$”,另一方面他又说“我有$p$乘以$x$”。我可以说,“你双手里的东西是一样的”。如果你想用一个数字除以它们其中一个,如果你想让它们仍然相等,你也要用这个数字除以另一个。$y$除以$x$等于多少?$y$等于$p$乘以$x$,$y$除以$x$,这和$p$乘$x$除以$x$是一样的。现在有趣的事来了:$p$乘以$x$除以$x$。如果你先用一个东西做乘法,再用它来做除法的话,你会得到原来那个数。如果你先乘以5再除以5,你就会得到$p$。或者任何一个其他数字。所以这些可以消去。

但我们可以操作抽象事物。让$y$除以$x$等于$p$。我们把$x$变成绿色。$y$除以$x$等于$p$。这个推论告诉我们宇宙的基本真理。对其他的应用来说几乎是不存在的。但是现在我们可以去把它们拿回来,放到任何我们可以应用的地方。真正有趣的事是我们发现新的应用是无限的。实际上我们对大多数的应用都不了解。在一千年里我们将会发现新的应用。

希望这些能让你们明白,为什么伽利略说,数学是我们用来理解宇宙哲学的一种语言。这就是为什么人们说,如果外星生命要和人类接触,数学将是我们的首要共同基础,从中可以形成一个我们可以开始互相沟通的基础。

原文链接: https://www.khanacademy.org/math/algebra/introduction-to-algebra/overview-hist-alg/v/the-beauty-of-algebra (可汗学院) 
翻译: 欧阳顺湘基于Youtube字幕编译
制作: 李想