数学与缝纫机


Tony Phillips/文
张天健/译

简介

缝纫机是19世纪时人类在机械上的伟大发明之一。(据说,Mahatma Ghandi(圣雄甘地)曾认为它是“为数不多能被称为很有用的发明之一”)与打字机或收音机不同的是,它不能被电子器件替代,因为它处理材料而不是信息。在这个专栏里,我将探究缝纫机与经常和它联系在一起的机器——绕线器——中的数学原理:双线连锁缝纫法在拓朴学上是如何实现的,以及阿基米德螺线形成的凸轮如何保证线均匀缠绕在长线轴上。

针线中的拓扑学

最原始的缝纫机使用单捆丝线,并进行链式缝法:

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链式缝法:在每一个针脚,一圈丝线都被套进上一圈线形成的环中。这是YouTube上的演示。注:针线穿过的空隙被称为接缝。

在拓扑学上,链式缝法不是个难题,因为线不打结:如果你拉上图的右方末端线头,就可以直接让整个结构恢复成一根直线。这让链式缝法在缝上装满土豆,狗粮或木炭球的袋子时仍然很好用,因为人们希望方便地打开这些袋子。但是,“能被简单地打开”这一特征在服装方面显然是不可取的。

1830~1850年间,人类发明了第一台能够缝纫闭锁型(即不会散开的)针脚的缝纫机。这种缝纫机用两股线来缝一个接缝。

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闭锁型针脚:在每一个针脚处,上方那股线与下方那股线勾在一起,它们朝向一致。如果把布拿掉,两股线将均匀地缠绕在一起,一股绕着另一股,每个针脚处两股线互绕一圈。注:为易于理解,译文将沿用“上方线”与“下方线”的说法。

第一眼看上去,用机器缝出闭锁型的针脚从拓朴学上来说似乎是不可能的。缝纫机要用两股线来缝接缝;每股线都有一个轴:绕线器上的上线(橙色)显然位于机器的顶端,下线(绿色)则隐藏在线筒里。这两股线怎么可能周而复始地绕在一起呢?

答案为:线筒是运动的。在一些早期的缝纫机中,线筒装在子弹形状的梭子里,每缝一针,梭子就穿过由前进和后退的针在上线中形成的环。这个结构之所以能工作,是因为梭子在缝纫机中能够自由活动。更现代的机器中,线筒被塞入一个光滑的圆形金属梭子中。它处于一个固定的位置,但可以在一定程度上自由运动。所以每一个针脚处,上方线都绕着这个金属梭子,随之和下方线缠起来并拉紧。

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有两种制作闭锁型针脚的方法。第一种被称为“振荡梭”。每个针脚处,梭子带动下方线(蓝色)穿过上方线(红色)形成的环。第二种被称为“转梭”。下方线(绿色线)绕在光滑固定的圆形梭子里,在每个针脚处上方线(黄色)绕梭子一圈。在这两种情况下,由于必须满足“拓扑学确保其可能”的要求,梭子必在机器内自由运动。上方是来自维基的动图。

为振荡梭缝纫机而生:绕线器上的阿基米德螺旋

我从我的朋友兼从前的同事Enrico Giusti那里得知了一些关于阿基米德螺旋的信息。他上个月在威尼斯举行的 "Matematica e Cultura" 会议上的一次讲座中提到了这一点。据说这些信息在Via San Bartolo a Cintoia(佛罗伦萨地名)的“阿基米德花园(The Garden of Archimedes”,一个数学博物馆中举办的展会上可以找到。这个展会,因弗朗哥·康蒂(Franco Conti)的缘故,以康蒂(Conti)与朱斯蒂(Giusti)在2000年出版的《奥尔特·伊尔·康帕索:几何曲线》(Oltre il Compasso: la geometria delle curve)一书为基础。绕线器原理在博物馆的官网上可以找到1

对于那些不熟悉新型缝纫机的人来说,每个机器往往都有自己特定形状的的绕线器——嵌在梭子内并带有底线的小线轴。所以,对于任何特殊的缝纫项目,在底部的线都需要特别缠绕在绕线器上。缝纫机一般都有一个为了满足这个要求而设计的结构,它一般紧贴缝纫机的主轴,与缝纫流程不冲突。

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Singer Sphinx Model 27, 1910年制造,最近在Ebay出售。它是振荡梭设计方法的产物,绕线器被近距离展示。AMS已被授权使用该图象。

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子弹状振荡梭模型的绕线器。它们窄而长(图中长约1.5英寸)。AMS已被授权使用该图象,图源Ebay。

对于旋转梭中的短蹲式线筒,确保线缠绕到一个均匀的深度通常不是问题; 缝纫机的绕线器可以让线均匀地抽出来(尽管有人建议观察这个过程,必要时用手指干预)。但是像模型27中使用的那种长而窄的线筒就比较麻烦了:在缠绕过程中,需要沿着线筒来回引导线。 有种非常简单的解决办法,那就是用之前提到的旋转体来带动线筒,不过Conti解释了为什么这会让线在线筒的两端打结。

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上图是一个简单的机械运动,转动的、与线筒直径相等的环牵着线向下运动。观察一个点,它会堆在线筒两端。因为在右图,绿色区域大小是相同长度橙色区域的两倍。

发明家和完美主义者们设计的解决方案被应用在Model27等机械上。他们使用了一个旋转圆盘,在其上安装两个像阿基米德螺旋的凸轮(在极坐标轴上 r=θ 当 0≤θ≤π, 且 r=−θ 当 −π≤θ≤0)。杠杆臂放大范围以匹配线筒的长度。

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如图所示,这是Model27绕线器的工作原理。当绕线器开始工作的时候,一个橡皮圈(图中缺失)置于主动力轮上。线圈被其左侧装了弹簧的活塞固定。当线圈开始旋转,螺旋驱动器与承载心形凸轮的扁平盘的边缘上的齿啮合。即将被加工的线穿过长臂底端的凹口,该凹口被凸轮边缘的一个弹簧顶住。凸轮在左侧的角位置约为θ=π。线将被引向线轴的左端。在右侧,凸轮接近θ= 0并且线圈向右端移动。在运动过程中,当凸轮旋转时,长臂末端从一侧均匀移向另一侧,其速度与θ成正比。图源Ebay,AMS已被授权使用该图象。

最后,为了观察运动过程中的绕线器,我推荐Lizzie Lenard的视频:

如何把Singer缝纫机的长线筒合理地绕起来并以正确的方式装载梭子
(原视频出处https://www.youtube.com/watch?v=c4PhAT--SKM

Henry T. Brown(《美国工匠》的编辑)、Brown、Coombs在1868年纽约出版的《507机械运动》(507 Mechanical Movements)中描述了阿基米德螺旋将圆周运动转化为均匀的线性运动。现在这本书在网上可以买到,并附有其中一些机械运动的动态演示(尚缺阿基米德螺旋)。阿基米德螺旋是第96个运动,原书中以下图演示了这个运动。下图文本给了一个画出一对阿基米德螺旋的几何方法。

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图片中的文字:96.一个心形凸轮。通过心形凸轮的旋转,使横杆得到均匀的横向运动。虚线拟合出了心形凸轮的运动轨迹。往返运动的长度被分成了n个部分,这些点确定了一系列的同心圆。接着,我们把外圈均分为2n份,并画出点到中心的连线。那么,这些同心圆的交点和向外辐射的线就是我们希望拟合出来的曲线。

注释:

1. http://web.math.unifi.it/archimede/archimede_NEW_inglese/index.html

原文链接: Math and the Sewing Machine
作者: Tony Phillips, Stony Brook University
翻译: 张天健,南方科技大学(SUSTech)
校订: 程晓亮,吉林师范大学数学学院副教授