卡罗尔，一位美貌与智慧完美结合的女人。

我的朋友卡罗尔既好又美。任何人都会打赌说她有许多约会。但原来并非如此。

事实是卡罗尔已经几年未有约会了。虽然她本质上害羞，但她敞开心扉于任何合理提议，且也喜欢发现特别的人。但卡罗尔声称男人通常不接近她。她认为她把他们吓跑了。这是不是坏运气捉弄人？或其他因素？或许卡罗尔对现实有扭曲了的知觉。

在数学上运气也自然常被提及。若是运气使然，数学也许可以阐述一下卡罗尔的问题。让我们来看一看。

卡罗尔困境

考虑一个男人——姑且称他为盖伊——他被卡罗尔吸引，有机会与她交谈，比如说在一个咖啡厅。理解到卡罗尔害羞，他在考虑是否走近她。盖伊考虑如下的可能结果：

1. 他和卡罗尔交谈，她友好地回应。他得到她的电话号码和下周合适的日期。

2. 他不接近卡罗尔。他可以享受另一件有益的事情（如阅读最后一期的Plus）。

3. 他和卡罗尔交谈，但她显出不感兴趣。他那周会感觉到苦不堪言。

盖伊评估结果，将数a，b，0分别分配给方案（a）、（b）和（c），并有$a > b > 0$。他的意思是，他喜欢（a）甚于（b），（b）比最坏的情况（c）要好。

现在盖伊意识到他在城里不是唯一的男人。他知道这个事实：结果显著地取决于独立考虑是否接近卡罗尔的其他那些人的行动。假设盖伊认为只有当没有其他人接近卡罗尔时他得到（a），且当他并非接近卡罗尔的唯一人时得到（c）。当然，如果他不跟卡罗尔交谈，他得到（b）。盖伊的谦虚似乎是可以理解的，如果他不相信自己在面对竞争时是一个强有力的候选人。

自己的选择如此强烈地依赖于他人的选择这一事实，将他的选择问题成为一个互动决策问题。研究个体行为怎样以社会环境为条件是社会心理学的目的。这里涉及的相互作用是博弈论的标志，这是在二十世纪所发展起来的一门学科。

围绕卡罗尔的数学

盖伊问题的解，以及所有其他男人的解，是在描述的框架内被视为合理的一组行动。每个人的行为合理这一假设会略显不切实际，但在游戏的理论探讨中这是至关重要的，因为数学不能解释人的非理性或违背自己利益的行动。问题的对称性——盖伊可以是任何人——将意味着所有的行动都以同样的方式，因为所有的人会做出同样的理性思考。理性允许丢弃没有人和卡罗尔交谈这一对称解：如果别人没有和她说话，盖伊就能接近她而得到一个更好的结果，所以理性就意味着盖伊将接近她。类似的推理允许丢弃每个人都对卡罗尔说话的另一对称解。没有其他对称解了。

跟不跟她（卡罗尔）打招呼呢？

盖伊需要精巧行事。他可能会认为解决他困境的一个方法是掷硬币。这等于说盖伊是完全不确定该怎么做。如果我们承认，“不确定”是解决他困境的一个可行方案，50％的机会是真正的理性，或将另一层面的不确定性，比如说以30与70的比例赞成接近卡罗尔，是不是更好？甚至有否理性的方式是不确定的？这似乎是一个有趣的想法。让我们来看看它将把我们带往何方。

盖伊的不确定性由他接近卡罗尔的概率$p$描述（这样不接近她的概率是$1-p$）。由对称性，每个人的不确定性由相同数$p$表示------每个人都独立做出选择。我们的目标是找到$p$的最佳值$p^*$。值$p^*$可以通过下面的观察间接获得。在其余人都具有概率为$p^*$的不确定性的条件下，仅当盖伊（以及任何其他人）将同级别的“奖励”与他的两个可能采取的行动（即接近卡罗尔或不接近她）联系在一起，这束由$p^*$共同定义的不确定性才是合理的。否则，就没有关于做什么的不确定性：盖伊会采取有更高回报的行动。

但是，盖伊如何才能给一束不确定性指定奖励值？由约翰·冯·诺伊曼和奥斯卡·摩根斯坦给出的一个可能的答案是将奖励值平均分配给所有可能的成束行动，其权等于其发生的概率。这就是所谓的期望估值。基于预期估值的合理性一直是自20世纪50年代以来，决策分析的主要模式。

如果有$N$个人独立决定，则有$2^N$束可能的行动。盖伊计算如下：

• 当中只有我们的盖伊接近卡罗尔的这一束产生（a)——奖励值为$a$——并以$(1-p)^{N-1}$的概率出现，因为所有的决定都是独立的。盖伊和别人接近卡罗尔的任一束行动产生（c），其奖励值为0。因此，接近卡罗尔的预期值为$a(1-p)^{N-1}$。

• 当中盖伊不跟卡罗尔交谈的任何一束行动有值$b$，无论任何其他人怎么做。因此不和卡罗尔接近的期望值显然是$b$。

当这两个值相等时：

$$ a(1-p)^{N-1} = b, $$

盖伊不能确定做什么。解出$p$他得到

$$ p ^ { * } = 1 - \left( \frac { b } { a } \right) ^ { \frac { 1 } { N - 1 } }. $$

为$a > b$, 数$p^*$位于$0$与$1$之间，因而定义了一个合适的概率值。

算算成功的机会          

结论是任何人都应以概率$p^*$接近卡罗尔。当卡罗尔有$N$个相同的崇拜者时，这是对卡罗尔窘境的一个合理解。

因为$a > b$，当$N$不太大时，有可能$a > 2^{N-1} b$，这时$p^* > 1/2$，而盖伊有可能和卡罗尔交谈。然而，只要$N$足够大，$2^{N-1} > a/b$，没人接近卡罗尔的可能性就更大。事实上，当$N$变大时$p^*$趋向于$0$，而无论卡罗尔会多么惊叹。

因此，以下含蓄的机制可能会抑制盖伊接近卡罗尔：(1)卡罗尔的崇拜者越多，盖伊越有可能不和她交谈；(2)卡罗尔越吸引人，许多人考虑这个问题的可能性越大。从而导致盖伊相信，$N$大且相应的$p^*$小。因此，他很可能会选择蜷缩着，而不是冒险被卡罗尔拒绝。

卡罗尔综合症

卡罗尔关于把男人吓跑了的感觉的重要之处不是概率$p^*$，而是没有人跟她说话的概率$p_{none}$。因为所有人独立行事，

$$p _ { none } = \left( 1 - p ^ { * } \right) ^ { N } = \left( \frac { b } { a } \right) ^ { \frac { N } { N - 1 } }.$$

在此表达式中，当$N$增加时$p_{none}$也增加。新的潜在约会的进入加大卡罗尔独自相处的概率。

此外，当$N$变大时，$p_{none}$不消失而趋向于$b/a$。因此$p_{none}$总介于两数之间：

$$\left( \frac { b } { a } \right) ^ { 2 } \frac { 1 } { 2 }$$

因此，只要$a$不比$b$大许多，都有$p_{none} > 1/2$，其可能性是没有人会跟卡罗尔交谈。

这不管人数多寡都对，但人数越多，结果对卡罗尔就越糟。

卡罗尔关于吓跑男人的知觉绝不是一种错觉。根据上述的数学，她关于那些家伙们为何和她保持距离的思考可能是有道理的。 这不是运气不好的问题，而是一个互动合理性的连带效应。一种矛盾的后果是，卡罗尔的吸引力充当了排斥剂。这令人惊讶的现象——我们称之为卡罗尔综合症——是社交心理相互作用的一个副产品。

实际情况下的卡罗尔综合症

吓人的证据

卡罗尔综合症不是一个理论上的人工制品。尽管它可能看上去惊人，经常有漂亮的女士或男士报告这种综合症。网上可以搜到一些臭名昭著的例子。2008年2月周日时报的一次采访中说美国女演员Uma Thurman曾经抱怨“男人很少与她搭讪”。她把没有男人的坏运气视为一种终身憾事。同样的事也发生在美国明星歌手Jessica Simpson身上。在2006年9月的一次电视脱口秀节目中她声称“我把男人吓跑了”。2009年3月The Telegraph online中报道的另一个例子是19岁的英国女演员Emma Watson。她说她主演的哈利·波特传奇故事中的角色，使她享誉世界的同时，也“把男孩吓跑了”。

因此，卡罗尔的运气是不奇怪的，但它明显地不同于像Thurman这样的名人。数学可以解释为什么。Thurman女士的崇拜者数量巨大，因此，上限值$b/a$是$p_{none}$的一个很好的近似，这多少减轻了一些她的痛苦。对卡罗尔而言$N$没有那么大，但比值$b/a$——故而反过来$p_{none}$——与$1$靠近。这就是造成卡罗尔综合症的原因。