从哥德巴赫说开去
很多中国人是从徐迟的一篇报告文学中知道哥德巴赫这个名字的。在这篇文章里，徐迟讲述了数学家陈景润刻苦钻研，终于在哥德巴赫猜想研究上取得重大突破的真实故事。文章最初刊登在《人民文学》杂志1978年第1期上，标题就是“哥德巴赫猜想”，《人民日报》和《光明日报》随即转载，一时间传遍全国。
从那以后，人们对于陈景润的故事津津乐道，也常用“哥德巴赫猜想”来形容极其困难的问题或难以企及的目标。然而，大家对于哥德巴赫本人却了解甚少。本文我们就来说说哥德巴赫和他那个时代的一些事情。
小城故事
哥德巴赫（Christian Goldbach），1690年3月18日出生于普鲁士的哥尼斯堡，生长在一个官员家庭。
普鲁士是德意志的一个邦国。当时的德意志虽然称为“德意志神圣罗马帝国”，但诸侯争霸，邦国林立，皇帝的控制力有限。而且皇帝不是世袭的，是由一些诸侯选举出德意志国王，经罗马教皇加冕后才成为皇帝，那些有资格选举国王的诸侯称为“选帝侯”。
勃兰登堡选帝侯兼普鲁士公爵腓特烈三世因积极支持皇帝对法国宣战，被授予普鲁士国王称号。1701年，他在哥尼斯堡加冕为王，开启了普鲁士王国的基业。此后，普鲁士迅速崛起，通过战争和政治手段，终于在1871年，由国王威廉一世和“铁血宰相”俾斯麦完成了德意志的统一。
哥尼斯堡（Konigsberg）是一座历史名城，德国的很多重要历史事件在这里发生。第二次世界大战德国战败后，根据“波茨坦协定”，哥尼斯堡划归苏联，改名为加里宁格勒。加里宁去世前是苏联名义上的国家首脑，也是一位教育家，他曾说过：“很多教师常常忘记他们应该是教育家，而教育家也就是人类灵魂的工程师”，后来人们就经常说“教师是人类灵魂的工程师”。
在秀丽的小城哥尼斯堡，普雷格尔河贯穿全城，给城市带来了灵气。这条河有两条支流，它们环绕着一个小岛，在这两条支流上有七座桥，城里的居民常到这里散步，久而久之，人们就有了这样一个问题：能不能既不重复又不遗漏地一次走遍这七座桥？这就是有名的“哥尼斯堡七桥问题”。
哥尼斯堡七桥 在俄国圣彼得堡的大数学家欧拉知道这个问题之后，就进行了研究。他将陆地和小岛用点表示，而将七座桥用线表示，得到了一个用七条线组成的图形，于是，七桥问题就变成了能否一笔画出这个图形的问题。1736年，欧拉用严格的数学方法证明了这种画法是不存在的，就是说不可能既不重复又不遗漏地一次走遍这七座桥。对于类似的更一般的图形，欧拉也找到了一个简便的原则，可以判定它能否一笔画出，这就是“一笔画定理”。欧拉关于哥尼斯堡七桥问题的研究，推动了一个重要的数学分支的产生，这个分支叫做拓扑学。
哥尼斯堡七桥的抽象图 哥德巴赫20岁大学毕业，和大多数这个年龄的青年人一样，渴望出去看看外面的世界。加上家庭状况不错，于是，1710年之后，哥德巴赫就云游欧洲，结识了不少当时欧洲的数学名家。
外面的世界
哥德巴赫首先去莱比锡，拜访了大数学家莱布尼茨。当时莱比锡在萨克森选帝侯腓特烈•奥古斯特一世的治下，不属于普鲁士王国，因此，从哥尼斯堡到莱比锡就算是出国了。
莱布尼茨(1646-1716)与牛顿相互独立地发明了微积分
莱布尼茨还发明了二进位制，就是用0和1来表出所有的正整数，这和我们平常用的十进位制不同。电子计算机都是用二进位制的，这是因为电流的状态只有两种——断电和通电，它们分别对应于0和1。莱布尼茨对于中国北宋时期邵雍的“伏羲六十四卦图”很感兴趣，他用二进位制合理地解释了“六十四卦图”。此后，在世界范围内兴起了对于易学的研究，人们对于中国的这门古老学问兴趣日增。邵雍是我国北宋时期的哲学家，一代易学大师，他对于天地运化、阴阳消长有着独到的见解。虽然现在很少有人知道邵雍了，但他说过的“一年之计在于春，一天之计在于晨，一生之计在于勤”成了很多人的座右铭。
作为一位哲学家，莱布尼茨在哲学史上享有崇高的地位，他的科学思想与哲学思想往往是相互联系和促进的。莱布尼茨开创了德国的自然哲学，他的学说和其弟子沃尔夫的理论相结合，形成了莱布尼茨-沃尔夫理论体系，极大地影响了德国哲学的发展，尤其是影响了康德、黑格尔等人的哲学思想。
此外，莱布尼茨在数理逻辑、物理、化学、光学、地质学和生物学等诸多方面都有杰出贡献，无疑是他那个时代最为博学的人。英国哲学家、数学家和逻辑学家罗素在他的《西方哲学史》一书中，称莱布尼茨是“一个千古绝伦的大智者”。
在现实生活中，莱布尼茨是积极入世的。他大力推动柏林科学院的建立，并于1700年出任首任院长。1711年至1716年期间，俄国的彼得大帝几次听取莱布尼茨关于建立科学院的建议，并授予他带薪的数学和科学宫廷顾问头衔。据说莱布尼茨还写信给中国清朝的康熙皇帝，建议成立北京科学院，可惜未被采纳。
莱布尼茨晚年主要效力于汉诺威王室，然而新上台的选帝侯乔治•路德维希对他不太感兴趣，使得莱布尼茨感到政治上有些失意。另外，莱布尼茨终生未婚，不教书，也从不进教堂，行为举止和当时上流社会的规范不太合拍，因而门庭有些冷落。
哥德巴赫的到来，使莱布尼茨感到很高兴，对于这位朝气蓬勃的晚辈，莱布尼茨少不了给予指点和教诲。莱布尼茨广博的学识和高屋建瓴的观点，也使哥德巴赫终身受益。
接着，哥德巴赫又到伦敦访问棣莫弗。棣莫弗（De Moivre，1667-1754）是法国人，因躲避宗教迫害移居英国，以后就一直生活在英国
棣莫弗最擅长的研究领域是概率论，并对此做出了很大的贡献。牛顿对棣莫弗的著作《机会的学说》很欣赏，当学生向他请教概率论问题时，牛顿常常介绍他们去找棣莫弗，他认为棣莫弗在这方面比他强得多。
概率论是研究偶然性（或者随机现象）的数学分支，它的起源与掷骰子赌博的输赢问题有关。16世纪意大利文艺复兴时期的学者卡尔达诺对此就有研究，并著有《论赌博游戏》一书。17世纪中叶，法国宫廷贵族中盛行掷骰子游戏，他们常就一些输赢概率的问题请教数学家帕斯卡尔。帕斯卡尔在与费尔马的通信里，常常讨论这类问题。当时旅居巴黎的荷兰数学家惠更斯，知道这些问题后也很感兴趣，还为此写了专著。后人认为，帕斯卡尔、费尔马和惠更斯是概率论的创始人。
第一个对概率论做出重大理论贡献的是雅各布•伯努利，他证明了“大数定律”，棣莫弗将它精细化为“中心极限定理”。这类定理的大致意思是说：如果只做一次试验，某种现象的出现会是偶然的；但如果是做大量重复试验的话，那么这种现象出现的次数在总试验次数中所占的比例相当稳定，呈现出一种必然性。正如棣莫弗在《机会的学说》一书中所指出的那样：尽管机会具有不规则性，但由于机会无限多，随着时间的推移，不规则性与秩序相比将显得微不足道。
棣莫弗积极推动概率论在社会科学中的应用，他还参与研究保险业中的实际问题并写有专著，为保险业合理处理有关问题提供了依据，书中的一些内容被后人奉为经典。复数理论中有棣莫弗定理，它的表述是这样的：
$$(\cos\theta + i\sin\theta)^n=\cos n\theta+i\sin n\theta$$
其中 $i=\sqrt{−1}$，$n$ 是正整数。这个定理的一般形式和完整证明，后来由欧拉给出。我们取 $n=2$,得到
$$\cos^2\theta-\sin^2\theta+2i\sin\theta\cos\theta=\cos 2\theta+2\sin 2\theta$$
比较等式两边的实数部分和虚数部分，可得
$$\cos 2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta, \sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta$$
这是三角学中关于余弦函数和正弦函数的倍角公式。如果取 $n=3,4,\cdots,$ 可以得到更复杂的倍角公式。有了棣莫弗公式，只要通过简单的推导，我们就可以得到这些倍角公式，而不必去死记硬背它们。
在那个时代，数学的分科远没有现在这样细，数学家的兴趣和知识面都比较广泛。哥德巴赫对于理论研究和实际问题都很有兴趣，据记载，他还和炮兵司令一起研究过弹道学的问题，因而，哥德巴赫会和棣莫弗谈得来。
后来，哥德巴赫去了欧洲其它一些城市，分别见到伯努利家族的几位成员，其中丹尼尔•伯努利和哥德巴赫关系密切，他们之间有比较频繁的通信，一直持续到了1730年。
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| 闻名于世的伯努利家族在风景如画的瑞士繁衍生息 | |
16世纪末，伯努利家族的祖辈为躲避宗教迫害，从比利时的安特卫普辗转来到瑞士的巴塞尔，在那里繁衍生息。这个家族以经商为传统，也有个别人行医，似乎都和数学沾不上边。但在一个世纪之后，却在三代人中出现了八位数学家，其中几位有相当大的成就。提起伯努利家族，人们在谈论他们的数学的同时，还会讨论关于天才与遗传之类的话题，这些话题往往比数学更吸引人。
上面说到的雅各布•伯努利（Jakob Bernoulli,1654-1705）是这个家族的第一位数学家，他除了在概率论上做出重大贡献外，还在解析几何、无穷级数、微分方程和变分法等诸多方面均有杰出的工作，数论里重要的“伯努利数”和“伯努利多项式”是他的创造。解析几何中的“伯努利双纽线”是雅各布提出来的，但他更钟爱对数螺线，这种曲线经过多种几何变换，依旧还是它本身，性质非常奇妙。在雅各布的墓碑上，就刻有对数螺线，并有这样的铭文——“纵然变化，依旧故我”，这也许寓意着来世还当数学家。
因为雅各布去世较早，所以哥德巴赫没有机会向他请教。但雅各布还有两个弟弟，尼古拉•伯努利一世（Nicolaus Bernoulli I,1662-1716）和约翰•伯努利（JohannBernoulli,1667-1748），也都是出色的数学家，其中约翰比雅各布的研究范围更广泛且更加多产。
约翰不仅在数学上作了大量的工作，他还解释了力学中的虚位移原理，写了关于潮汐和航行以及行星轨道的数学原理的文章，提出了光学中的焦散面理论等。他的最流行的成果，当属大学微积分教程里总要讲到的“洛必塔法则”。当时，约翰的学生洛必塔编写了一本有影响的书《无穷小分析》，把约翰的这个结果收了进去，后世就误称为“洛必塔法则”。这里面还有一段故事，在《数学文化》创刊号中，万精油先生在“数学史上的一桩错案”一文里有详细的讲述，说起来都是银子惹的祸。
约翰有三个儿子，都是优秀的数学家，其中丹尼尔•伯努利（Daniel Bernoulli,1700-1782）被认为是伯努利家族中最杰出的。此外，约翰还培养出了一位非凡的学生欧拉，这是很值得他骄傲的。
从左至右：雅各布•伯努利，约翰•伯努利，丹尼尔•伯努利 丹尼尔从小受到家庭的熏陶，在研究风格上继承了约翰的传统。他一生著述丰富，还因天文学、地球引力、潮汐、磁学、船舶航行的稳定性以及振动理论等多方面的研究成果，先后十多次获得巴黎科学院的奖赏，他的获奖次数可以和欧拉相比，因而具有了广泛的知名度。
据记载，丹尼尔聪慧过人，富有想象力。现存画像上的丹尼尔，明目慧瞳，俊朗飘逸，一表人才。丹尼尔曾被人误认为是个公子哥儿，因而流传下来了一段故事。究其原因，大概是在公众的眼里，大学者都得像老树般的苍劲。
伯努利家族后面的成员在数学上不那么突出，这会让人以为这个家族的基因有所衰退。其实不然，有人根据家系查询过，这个家族后来至少有120多位成员，在神学、法学、医学、文学、艺术、管理和科学的其它门类中取得了成功，有的还卓有成就，伯努利家族的香火相当旺盛。
欧洲的旅行，使哥德巴赫不断开阔眼界，增长学识，还在学术圈里交了不少朋友，收获颇丰。当然，他难免有一点思乡，想念故乡的亲人朋友和美景美食。
说起德国料理，我们能想到的无非是香肠和马铃薯（俗称土豆）之类，可称道的不多。但有一样东西还是值得推荐的，就是德国咸猪手。先将猪的前蹄用百里香、月桂叶、胡椒粉和精盐腌制，再用笼屉去蒸，然后经过炉火的长时间烘烤，出炉后的咸猪手，表皮金黄诱人、酥香可口，里面色泽枣红、清香弹牙。佐以德国特有的甘蓝泡菜，酸度适中，甜爽去腻。配酒最好是全麦啤酒，口味醇厚，麦香浓郁，与咸猪手十分相宜。餐后再来一块美味的黑森林蛋糕，香浓的巧克力味道漫溢口中，很难用文字去描述了。
新奇的土地
1724年，哥德巴赫回到了故乡哥尼斯堡，又见到亲人和朋友，自然是十分的高兴。空闲时到普雷格尔河畔走走，呼吸清新的空气，看看熟悉的景色，很快就从旅途的疲惫中恢复过来了。
此时的哥德巴赫已经34岁，过了而立之年，该看的人都看了，该见的世面也见过了，是到好好规划一下未来的时候了。
事也凑巧，就在哥德巴赫回家后不久，正好有两位学者路过哥尼斯堡，他们是去圣彼得堡参与圣彼得堡科学院筹建工作的。在与他们的言谈中，哥德巴赫了解到一些基本情况，感觉正对心思。再说他从未去过俄罗斯，那里对他来讲是一个新奇的地方。于是，哥德巴赫精心准备了一份学识证明人名单，在第二年圣彼得堡科学院正式成立之后，就将申请材料寄了过去。
彼得大帝几次听取莱布尼茨的建议之后，终于在1724年1月颁布谕旨，决定成立圣彼得堡科学院。彼得大帝拟定了科学院章程，其中强调，科学院的理论研究应对与国家实际利益密切相关的问题做出贡献。章程中的重要一条是，邀请国外的一些知名学者到科学院工作，以带动俄罗斯科学的发展。彼得大帝于1725年2月逝世，圣彼得堡科学院的正式建立是由他的妻子、继任沙皇叶卡捷琳娜一世完成的。
沙皇”是俄国皇帝的称谓，俄语中的“沙”是拉丁语“凯撒”的转音，“沙皇”的中文译名是采取一半音译、一半意译的方式。
彼得一世（1672-1725）是俄国罗曼诺夫王朝的第四代沙皇，被公认为是俄国历史上最杰出的皇帝。他一生励精图治，锐意改革，把俄国从落后的封建国家变成了欧洲的一个强国。1721年，在俄国打败北方强国瑞典之后，俄国枢密院授予彼得一世“全俄罗斯皇帝”和“祖国之父”称号，后世尊称他为彼得大帝。
彼得大帝(1672-1725） 俄国大诗人普希金这样评述彼得大帝：他“时而是学者，时而是英雄，时而是航海家，时而是木匠”。不仅如此，彼得还身体力行，努力学习西欧的生活方式，革除俄罗斯的传统陋习。例如，他明文规定，要用德国或法国式服装，代替俄罗斯传统不灵便的服装；他亲手剪掉了一些贵族的胡须，并对蓄胡者课以重税；他经常举办法国式的大舞会，亲自做示范表演；他还指示编写《青年守则》，用以教导贵族子弟的行为规范。经过几十年的教化，俄国上流社会的礼仪风范就与西欧没什么差别了。
彼得大帝的改革，也遇到了很大的阻力，有时充满了血雨腥风。就在他随考察团出国期间，国内发生了近卫军兵变，彼得立即匆匆赶回，镇压了兵变。俄国著名画家苏里科夫，在他的历史画“近卫军临刑的早晨”里反映了这一事件。画中的背景是莫斯科克里姆林宫外墙和瓦西里大教堂的圆屋顶，近景挤满杂乱的人群，是悲哀的近卫军和痛哭的家属，远处身穿海蓝色军装的彼得大帝骑在马上，他的背后是森严的行刑队和一排绞刑架。画面的气氛相当凝重，充满悲剧色彩。
彼得大帝的儿子阿列克谢也反对改革，还企图举兵篡位，被彼得送进监狱，死在那里。另外，4岁的王储也早早夭折。彼得因而忧郁成疾，于1725年2月去世，死时不到53岁。
叶卡捷琳娜一世(1684-1727） 叶卡捷琳娜一世（1725-1727在位）文化水平不高，执政能力有限，朝廷大事基本上交给她的老东家缅希科夫打理。虽然叶卡捷琳娜一世政绩平平，但她对于执行彼得大帝的遗愿确是全心全意的，圣彼得堡科学院的正式建立是她政治生涯中最光辉的一笔。圣彼得堡科学院是苏联科学院和俄罗斯科学院的前身，它的建立开启了俄罗斯近300年的科学传统，意义非常深远。
哥德巴赫向圣彼得堡科学院递交申请之后，小费了一点周折，不久便被聘为科学院的数学教授和记录秘书。1725年，哥德巴赫踏上俄罗斯这片新奇的土地，从此他的命运就和俄罗斯紧密地联系在一起了。
哥德巴赫当时的年薪为580卢布，合月薪50卢布。上图是1733年安娜女沙皇时期的1卢布银币，正面是女皇头像，反面是俄罗斯国徽双头鹰图案，银币重25.6克，这和中华民国初期1银元的分量差不多，叶卡捷琳娜一世时期的卢布可能大致相同。哥德巴赫到俄国后，生活应该是比较宽裕的，在学术研究之余，还做点行政工作。
1733年安娜女沙皇时期的1卢布银币 在牛顿和莱布尼茨发明了微积分之后，伯努利家族和欧拉等一些数学家又进一步推动微积分理论和技巧的发展，从中产生出了像无穷级数、常微分方程、偏微分方程、微分几何和变分法等一些重要的数学分支，这些分支合起来，形成一个被称为“分析”的数学研究领域，这个领域与几何、代数等领域一起，构成了理论数学的核心部分。对于当时正在蓬勃发展的这些数学分支，哥德巴赫都很关注和感兴趣，他自己也写过若干篇关于无穷级数和微分方程的论文，并在圣彼得堡科学院宣读。虽然这些论文有一定水平，但确实没有传世价值，后来也就被人们遗忘了。
圣彼得堡（SaintPetersburg）是彼得大帝于1703年下令修建的，它的名字来源于耶稣的弟子圣徒彼得，1924年改名为列宁格勒，1991年苏联解体后，经市民投票，恢复了圣彼得堡的原名。
彼得堡位于波罗的海芬兰湾的东岸，涅瓦河的河口，当初这里只是一片沼泽，彼得大帝先在这里建军事要塞，后扩建为城市。1712年，彼得大帝将首都从莫斯科迁到圣彼得堡。迁都的目的，是为了更顺利地推行他的改革政策，也是为俄国争取出海口，沟通与西欧的海上联系。当时，圣彼得堡紧挨着瑞典的领土（如今这块地方属于芬兰），瑞典人经过1704年和1705年两次失败的进攻之后，未再试图夺取圣彼得堡。
涅瓦河的流量排在伏尔加河与多瑙河之后，是欧洲第三大河，它经过圣彼得堡，流入芬兰湾。在圣彼得堡，涅瓦河分支遍布，河面上有几百座桥梁，把岛屿和陆地相连，自然风光十分秀丽，因此这座城市也有“北方威尼斯”之称。俄国著名诗人丘特切夫的“在涅瓦河上”一诗中，有这样的句子：
在涅瓦河的轻波间 夜晚的星把自己投落， 爱情又把自己神秘的小舟 寄托给任性的波浪。 …… …… 涅瓦河啊，你的波涛 广阔无限，柔和而美丽， 请以你自由的空间 荫护这小舟的秘密！
圣彼得堡还是世界上少数具有白夜的城市，白夜时漫步在涅瓦河畔，遥望蔚蓝天空的北极光，感觉在梦幻中一样。
对于建造圣彼得堡，彼得大帝花费了很大的心血。他从法国、意大利等国请来了一大批著名建筑师，这些人设计出很多经典建筑，为俄罗斯带来了巴洛克风格。在17世纪初至18世纪上半叶，巴洛克是流行于欧洲的主要艺术风格，它的特点是装饰繁复、富丽堂皇、极具动感。彼得宫（也称为“夏宫”）是巴洛克建筑风格的一个典范，整个宫殿豪华壮丽，装饰精巧，被誉为“俄罗斯的凡尔赛宫”。宫殿下的大阶梯由37座金色雕像、64座喷泉和许多雕塑环绕点缀，一条水渠将大阶梯与波罗的海相连。圣彼得堡被认为是欧洲最美丽的城市之一，它的建成是彼得大帝的一个伟大功绩。
丹尼尔•伯努利也于1725年来到了圣彼得堡科学院，哥德巴赫就有了共同研究的伙伴，他们时常徜徉在涅瓦河畔，切磋讨论数学问题，蓝天之下的花园、宫殿、教堂、喷泉和雕塑，让人心旷神怡。
政治风云
轻松的日子过得快，转眼就过去了一年多。比起他的数学才能来，哥德巴赫与人打交道的能力要更突出一些，因而，在1726年，圣彼得堡科学院院长就向朝廷推荐哥德巴赫，想让他担任彼得•阿列克谢耶维奇•罗曼诺夫（1715-1730）的家庭教师。
小彼得是阿列克谢的独生子，也就是彼得大帝的孙子。他此时11岁，是罗曼诺夫王朝唯一的男性继承人，因此对于他的影响是一件很重要的事情。当时把持朝政的缅希科夫自然不会放过这样的机会，他指派他的亲信担任小彼得的家庭教师，因而科学院的推荐没有成功。
提到缅希科夫（1673-1729），可以说是一位奇才。他少年时在莫斯科街头以卖馅饼为生，偶遇彼得一世，他的机灵乖巧很讨彼得的喜欢，因而被彼得收作了勤务兵。缅希科夫随彼得大帝东征西战，由于他的忠诚而深得彼得的信任，因此得以步步高升。虽然缅希科夫没受过多少教育，但却具有罕见的军事能力和行政才干。他曾在多次著名战役中指挥军队，取得辉煌胜利，后来成为第一位俄国大元帅。缅希科夫负责过圣彼得堡的工程建设，他还创办了砖瓦厂、木材加工厂、盐场、渔场和酿酒厂等诸多企业。
1727年5月，叶卡捷琳娜一世去世，12岁的小彼得继位，称彼得二世（1727-1730在位）。此时的朝政大权仍由缅希科夫把持，但他对于金钱和权力的过分贪婪，招致了很多贵族的极度不满。贵族们策动近卫军，逮捕了缅希科夫，将他全家流放到西伯利亚的偏僻小镇别留佐夫。两年后，缅希科夫在那里郁闷地死去。苏里科夫的历史画“缅希科夫在别留佐夫镇”，描绘了在西伯利亚的小木屋里，落寞的政治家在烛光下，和儿女们一起读圣经的场面。苏里科夫的“近卫军临刑的早晨”、“缅希科夫在别留佐夫镇”和“女贵族莫洛卓娃”，被称为他的历史画三部曲，都是令人震撼的杰作。
缅希科夫一倒台，他指派的家庭教师只得走人。1727年底，哥德巴赫再次被推荐，当上了彼得二世的家庭教师。这样，哥德巴赫的宁静日子就已成过去，他也要经常关心俄国的政治风云了。
就在叶卡捷琳娜一世去世的那一天，欧拉来到了圣彼得堡。此时的欧拉是一位20岁的青年，他是约翰•伯努利的学生，也是约翰的儿子丹尼尔的好朋友。丹尼尔得知圣彼得堡科学院医学部可能还有职位，就马上写信告诉了欧拉。于是，欧拉一面与科学院联系，一面突击学习生理学，并在巴塞尔大学旁听了医学讲座。接到了去圣彼得堡的邀请后，欧拉马上动身，谁知正赶上女沙皇去世，情况有变，医学部的职位没了着落。欧拉感到很绝望，束手无策，幸亏有丹尼尔等人的帮助，欧拉才进了数学部，给丹尼尔当助手。这样，欧拉有了固定的职位和稳定的收入，就能安下心来做数学研究了。
欧拉(1707-1783)，最伟大的数学家之一 欧拉遵从父亲的意见，进了巴塞尔大学，学习神学和希伯来语等。然而他在数学课上的卓越表现引起了约翰.伯努利的注意，于是约翰慷慨地每周给欧拉单独辅导一次，在此过程中欧拉也和丹尼尔有了交往，彼此成了要好的朋友。欧拉17岁取得硕士学位后，约翰和丹尼尔说服欧拉的父亲，没有让欧拉去作牧师，这实在是数学界的一件幸事。
在数学的历史上，人们常常将欧拉与阿基米德、牛顿、高斯并列为最伟大的数学家。在欧拉到达圣彼得堡之前的两个月，牛顿在伦敦逝世。按照法国启蒙运动思想家伏尔泰所说，英国的大人物们争相扛抬牛顿的灵柩，英国人悼念牛顿就像悼念一位造福于民的国王。诗人亚历山大•波普在牛顿的墓志铭上这样写道：“自然和自然定律隐藏在茫茫黑夜之中。上帝说：‘让牛顿出世！’于是一切都豁然明朗。”牛顿时代一过去，欧拉时代马上来临。伟大的无产阶级革命导师马克思在“1848年至1850年的法兰西阶级斗争”一文中，援引18世纪法国唯物主义哲学家爱尔维修的话说，“每一个社会时代都需要有自己的伟大人物，如果没有这样的人物，它就要创造出这样的人物来。”按照唯物主义历史观，欧拉的出现具有某种历史的必然性。
由于丹尼尔的关系，哥德巴赫和欧拉很快就熟悉起来了，涅瓦河畔散步又多了一个伙伴。哥德巴赫比欧拉年长17岁，在那个时代几乎是一代人的差距，哥德巴赫欣赏欧拉的聪明和勤奋，欧拉钦佩哥德巴赫的见多识广，他们之间是一种忘年之交。
彼得二世上台后不久，缅希科夫就被流放到了西伯利亚，朝政由一些保守派势力把持。1728年2月初，彼得二世将朝廷从圣彼得堡迁回莫斯科，这是保守派卷土重来的一个标志。2月底，彼得二世在克里姆林宫举行加冕大典。此时的圣彼得堡只是名义上的首都，科学院仍在运行，但多少有些冷清。
哥德巴赫作为彼得二世的家庭教师，也跟着来到了莫斯科。加冕后的彼得二世，还只是个13岁的少年，十分贪玩，不爱学习，也没有能力管理朝政。彼得二世经常带着比他大6岁的姑姑伊丽莎白和一些青年贵族外出郊游和打猎，读书只是一个点缀。莫斯科郊外有大片的白桦林，在湛蓝的天空下骑马飞驰，是他们十分开心的事情。
据记载，哥德巴赫还教过彼得二世的一个姑姑，应该就是伊丽莎白，因为彼得二世的姑姑安娜一直在她自己的属地，别的姑姑都远嫁到了国外。哥德巴赫的教学任务不重，所以他有时间思考数学，并且与丹尼尔和欧拉通信讨论问题。哥德巴赫与欧拉的通信从1729年开始，一直持续到1763年，就是哥德巴赫去世的前一年。
由于彼得二世年纪小，又无得力的大臣辅佐，朝政比较混乱。这种情况持续了两年多，1730年初，彼得二世得了天花，这在当时是不治之症，因而他很快就病逝了。彼得二世没有后代，这样罗曼诺夫家族的男性继承人就断绝了。
最高秘密委员会随即举行会议，经过种种考虑，最后选定彼得大帝的侄女安娜•伊凡诺夫娜（1693-1740）作为新沙皇。此时安娜正在库尔兰做公爵，她统治的库尔兰公国位于现在拉脱维亚的西部，面积很小，但其战略位置却相当重要。当年彼得大帝将安娜嫁给了库尔兰的威廉公爵，婚后不久威廉病逝。安娜继任公爵后，一直住在库尔兰，对于俄罗斯发生的重大事情，安娜很少知道。
安娜突然接到让她当沙皇的通知后，顿感喜从天降。最高秘密委员会还让特使带去一份协议书，里面对沙皇的权利作了种种限制，使得沙皇形同虚设，但安娜照签不误。然而，安娜到了莫斯科登上皇位后，立即联络一些贵族大臣，策动近卫军，逼迫最高秘密委员会放弃了已签订的协议，从此安娜女皇（1730-1740在位）大权独揽。
随后，安娜对莫斯科的贵族们进行了大清洗，因为担心有人报复，1732年，安娜又将朝廷迁回到圣彼得堡。安娜主要依靠她的情夫比龙来管理朝政，比龙是生长在库尔兰的德国人。
瑞士的巴塞尔也是欧拉的出生地 在这期间，哥德巴赫的朋友圈里有些变化。丹尼尔由于不太适应圣彼得堡的严寒气候等原因，于1733年回到了温暖的家乡巴塞尔，欧拉接替了丹尼尔的位置。在巴塞尔，丹尼尔先是担任解剖学和植物学教授，之后成为生理学教授，后来又成为物理学教授，他的兴趣更集中在数学的应用方面。丹尼尔回到巴塞尔后，和欧拉进行了长达40多年的学术通信。在通信中，丹尼尔向欧拉提供重要的科学信息，而欧拉则用杰出的分析才能和推理能力，给予迅速的帮助。而哥德巴赫与丹尼尔之间则没有进行类似的学术通信，其原因是哥德巴赫把主要精力用在了管理工作和社会活动上，余下的时间思考一些比较纯粹的数学理论问题，和丹尼尔的兴趣相去较远。
大师风采
当时接替丹尼尔的欧拉只有26岁，却已初显大师风采，他在数学的理论和应用两方面都做出了很大贡献。在大学微积分教程中，我们常会看到欧拉变换、欧拉公式和欧拉方程等。欧拉引进的一些记号，如用 $f(x)$ 表示函数，$\sum$ 表示求和，$i$ 表示虚数 $\sqrt{-1}$ 等，现在一直沿用。欧拉证明了，极限
$$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\big(1+\frac{1}{n}\big)^n$$
世界各国发行的纪念欧拉的邮票与钱币 存在，并将它记作 $e$，这个数在分析及其应用中都是很重要的。以 $e$ 为底的对数称为自然对数，在理论研究中经常用到。
欧拉还将 $e$ 的复数次幂与三角函数联系起来，建立了欧拉公式
$$e^{ix}=\cos{x}+\sin{x}$$
其中 $i=\sqrt{-1}$，$x$ 是实数。这个公式是棣莫弗定理的一个发展，由它可得
$$ e^{i(x+y)}=\cos{(x+y)}+\sin{(x+y)}$$
以及
$$\begin{array}{} e^{i(x+y)}&=&e^{ix}\cdot e^{iy}\\ &=&(\cos x+\sin x)(\cos y+\sin y)\\ &=&\cos x\cos y-\sin x\sin y\\ &&+i(\cos x\sin y+\sin x\cos y) \end{array}$$
比较两式的实数部分和虚数部分，得到
$$\cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y$$ $$\sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y$$
这就是三角学中的和差化积公式。
早在欧拉19岁的时候，他就以一篇研究船桅最佳布置问题的论文，参加巴黎科学院的有奖征文活动，获得了荣誉提名。从1730年代中期开始，欧拉以很大的精力来研究航海和船舶建造问题，这些问题对于俄国的海军建设是有现实意义的。后来，欧拉还根据这些积累的经验，写成两卷本的《航海学》出版，书中讲述了浮体平衡的一般理论以及如何将流体力学用于船舶建造。
由于航海学的需要，欧拉研究了太阳、月亮和地球在相互间的万有引力作用之下所产生的运动，特别是月亮的运动规律。欧拉提出了关于月亮运动的一种新理论，根据这种理论，天文学家制成了一张月亮运行表，它对于舰船导航很有价值。欧拉还写过许多关于彗星和行星运动的论著，在他临去世之前，仍在考虑天王星的轨道计算。此外，他常常为解决物理学、地理学、弹道学、保险业和人口统计学中的问题提供数学方法。总而言之，应用问题始终是欧拉研究数学理论的源泉和动力。
在接替了丹尼尔的位置之后，欧拉就打算在俄罗斯安家了，1733年冬天，他和一位瑞士画师的女儿结了婚。欧拉很享受婚后安逸的生活，灵感泉水般涌现，下笔如有神助，就像法国物理学家弗朗索瓦•阿拉戈所说，“欧拉计算时毫不费力，就像人在呼吸，或鹰在翱翔一样轻松。”从婚后第二年起，欧拉的13位子女陆续降生，可惜只活下来5位，其余都在幼年时夭折。欧拉很喜欢孩子，他常常是抱着一个婴儿写作他的论文，而大一点的孩子们在他周围玩耍嬉戏，欧拉在工作的同时尽享天伦之乐。
三大科学巨匠：欧拉、牛顿、爱因斯坦 虽然俄罗斯的政治风云时常变幻，但科学院里并没有科学家受到政治上的迫害。这主要是因为，俄国的统治阶层迫切需要科学家们来提高俄国的综合国力，而当时欧洲各国对于科学人才是处于一种开放和竞争的状态。欧拉得到的薪水和奖金，足够保障一大家子人过上富足的生活，另外还可以雇人来完成家务劳动，否则这么多家务做下来，别说像鹰一样翱翔，能赶上乌龟就很欣慰了。欧拉后来也说过：“我和所有其他有幸在俄罗斯帝国科学院工作过一段时间的人都不能不承认，我们应把所获得的一切和所掌握的一切归功于我们在那儿拥有的有利条件。”他说的条件既包括学术氛围，也包括生活条件。
1740年10月，安娜女皇去世。她生前指定她外甥女的儿子伊凡继承皇位，称伊凡六世（1740-1741在位），由比龙摄政。这时的伊凡六世只是两个月大的婴儿，他的父亲是不伦瑞克公爵，不伦瑞克是德意志的一个小邦国。伊凡六世上台后，不伦瑞克的贵族们纷纷涌向俄罗斯，争先恐后地占据了朝廷中的重要位置。本来一个比龙已经够让俄国人烦的了，现在又来了一帮不伦瑞克人，俄国人的心情可想而知。此时，俄罗斯的贵族们强烈希望一个人能出来收拾局面，这个人就是伊丽莎白。
伊丽莎白•彼得罗芙娜（1709-1762）是彼得大帝和叶卡捷琳娜一世的小女儿，血统非常高贵，只可惜叶卡捷琳娜生她时还只是彼得大帝的情妇，因此，伊丽莎白是个私生女，名分不正，这对她的前程产生了很大的影响。
伊丽莎白自幼就长得花容月貌，被彼得大帝夫妇视为掌上明珠，叶卡捷琳娜一世曾想把她嫁给法国国王路易十五，因为名分不正遭到法国人的婉拒。由于没有合适的对象，伊丽莎白一直待字闺中，经常随彼得二世出外骑马打猎，也曾受教于哥德巴赫。彼得二世去世后，伊丽莎白还是因为名分不正，没做成沙皇。但1741年的政治形势大不相同，此时俄罗斯贵族急于驱除德国势力，也就顾不上再考虑伊丽莎白的名分问题了。
1741年年底的一天，伊丽莎白乘一架雪橇来到近卫军的营房前，她用富有感召力的声音召来了300多名士兵，跟她一起来到皇宫，轻松地将小沙皇请下皇位。就这样完成了皇位的更迭，整个过程一滴血没流，不愧是彼得大帝的女儿，玩政变如烹小鲜。
1740年5月，28岁的普鲁士新国王腓特烈二世（1740-1786在位）登基。他一上台，就锐意进行法律、经济、教育和军事等方面的改革，致力于建立廉洁高效的政府机构，自称是“国家的第一仆人”，同时积极强化军队建设。在腓特烈二世的统治下，普鲁士的领土充分扩张，经济迅速发展，国力日益昌盛，为德意志的最终统一打下了坚实基础，因此后世称他为腓特烈大帝。
柏林科学院成立于1700年，到了1740年已经有一些衰落的趋势。为了重振柏林科学院，腓特烈大帝热情地邀请欧拉去柏林工作。1741年7月，欧拉来到柏林，他一直在柏林呆了25年。欧拉并不是只会在书斋里写文章，他是一个有抱负、有管理才干的人，为了寻求更大的施展空间来到了柏林，而当时的俄国正处在乱糟糟的状态，让人对未来无法预料。
欧拉担任了柏林科学院的数学部主任，他还参与了其它许多行政事务，如提出人事安排，监督财务，管理天文台、图书馆和植物园，以及出版历书和地图等。欧拉鼎力协助科学院院长莫佩蒂，在恢复和发展柏林科学院的过程中发挥了重大作用。在莫佩蒂外出期间，由欧拉代理院长。1759年莫佩蒂逝世后，欧拉虽然未被正式任命为院长，但他一直是科学院的实际领导者。
欧拉还担任过普鲁士政府关于安全保险、退休金和抚恤金问题的顾问，并为腓特烈大帝了解火炮方面的最新成果，设计改造运河，也曾主管过普鲁士皇家别墅水利系统的一些设计工作。
在柏林期间，欧拉的研究工作依然非常活跃。他提出了理想流体模型，建立了流体运动的基本方程，从而奠定了流体动力学的基础。他和克莱罗（A.Clairaut）、达朗贝尔（J.R.D’Alembert）一起推进了月球和行星运动理论的研究。他与丹尼尔•伯努利和达朗贝尔之间关于弦振动问题的研讨，推动了数学物理方法的发展。他还出版过《光和色彩的新理论》一书，解释了一些光学现象。
欧拉所处的时代被称作是数学上的分析时代，他在其中做出了最杰出的贡献。约翰•伯努利在给欧拉的信中写道：“在我介绍高等分析的时候，它还是一个孩子，而你正在将它带大成人。”欧拉的《无穷小分析引论》、《微分学原理》和《积分学原理》是分析学的伟大著作，同时代的人称他是“分析的化身”，后来的一些分析学教程都是他著作的翻版和再翻版。
由于受18世纪启蒙运动思想的影响，腓特烈大帝实行一种叫做“开明专制”的统治。“开明专制”的核心思想是，自上而下地改革或取消已经过时的封建制度，君主应当公平公正，提倡宗教宽容、鼓励科学文化、保护艺术，并且为全民族造福。1750-1754年期间，腓特烈大帝邀请法国启蒙运动的旗手伏尔泰，到普鲁士来做宫廷教师，传播先进思想。
达朗贝尔(1717-1783),法国数学家 哲学一直是欧拉的弱项，对于那些天赋人权、自由平等、君主立宪、信仰自由等等新鲜说法，一时间还找不到感觉。虽然欧拉没有当牧师，但他一生中从未放弃过对于基督教加尔文教派的信仰。正是由于这种信仰，使得欧拉在困难的时候，内心会比较平静，但另一方面，对于新的社会思想也会产生一些抵触。
欧拉与腓特烈的那个圈子渐渐有些话不投机，加上欧拉和腓特烈在科学院的管理上又产生了意见分歧，所以欧拉开始萌生去意。后来，欧拉听说腓特烈想把科学院院长的位置授予达朗贝尔，而在圣彼得堡那边，叶卡捷琳娜二世女皇一直在向欧拉招手，于是欧拉就下定了走的决心。
达朗贝尔是著名的法国数学家、物理学家和天文学家，虽然他的科学成就无法与欧拉相比，但他担任过法国第一部《百科全书》的科学副主编，这部全书对于宣传启蒙运动思想起到了很重要的作用，因而达朗贝尔更对腓特烈大帝的心思。1764年，腓特烈大帝邀请达朗贝尔到柏林王宫住了3个月，想请他担任柏林科学院院长。达朗贝尔不想移居柏林，并且认为欧拉更适合院长之职。腓特烈出于他自己的一些考虑，始终没有任命欧拉为院长。
1766年，欧拉一家回到圣彼得堡，叶卡捷琳娜二世以皇室的规格接待了他们。女皇不但为他们提供一栋配有高档家具的房子，而且还派了一位御厨专门负责他们的膳食。每到欧拉家的晚餐时间，枝形吊灯散发着温暖的光芒，橡木长条桌上摆上纯银的餐具，餐盘里盛着黄油煎大马哈鱼、烤小牛排、龙虾色拉、奶油烤杂拌等各种食物，鱼子酱抹大列巴（俄式大面包），红菜汤飘着香气，凡是女皇能够吃到的，欧拉家都能吃得到。
欧拉对于圣彼得堡科学院的工作是驾轻就熟的，因为他在柏林期间，俄国政府还一直付给他年薪，欧拉也将他的部分论文寄到俄国发表，并且给予圣彼得堡科学院很多帮助和指点。
回到俄国之后，由于白内障的缘故，欧拉的左眼不久就失明了。而欧拉的右眼早在30多岁时就已经失明，这主要是工作劳累过度所致。在生命的最后十几年里，欧拉凭着非凡的记忆力和心算能力，在助手们的帮助下，依然完成了许多高质量的数学研究。在欧拉的身后，留下了极其丰富的科学遗产，法国数学家拉普拉斯说过：“读读欧拉，读读欧拉，他是我们大家的老师！”
香飘俄罗斯
让我们再回到1741年的俄国。伊丽莎白女皇（1741-1761在位）上台之后，彻底驱除了宫廷中的德国势力，并且恢复了彼得大帝的所有改革措施，以及被安娜女皇解散的枢密院，用法律的形式确定了贵族特权，建立起一个能够吸收各阶层精英的文官制度。伊丽莎白女皇可以说是俄国开明专制的始创者，自她以后，俄国的各项国家制度才真正地成熟起来。
少女与玫瑰（布歇，法国） 当时的法国，正流行一种称为“洛可可”的艺术风格，它的特点是纤巧、精美、幽雅、华丽。洛可可风格始于18世纪初，经国王路易十五的情妇蓬帕杜夫人大力倡导，在法国广为流行。后来的法国王后玛丽•安托瓦内特，也非常热衷于洛可可服装，这在2006年上映的影片《绝代艳后》中有充分的展现。洛可可服装有夸张的裙撑、打褶的花边、繁复的缀饰等，十分注重整体线条和修腰的效果，印花布料上多为草绿、粉红、鹅黄等亮丽的颜色，让人感受到春夏季节的阳光明媚。
法国画家弗朗索瓦•布歇是洛可可绘画大师，他的作品多取材于神话和贵族生活，代表作有“沐浴后的月神戴安娜”、“维纳斯的凯旋”和“蓬帕杜夫人肖像”等，表现了优雅的性感和奢华的贵族生活，反映了那个时代人们的审美趣味。
1730年，法国第一家香精香料公司诞生于南方小城格拉斯。这里生长着各种花卉，有金黄色的黄绒花，紫色的熏衣草，白色的茉莉花和缤纷的玫瑰，为香水生产提供了优质原料，不断出现的香水新产品为人们的生活带来了浪漫和激情。法国的香水与时装、葡萄酒并称为三大精品产业，是法国人的骄傲。
在伊丽莎白女皇的影响下，法兰西的时尚也在俄国流行，空气里似乎弥漫着优雅的芳香，到处都有和平与繁荣的气息。在圣彼得堡科学院过了多年平静生活的哥德巴赫，此时有点坐不住，又想要去政界了。人有时候很矛盾，热闹多了就想平静，而平静时间久了又想要热闹了。就性格而言，哥德巴赫是一个喜欢热闹的人。
1742年，凭借宽广的人脉和良好的工作业绩，哥德巴赫被调到俄国外交部工作，外交部设在莫斯科，哥德巴赫也就移居到了莫斯科。虽说此时德国人不受欢迎，但哥德巴赫是个例外。他在俄国工作多年，已经深深扎根在这片土地，况且还做过伊丽莎白的老师，俄国人早把他看成是自己人了，和那些来投机做官的德国人不是一类。
珍贵的通信
哥德巴赫与远在柏林的欧拉一直保持通信，讨论各种数学问题，其中关于数论问题的讨论影响最大。
数论是研究整数性质的数学分支，它的形成和发展经历了漫长的岁月。早先住在洞穴里的原始人就有自然数（或正整数）的概念，后来由于生活和生产的需要，在世界各地逐渐形成了一些独特的数字，例如，古巴比伦的楔形数字，古埃及的象形数字，中国的甲骨文数字，希腊的阿提卡数字等等。我们今天使用的阿拉伯数字实际上是由印度人发明的，12世纪时由阿拉伯人传入欧洲。而关于自然数的理论，至少可以追溯到古希腊时代，欧几里得在他的名著《几何原本》中就讲到了数论。
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| 左图：意大利人利玛窦(左)和徐光启(右)合译了《几何原本》，这是中文版中的插图。 中图：摘自徐光启手书篆刻《几何原本》序。 右图：《几何原本》北京印刷书，藏于罗马中央国立图书馆。古希腊数学家欧几里得的这本巨著在西方是仅次于《圣经》流传最广的书籍。 |
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关于欧几里得（Euclid）生平的记录很少，只知道他在公元前300年左右，生活在埃及的亚历山大城，在那里教书授徒。他所著的《几何原本》一书，凝结了古希腊数学的许多精华，是数学历史上最著名的、流传最广的教科书。在这本书里，欧几里得从点、线、面的定义出发，用几条最基本的公理以及形式逻辑方法，建立起了欧几里得几何学这个严密的体系。
《几何原本》由13篇组成，基本上是讲几何学的，也有3篇（第7、8、9篇）是讲数论的，其中的一些数论结果今天仍然常用。比如“算术基本定理”，它是说，每个大于 $1$ 的自然数 $n$ 都可以分解为素数的乘积
$$n=p_1p_2\cdots p_5$$
其中 $p_1,p_2,\cdots, p_5$ 是素数（即只能够被 $1$ 和它自身整除的数，例如$2，3，5，7，\cdots $），而且不管怎样分解，所得到的 $p_1,p_2,\cdots,p_5$ 都是一样的，顶多只有次序上的不同。
我们有了算术基本定理，就可以用素数这些基本材料，通过乘法搭建起正整数这座大厦，很多关于正整数的问题就可以转化成关于素数的问题。例如，要求两个数24和108的最大公因子，可先将他们分解成素数的乘积
$$24=2^3\times3， 108=2^2\times3^3$$
在比较素数方幂的最大公因子之后，我们可以清楚地看到，$24$ 和 $108$ 的最大公因子应该是 $2^2\times3=12$
在《几何原本》中，欧几里得提出了一个快速计算最大公因子的方法，称为“欧几里得辗转相除法”。此外他还证明了，素数有无穷多个。首先，他假设只有 $n$ 个不同的素数$p_1=2,p_2=3,\cdots,p_n$。因为正整数
$$a=p_1p_2\cdots p_n+1$$
不能被素数 $p_1,p_2,\cdots,p_n$ 中的任意一个整除，所以 $a$ 必有一个不同于所有 $p_i$ 的素数因子，也就是说，我们至少有了 $n+1$ 个素数，这就与前面的假设发生了矛盾，因此，素数一定有无穷多个。欧几里得的这个证明，是反证法一个最经典的范例。
费尔马(1601-1665)猜想的雕塑 费尔马一生基本上生活和工作在法国南部城市图卢兹，他从30岁起成为政府的文职官员，担任过晋见接待官和地方议会的议员，主要处理法律事务。费尔马是一个诚实、正直和谨慎的人，对于本职工作兢兢业业，使得各项政策能够顺利地贯彻实施。他的乐趣主要来自业余生活，他对于欧洲的主要语言和欧洲大陆的文学有很深的修养，还会熟练地用拉丁文、法文和西班牙文写诗，数学只是他的业余爱好之一，他研究数学多半是由于对数学美感的热爱。
设 $x,y$ 分别是直角三角形两条直角边的长度，$z$ 是斜边的长度，那么有
$$x^2+y^2=z^2,$$
这是毕达哥拉斯（Pythagoras）定理，在中国称为勾股定理。有时碰巧 $x, y, z$ 都是正整数，比如，
$$3^2+4^2=5^2,$$
喜欢纯数学的人看后会感觉特别的爽，这就是所谓“数学的美感”。
另外，$(5, 12, 13)$ 也满足上面的方程，类似的数组还可以找到很多。费尔马给出了一般性的命题：如果 $z$ 是形如 $4m+1$（$m$ 是正整数）的素数的话，那么，$z$ 一定是某个边长均为正整数的直角三角形的斜边长度，而且这种直角三角形只有一个。当 $m=1$ 时，$z=5$，直角边 $x=3，y=4$；而当 $m=3$ 时，$z=13$，直角边 $x=5，y=12$。这个命题也可以这样说：费尔马(1601-1665)猜想的雕塑形如4m+1的素数的平方可以表示成两个正整数的平方之和，如果不考虑两个平方数的次序的话，那么表示方式是唯一的。
欧拉在1754-1755年间的一篇论文里证明了：形如 $4m+1$ 的素数可以唯一地表示成两个正整数的平方之和，这里不考虑两个平方数的次序。设 $p$ 是形如 $4m+1$ 的素数，由欧拉的定理知，
$$p=x^2+y^2,$$
其中 $x, y$ 都是正整数，而且 $x>y$。于是，就有
$$\begin{array}{} p^2&=&(x^2+y^2)^2\\ &=&(x^2-y^2)^2+(2xy)^2,\\ \end{array}$$
可见 $p^2$ 可以表示成两个正整数的平方之和。由一个初等的讨论易知，表示方式是唯一的。因此，费尔马的命题成立。
很自然地，费尔马也考虑了高次方程
$$x^n+y^n=z^n,$$
这里 $n(\geq3), x, y, z$ 均为正整数。他断言，这种高次方程是没有解的。他说可以证明，但没写下来，后世就称为“费尔马猜想”。费尔马自己只解决了 $n=4$ 的情形，他给出的证明相当粗略。后来，欧拉解决了 $n=3$ 的情形。很多优秀的数学家都对这一问题做出过重要贡献，在研究过程中，也产生出了不少新的数学概念和方法。直到1994年，才由英国数学家怀尔斯（Andrew Wiles）彻底解决了费尔马猜想，这是20世纪数学最重大的成就。从猜想的提出到解决，整整跨越了350多年。
英国数学家怀尔斯最终解决了有350年历史的费尔马猜想，这是他获得2005年邵逸夫奖时在香港的留影。 费尔马研究数学，只是为了享受得到新发现的乐趣，并不期望别人的承认。费尔马的很多工作散见于他给朋友们的信件，以及他阅读过的书籍的空白处，他生前也发表过几篇论文，但都是匿名的。费尔马去世之后，才由他的儿子克莱蒙特•塞缪尔等人，将他的研究成果整理成两卷本著作出版。后世的数学家和数学史家，积极搜集他的数学工作，挖掘其中的深刻内涵，并赞誉费尔马是“业余数学家之王”。
哥德巴赫对于费尔马研究过的一些问题很感兴趣，例如，形如 $2^n+1$（这里 $n$ 为正整数）的素数问题。容易证明，如果 $2^n+1$ 是素数，则 $n=2^m$（这里 $m$ 为非负整数）。令
$$F_m=2^{2^m}+1,$$
后人称 $F_m$ 为费尔马数。最初的5个费尔马数
$$F_0=3, F_1=5, F_2=17,$$ $$F_3=257, F_4=65537$$
都是素数，因此费尔马相信，所有的费尔马数都是素数。然而哥德巴赫没有那么深的功力来做这个问题，因此他就写信请欧拉试试。
欧拉回信说，$F_5$ 就不是一个素数，这通过一个初等的证明就可以看出。令
$$a=2^7, b=5$$
则有
$$a-b^3=3, 1+ab-b^4=1+3b=2^4$$
所以，
$$\begin{array}{} F_5&=&2^{2^5}+1=(2a)^4+1\\ &=&(1+ab-b^4)a^4+1\\ &=&(1+ab)a^4+1-a^4b^4\\ &=&(1+ab)(a^4+(1+a^{2}b^2)(1-ab))\\ &=&641\times6700417 \end{array}$$
可见并非所有的费尔马数都是素数。
于是，我们可以进一步问，是否存在无穷多个费尔马素数，这与几何学的作图问题很有关系。1801年，高斯（Carl Friedrich Gauss，1777-1855）证明了，对于一个正多边形，如果它的边数是一个费尔马素数，或者是几个不同费尔马素数的乘积的话，那么，这个正多边形就可以用圆规和没有刻度的直尺做出。时至今日，关于费尔马素数问题也少有进展，看来它的确是非常困难的。
下面两封信被归于数学史上最珍贵的通信之列，一封是1742年6月7日在莫斯科的哥德巴赫给在柏林的欧拉的信，另一封是1742年6月30日欧拉给哥德巴赫的回信。
哥德巴赫和欧拉于1742年的一封重要的通信 哥德巴赫在信中说：“对于那些虽未切实论证但很可能是正确的命题，我不认为关注它们是一件没有意义的事情。即使以后万一证明它们是错误的，也会对于发现新的真理有帮助。正如你已经证明的那样，费尔马关于 $F_m$ 给出一列素数的想法是不正确的，但如果能够证明 $F_m$ 可以用唯一的方式表成两个平方数之和的话，那也是一个很了不起的结果。”
当 $m\geq1$ 时，$F_m$ 是形如 $4n+1$ 的正整数。由上述费尔马的一个命题，如果 $F_m$ 是素数的话，那么 $F_m$ 自然就可以用唯一的方式表成两个平方数之和。哥德巴赫的意思是，在无法保证 $F_m4$ 是素数的情况下，看看能否证明弱一点的结果“$F_m$ 可以用唯一的方式表成两个平方数之和”。
欧拉在回信中否定了哥德巴赫的想法，在经过一番推理之后，他指出
$$\begin{array}{} F_5&=&2^{32}+1=65536^2+1^2\\ &=&62264^2+20449^2, \end{array}$$
即 $F_5$ 可以用至少两种方式表成两个平方数之和。
哥德巴赫在信中又说：“类似地，我也斗胆提出一个猜想：任何由两个素数所组成的数都是任意多个数之和，这些数的多少随我们的意愿而定，直到所有的数都是 $1$ 为止。例如，
$$\begin{array}{} 4&=1+3=1+1+2\\ &=1+1+1+1,\\ 5&=2+3=1+1+3\\ &=1+1+1+2\\ &=1+1+1+1+1,\\ 6&=1+5=1+2+3\\ &=1+1+1+1+2\\ &=1+1+1+1+1+1, \end{array}$$
$\cdots$ 。”哥德巴赫又在页边的空白处补充道：“重新读过上面的内容后，我发现，如果猜想对于 $n$ 成立，而且 $n+1$ 可以表成两个素数之和的话，那么，可以严格地证明猜想对于 $n+1$ 也成立。证明是容易的。无论如何，看来每个大于二的数都是三个素数之和。”这里哥德巴赫把 $1$ 看成了素数，下面欧拉也采用这种看法。
欧拉在回信中说：“关于‘每个可以分成两个素数之和的数又可分拆为任意多个素数之和’这一论断，可由你以前写信告诉我的一个观察（即‘每个偶数是两个素数之和’）来说明和证实。如果所考虑的数 $n$ 是偶数的话，那么它是两个素数之和。又因为 $n-2$ 也是两个素数之和，所以 $n$ 是三个素数之和，同理它也是四个素数之和，如此等等。
如果 $n$ 是奇数的话，因为 $n-1$ 是两个素数之和，所以 $n$ 是三个素数之和，因此它可以分拆为任意多个素数之和。无论如何，我认为‘每个偶数是两个素数之和’是一条相当真实的定理，虽然我不能证明它。”
因为这是私人间的通信，所以其中的说法相当随意，在数学上是不严格的。但里面的要点，如“每个偶数是两个素数之和”以及“每个大于二的数都是三个素数之和”是很明确的，后人在数学上将它们严格&
