一个印度数学家在上世纪初提出的谜题终于获解。

斯里尼瓦萨·拉马努金（Srinivasa Ramanujan）是一位自学成才的印度数学家，32岁就英年早逝的他，给我们留下了一笔重要遗产。他提出的一些猜想像谜一般困扰着当代数学家，直到今天，数学家才真正理解了他在去世前一年，也就是1919年所写下的一个神秘论断。

天才数学家拉马努金（1887-1920）

这个论断涉及的整数分拆看起来似乎是一个很简单的概念。所谓分拆就是把一个整数分成若干个较小的整数。例如，5这个数有如下7种分拆方法：

我们可以说5的分拆数是7，而数学家则用p(5)=7来表示5的这种性质。对6来说，分拆方法有11种，因此可以记为p(6)=11。一般而言，我们用p(n)表示整数n的分拆数，当n变大时，p(n)很快便开始迅速增长，比方说p(100)=190569292，而p(1000)则是一个32位的天文数字。

多个世纪来，数学家竭尽全力想要弄清分拆数的奥秘，途径之一便是寻找能把各个分拆数联系起来的规律。拉马努金注意到，对于从9开始以5为公差数递增的整数序列，每个数的分拆数皆可被5整除：p(9)=30，p(9+5)=135，p(9+10)=490，p(9+15)=1575……他猜想，这个规律对该序列中的所有数都成立，并指出如果用紧接5之后的两个素数（即7或11）代替5，或用5、7、11的幂代替5，都应该有类似的规律存在（素数就是仅能被本身和1整除的整数）。因此，以5的立方为例，应该存在一个公差为5的立方（即125）的无穷整数序列，其中每个数对应的分拆数p(n)都能被125整除。接下来，拉马努金又以玄妙莫测的语气写道，对于更大的素数，应该找不到相应的“简单性质”。也就是说，对于13、17、19以及之后的所有素数，不存在对应的能全部被该数整除的分拆数序列。此后的多少年里，研究人员曾苦苦寻找可以把这些较大的质数联系起来的公式，但全都铩羽而归。

今年1月，美国埃默里大学数学家肯·奥诺（Ken Ono）及其合作者终于找到了一个解。对于以13的幂（13、13的平方、13的立方等）以及更大素数的幂为公差递增的整数序列，他们首次描述了显示分拆数规律的若干公式。不过，这些公式没有那么“简单”，表达的不是p(n)可被13的幂整除，而是相除后所得余数之间的关系。对于每个素数，随着指数的增大，这些公式的形式很容易让人想起分形（fractal）——也就是在多个尺度上，总会呈现出相同模式或形状的一些结构。

视频：绝美的分形

同样在今年1月，奥诺和另外一位合作者还公布了另一项成果：获得了第一个可以直接计算出任何整数n的分拆数p(n)的公式。这是多个世纪以来数学家一直梦寐以求，却始终未能实现的目标。

这些新的发现会不会有什么实际用途？这很难说，美国宾夕法尼亚州立大学的乔治·E·安德鲁（George E. Andrews）说，“基础性纯数学研究获得的深奥认识，或许要经过较长时间后才能逐渐渗透到实际应用中。”