畅通无阻

吃进去的食物，我们需要消化它获得能量。有些食物需要很长的时间来消化，而有些食品我们则需要较迅速地消化。后一种类型食物的例子包括用于运动员的“能量食物”和用于病人的许多类型的药品。消化问题是许多医疗问题的中心，如霍乱和斑疹伤寒。

医用药物是否被吸收（因而变得有效）或“注射直通式”的关键区别是当它经过身体时如何混合起来。了解混合过程至关重要，在这里，一个现代数学的伟大发展---混沌理论，起着重要的作用。不理解混沌理论，我们的答案根本就是错的（不只是错的，而且是非常非常错）。

消化过程的数学建模不仅有助于了解人体吸收食物的方式，而且可以帮助设计更有效的药物。有趣的是，这样的数学模型表明，我们的身体被巧妙地设计成以尽可能快的时间吸收尽可能多的食物。

食物进入胃之前通过食道传递。它在胃中被盐酸分解，形成褐色、粘稠的液体，称为食糜。食糜进入小肠后，其营养物质通过肠壁内衬吸收。最后，食物的废弃物进入人体的大肠，然后通过一个名为illeocecal括约肌的阀门送出体外。这里我让读者决定多久illeocecal括约肌处于打开状态。

药物穿过肠道时的分布。药物混合过程的复杂模式可用混沌理论来预测。

为了给某些数字一点想法，小肠紧密盘绕（一个自然的分形），因此，若考虑到身体尺寸，它比你预想的要长得多。事实上，它7米长，半径仅有1.25厘米。它的主要目的是将有用的养分吸收进血液流。大肠长1.5米，有相当宽的直径以处置废弃物。食物在消化系统中通常停留大约七个小时，其中在用来吸收的小肠中停留约4.5小时。小肠壁本身排列着数以千计的绒毛和微绒毛，食物通过这些被吸收进入血液。这些绒毛形成另一个可爱的自然分形的例子。它们的存在使得肠道大量地增加其表面积，因而增加有效和快速吸收食物的能力。

小肠内的绒毛和微绒毛

关于食物吸收的数学建模，最引起我们关注的将是食物通过小肠的移动过程。食物移动有两个原因。首先是蠕动泵。在这个过程中，波沿着肠壁运行并移动食品，如同冲浪者骑在海波上的方式一样。蠕动波在肠道内混合食物的过程也有重大影响；这是作为数学建模的结果而被发现的，下面我将描述之。

食品移动的第二个原因是由于肠道一端与另一端的压力差。这个压力差可以改变其方向，这取决于illeocecal括约肌是否是打开的或关闭的（想想吧！）；不久我将返回到这个相当朴实的计算。

图1说明当括约肌关闭时，药物在蠕动波的推动下通过肠道被吸收的过程。注意，当药物进入胃成为混合的食糜时，它仅形成通过肠道的物质的一部分。在此图中，药物的初始分布以绿色显示，经过几个小时后的进展则以蓝色显示。这些图示清楚地表明，药物分布在肠道中混合和吸收的时间段具有复杂的形状。

图1：食品穿过小肠时，由蠕动泵驱动而被混合及吸收

混合过程建模

数学不仅可以用来预测混合后的食物这些配置，而且还可以预测药物能多有效地吸收到体内。通过肠道建模预测食品经过肠道后干什么的第一批人是化学工程师。他们认为可以仿照化学品通过管道那样模拟肠道。蠕动的作用被认为仅仅是一个额外的行驶过程，帮助食物一起移动。虽然这给了食糜平均流量或多或少的准确结果（其结果是让我们知道多长时间需要去一次洗手间），但它没有告诉我们在这个过程中食物混合的方式。要了解这一至关重要的过程，我们需要做些细致的工作，看看流体以什么样的方式通过像肠道这样狭窄的“管道”。

粗略地讲，食糜是一种缓慢移动的粘性流体。充分理解流体运动的方式是非常非常难的，一个典型的例子就是想想预测天气是多么的不容易，完整地数学描述流体运动的被称为纳维-斯托克斯方程的非线性方程是七个著名的克莱问题之一。解决了这个难题，“不朽”的称号将属于你，除此之外还附加个百万美元奖金。然而，了解移动缓慢的粘性流体流动是一个容易得多的问题，尤其对于相对简单的几何结构，如肠子，它的一个好处是可以被近似为长圆柱。

导致肠道流动的关键功能是由蠕动波沿肠壁引起的蠕动泵。这可通过把肠道看成是平均半径为$R$的一个长圆柱体来描述。当蠕动波沿着肠道通过时，其真实的半径$r$随不同时空而变。所以，如果$x$是沿着小肠的距离，$t$是时间，则在点$x$时间为$t$时的半径$r(x, t)$是

这里$a$是蠕动波的振幅，$c$是它的速度，$\omega$是其频率。

由于食糜是非常粘稠的，局部粘贴肠壁，这个波则沿着肠道移动。

食糜的速度与使它沿肠道流下的压力有关，这由被称为斯托克斯方程的一组方程确定。这些方程如果写下来看起来会相当倒胃口，对于那些有兴趣的读者，可以参考另一个页面。倘若振幅$a$不是太大，蠕动波的波长（通常约8cm）比肠道的平均半径$R = 1.25$厘米大得多，那么就有可能近似求解斯托克斯方程以找到食糜的速度，进而得到它的流动模式。

黑色曲线显示的是肠道中某个特定点随时间t变化的小肠半径r，振幅a=0.75厘米，频率ω=π/8，速度c=2厘米/分钟。红线显示平均半径R=1.25厘米。

我们发现，基本上有两种类型的流动模式。一种模式是流动有许多漩涡（见图2(左)），这主要发生于当illoececal括约肌处于打开状态时。另一种模式则是没有漩涡的流动（见图2(右)），这在illececal括约肌关闭（以及在某些病理状况下）时发生。为了直观显示这些现象，我们如前一样考虑药物从胃到食糜释放过程中形成的流动模式。

图2：左图显示有大量漩涡的流动，右图显示没有漩涡的流动

这篇文章中的其他照片显示了当我们改变蠕动波的幅度和波长时出现的一些不同流动模式。我们可以玩很多数学游戏，看看状态改变导致出现的不同的流动模式。这给出各种肠道问题影响消化过程的重要见解，例如肠易激症（ISB），这反过来又有助于医生诊断各种疾病的原因等。上述的漩涡在很大程度上是由于蠕动泵影响，它们在吸收营养物质和药物方面发挥着至关重要的作用。我们下面就考虑营养吸收的问题。

营养吸收的建模

想象你吞下了一片药，它将与胃中的食糜混合，然后运送到肠道。其中大部分将移动到小肠内壁通过绒毛吸收进入血液流。一个更坏的情况是，药物直接通过肠道而不被吸收进入血液流，要避免这个就必须确保药物混合在食糜之中，从而迅速到达肠道壁。

食糜中旋涡的重要性，恰恰是它们迫使这个混合过程发生。事实是，药物的各个部分被旋涡运送时以混沌路径移动（实际上是随机的路径）。图3对应于图2(左)：我绘制了药物的7个小部分通过肠道的移动路径。正如你可以看到的，药物越来越好地与食糜混合，这些混沌的路径意味着该药迅速到达边界并被吸收。

图3：药物的7个小部分通过肠道的移动路劲

数学家把这个过程称之为加速扩散。它也发生在大气和海洋动力学中，此时大气或海洋旋涡与空气或水中的颗粒混合在一起。

为了模拟这种重要作用，我们必须求解一个描述药物浓度$c$随时间和空间改变的方程。该方程描述了药物通过肠道移动的两个过程。第一个是食糜引起的热对流（和运动的热风在一座楼里对流传热同样的方式）。第二个是药物的扩散，这是一个随机蔓延，类似于无风的一天中烟雾穿越大气层蔓延的方式。我们在一个单独页面上提供了这个显式方程。

幸运的是，这个方程可以用计算机轻松求解，给出药物在时间$t$的浓度$c$。我们可以看看结果，这对药品制造商来说有极大兴趣。通过计算机的数值模拟，我们可以玩一些游戏，看肠道内各种病理条件的影响，以及这些将如何影响药物的吸收。

在下面图4的第一张照片(d)上，我们切断蠕动波而让带有药物的食糜仅在压力下移动。这模拟了具有弱或不规则蠕动泵的一类病人（例如IBS）的状况。在此图片中，红色显示该药物的主要集中地，蓝色则为低浓度地带。在第二张图片(e)中我们考虑一个健康的病人，并开启蠕动波。你可以看到，如果没有蠕动泵，则药物的主要含量（以红色表示的部分），几乎是沿着肠道的所有指示部分。在有蠕动泵的情形，药物主要集中在沿肠道约1/3的地盘。这意味着药物在有蠕动泵时在肠道中停留时间较长。这里发生的是，由于漩涡导致混合并由此产生混沌粒子路径，这意味着药物比没有混合的情形下在肠道停留更长的时间。因此，大部分药物被吸收，有望产生更佳的效果。

图4

我们可以把这一切总结在图5中，这个结果对药物制造商十分重要。它图示了服药后一个特定的时间$t$（分钟）被吸收的药物量。此图中的蓝色曲线显示当蠕动运作良好时药物的吸收量，红色曲线则是当蠕动不佳时的结果。

图5：有蠕动和无蠕动的吸收

从上图显见，当肠蠕动的漩涡混合性好时，非常多的药物被吸收。此图和通过求解数学方程而产生的类似结果有助于理解药物的有效性以及各种肠道疾病的影响。

我只触及数学在食品工业中的重要应用的一些表层。其它应用包括使用统计方法确保食品的质量（正是吉尼斯在统计中首次推出著名的t检验），利用成像方法测试产品的保鲜程度，利用流体力学设计甜食等。传热数学对速冻食品的储存和解冻设施的设计也是非常重要的，它使食物保鲜且安全。食品行业，特别是食品安全，是数学和数学家可以作出重大贡献的一个领域。