8. 与 Klein 的关系之第二阶段：冲突，包括那篇著名的序言

Lie 和 Klein 的关系破裂之所以著名，是因为 Lie 在他与 Engel 合著的第三卷《变换群理论》的序言中的一句话：

我不是 Klein 的学生，Klein 也不是我的学生，虽然后者可能更接近于事实。

这句话经常被人作为孤立的一句话来引用。它听起来非常激烈和令人惊讶，但这背后是有原因的。焦点在于，当时已经很有名的 Erlangen 纲领的表述与思想有多大部分要归功于 Lie。从 Lie 的序言中多引用几段也许能帮我们增进了解 [9, p. 19]：

在那些年，我将我的想法一直分享给 F. Klein，他碰巧对离散群发展起类似的观点。在其 Erlangen 纲领中，他报告了他和我的思想，不过他也讲到了另外一些群，这些群在我的语汇中既不是连续群也不是离散群。例如，他提到所有的 Cremona 变换构成的群和所有的扭曲变形构成的群。在这些群与我称之连续群 （考虑到我的连续群可以用微分方程来定义）的群之间存在着本质的差别，而这似乎被他遗漏了。而且，在 Klein 的纲领中，几乎没有提到微分不变量这个重要概念。Klein 对这个概念毫无贡献，基于它可以建立一个一般的不变量理论，正是从我这里，他知道了任何一个从微分方程组定义出来的群都可以给出微分不变量，而且这些不变量可以借助方程组的积分来求得。

我觉得有必要做出这些评论，因为 Klein 的学生和朋友一再讲错他的工作与我的工作之间的关系。而且，相伴于 Klein 的有趣纲领的新版本（目前至少出现在四个不同的期刊中）的一些评论也是不对的。我不是 Klein 的学生，Klein 也不是我的学生，虽然后者可能更接近于事实。

当然，我这么说并不意味着要批评 Klein 在代数方程和函数论方面的原创性工作。我承认 Klein 有很高的才能，而且永远不会忘记他对我的研究工作表现出的理解与兴趣。然而，我认为，他没有充分地区分归纳与证明，区分一个概念与其应用。

据 [27, p. 317] 称，在同一篇序言中：

Lie 曾断言，Klein 没有清晰地区分在 Erlangen 纲领中所提到的那种群 —— 例如，所有的 Cremona 变换构成的群和所有的扭曲变形构成的群，在 Lie 的术语中，这既不是连续的，也不是离散的——与 Lie 后来用微分方程所定义的群：

“在 Klein 的纲领中，看不出微分不变量之重要性的迹象。 从这个概念出发可以建立起一套不变量理论，但它被 Klein 忽略了。而正是从我这里，他学到了，每个由微分方程定义的群确定 了一组微分不变量，它们可以通过对完全可积方程组积分而求出。”

……Lie 接着说，在他们对几何基础的研究中，Klein 还有 Helmholtz, de Tilly, Lindemann 和 Killing，都犯了严重的错误，而这很大程度上可能是因为他们缺乏群论的知识。

为理解 Lie 的这些措辞激烈的言语，也许有必要做些解释。根据 [26, pp. XXIII-XXIV]：

Sophus Lie 慢慢发现，Felix Klein 对他的数学工作的支持不 再与 Lie 本人的兴趣一致，因此两个朋友之间的友谊开始冷淡 了。当 1892 年 Klein 打算重新发表 Erlangen 纲领并解释其历史 时，他寄了一份手稿给 Sophus Lie 评论。看到 Klein 所写的内 容，Sophus Lie 很不快，因为他得到这样的印象，他的朋友现在 想分享 Sophus Lie 视为一生成就的工作。为了弄清事实，他要求 Felix Klein 借给他那些在 Erlangen 纲领发表前写给 Klein 的信 件。当他得知这些信件不在以后，Sophus Lie 在 1892 年 11 月写 信给 Felix Klein。

Sophus Lie 在 1892 年 11 月写给 Felix Klein 的信如下 [9, p. XXIV]：

我很细致地读了你的手稿。首先，我觉得你站在自己的角度所给出的任何表述方式都无法得到我的肯定。在你目前的报告中，甚至有几处我曾严厉批评的地方都是不对的，至少是有误导的。我将尽可能将我的批评集中于具体的地方。如果我们无法达成一致，我觉得唯一正确合理的办法是，我们各自独立地给出自己的观点，让数学圈的人们自己去判断吧。

眼下我只能说，我对你烧掉我如此重要的信件是何其伤心。 在我看来，这就是在毁灭文物；我记得你答应过要好好保存的！

我曾告诉过你，我已不再天真。尽管 1869—1872 年间的事仍留给我美好的回忆，但我还是要把哪些是属于自己的弄清楚。而你似乎有时候通过应用我的思想而自认为是它们的主人。

对冲突的起因，Lie 的完整传记 [27, p. 371] 给出了其他的细节：

他们（Lie 和 Klein）之间的关系在近些年冷淡了，虽然他们依旧互通信件，但不及早先频繁了。Lie 现在之所以与 Klein 决裂，首要的原因是他们存在学术分歧。自 Lie 出版了《变换群理论》第一卷后，Klein 觉得非常有必要重新发表他的 Erlangen 纲领。但在 Klein 1872 年的文本更新之前，Klein 联系 Lie 商榷他俩在 20 年前的研究关系与思想交流该如何下笔。对 Klein 关于这 一思想和工作的描述，Lie 提出了强烈反对。然而，Klein 的新版本 Erlangen 纲领出版了，而且发表在德国、意大利、英国和法国的四个不同刊物 —— 而只字未提这个有了 20 年历史的纲领的评论。在数学圈内，对出现在前一代数学家中的几何学的范式转移，Klein 的 Erlangen 纲领越来越被认为是起着中心的作用。Lie 关于变换群的伟大工作的第三卷中有很大一部分致力于深入讨论作为几何学基础的假设与公理，那些公理 —— 不论是否接受 Euclid 的平行公理 —— 完全清楚地解释了古典几何学与 Gauss, Lobachevsky, Bolyai 和 Riemann 的非欧几何学。

按照 Lie 的说法，流行一时的关于 Klein 与 Lie 各自工作的关系的传言都是不对的、误导人的。Lie 认为他被撂在一边了，渴望 “拨乱反正”，因此抓住了第一次、同时也是最佳的机会。 他在其著作的正文前写了一篇长达 20 页的序言。这个破坏了他们的友谊并在数学圈激起轩然大波的惊人事件，来得极其突然而且令人不快。

Klein 在当时是德国数学界、甚至也是欧洲数学界的权威人物。人们对 Lie 的这篇言辞激烈的序言做何反应？也许 Hilbert 在 1893 年写给 Klein 的一封信可以对此做出解释 [26, p. XXV]：“在第三卷中，他的狂妄自大像火焰一样喷发。”

与 Klein 的这一冲突似乎并没怎么影响 Lie 的职业生涯，因为他在莱比锡仍有职位。但 Engel 就不同了。因为 Engel 的名字也出现在这本书中，所以他将付出代价。Engel 当时在找工作，而 Hilbert 故乡所在的哥尼斯堡大学刚好有空缺，对 Engel 来说，这也是一个自然和心仪的选择。Hilbert 曾经在该校担任数学教授，他在给 Klein 的同一封信中继续写道 [26, p. XXV]：“我已经完全排除了 Engel。虽然他在序言中没有发表任何意见，但我认为，对于 Lie 在变换群的第三卷著作中所充斥着的无法理喻和没有意义的私人仇怨， 他作为合作者，同样负有不可推卸的责任。”

Engel 几年都得不到学术职位，1)Klein 先后安排他编辑 Grassmann 和 Lie 的论文集；他用了几十年时间编辑 Lie 的全集。 与 Klein 的这一冲突的另一个后果是，Lie 无法完成曾提议的与 Engel 合作关于变换群对微分方程应用的著作。据 [27, p. 390-391] 说：

自从这三卷《变换群理论》出版后，Lie 为自己设定的下一步任务是，将已经完全表述的内容进一步完善和应用。但带有对 Klein 的强烈指责的（第三卷）这个序言，对进一步的工作产生了障碍。因为在同一篇序言中，Lie 将 Engel 的 “精准” 与 “无私行为” 夸到天上，于是 Engel 很难继续跟 Lie 合作了 —— 后果是，早先宣称的包括微分不变量和无限维的连续群的后继工作，无一出现。对 Engel 来说，其职业前景现在必定与 Lie 分道扬镳。据 Lie 的德国学生 Gerhard Kowalewski 说，Lie 与 Engel 的关系慢慢变得如此冷淡，以至于他俩不会同时出现在一个地方。

应该指出的是，在这个序言写出之前，Lie 和 Engel 之间的关系就一度冷淡。起因是，Lie 与 Killing 由于在 Lie 理论特别是 Lie 代数方面的工作有重叠而产生了摩擦。出于某些原因，在初期阶段，Killing 与 Engel 通信并引用了 Engel 而不是 Lie 的某些论文，而 Lie 认为 Engel 不守信用。对此更详细的讨论可见 [27，pp. 382-385, p. 395]。2)Lie 去世后，Engel 以各种方式延续和推进了导师的工作，比如参见本文最后一部分内容。他是一个忠实的学生，获得奥拉夫二世（St Olaf）挪威人勋章和奥斯陆大学的荣誉博士学位完全是实至名归。

也许还有一个因素导致了这些冲突。3) 这就是投身于做原创性工作的所有研究学者的内在的疯狂，特别是数学家和科学家。

根据 Lie 的侄子 Johan Vogt ——奥斯陆大学的经济学教授，同时也是翻译家、作家和编辑——在 1930 年对他的叔叔的一个评论：

关于人的一种广为接受的看法会对我们有所帮助。每个人自身都有一定比例的正常和某种也许可以称为疯狂的东西。我认为我的大多数同事有 98% 的正常和 2% 的疯狂。但 Sophus Lie 疯狂显然要更多些。显著的科学天分加上几近无法控制的冲动， 也许可以描述许多伟大的数学家。在 Sophus Lie 身上，这个组合非常明显。

指出这一点也许是有益的，后来在 Lobatschevsky 奖委员会的要求下，Klein 对 Lie 在其第三卷《变换群理论》中的重要工作写了一个强有力的报告，从而确保了 Lie 获得了历史上第一个 Lobatschevsky 奖。也许同样有益的是，看看 Klein 对 Lie 有关这一冲突的工作的评价。Hubert Goenner 友好地为我提供并翻译了 Klein 的一段话 [19, pp. 352-353] 如下：

现在我将补充一点个人评论。所提到的 Erlangen 纲领是我与 Lie（现今是莱比锡大学的教授，之前是在克里斯蒂安尼亚大学）在私人通信中发展出的展望，这一点我已经在纲领中陈述了。Lie 特别投入到变换群的研究中，发展起一个完整理论，其论述可见于 Lie 和 Engel 编辑的巨著《变换群理论》，第一卷和第二卷分别于 1888 年和 1890 年出版。此外，不久将出版第三卷。显然，我们现在还无法想见数学界对 Lie 理论之内容的反应……我的评论只在于唤起诸位对 Lie 的理论的关注。

Klein 是在 1889 年冬或 1890 年初做出上述评论的，但 Klein 推迟到 1893 年——正是 Lie 与 Engel 的声名狼藉的第三卷序言出现的那一年——才发表。关于这一不幸冲突和这两位老朋友的最终和解，可见 [27]。关于 Klein 的更多信息以及 Lie 与 Klein 关系的相关讨论，可见文章 [18]。上述讨论表明，Erlangen 纲领的成功是 Lie 与 Klein 冲突的导火线。一个自然而然的问题是：数学史家如何看待这个争论。考虑到 Erlangen 纲领十分有名也十分有影响，毫不奇怪有许多讨论它的历史文章。对于 Klein 和 Lie 对这一纲领的成功及其影响力的贡献，[15] 与[3] 这两篇文章给出了极不相同的观点。文章 [15] 令人信服地论证了 Lie 在 1872—1892 年期间的工作使得 Erlangen 纲领成为一个具有巨大成果的坚实纲领，而文章 [3] 则致力于否定这一观点。似乎两位作者讨论的事情稍有不同。例如，[3]解释了 Klein 的影响与 Study, Cartan 和 Weyl 后来的贡献，然而他们的大多数贡献都是在 1890 年以后做出的。[10]中对这一情况的分析看来公正合理：

看来直到 19 世纪 90 年代，Erlangen 纲领一直都只是被慢慢地接受，那时所确立起的 Klein 作为哥廷根大学主要数学家的地位，与 Erlangen 纲领的重整旗鼓有密切关系。在那之前也有一些数学家在该纲领的精神的大方向指引下做了相当的工作，但他们究竟在多大程度上受到了该纲领的影响，甚至是否知道这个纲领，都不是很清楚……自 1872 年起，Lie 就着手于建立各种连续变换群的一个广阔理论，但不论它有多少归因于与 Klein 的早期经历，不论 Klein 为帮助 Lie 于 1886 年获得莱比锡大学的职位付出了多少，说 Erlangen 纲领指引了 Lie 的思想都是令人怀疑的。Lie 是一个极有能力、极富原创性的数学家，用不着其他思想的指引。

文章标注

1) 另一方面，Engel 的结局都不错。1904 年他接受了他的朋友 Eduard Study 在格赖夫斯瓦尔德 大学辞去的数学职位，1913 年，他成为吉森大学的数学教授。Engel 还获得了 Lobachevsky 金质奖 章。不同于他的导师 Lie 和同胞 Wilhelm Killing 所获得的 Lobatschevsky 奖，Lobachevsky 奖章仅 在少数场合颁发给提名该奖获奖人的评议人，例如，Klein 在 1897 年也获得了 Lobachevsky 金质奖 章，因为他对 Lie 的工作报告。见 [28] 。

2)Manfred Karbe 指出，Kowalewski 在其自传 [20 , pp. 51-52] 中怀疑 Lie 与 Engel 越来越疏远， 并报道了 Lie 对三卷《变换群理论》的不喜欢。当 Lie 在课堂或讨论班上需要用到他的一些东西的时 候，他从不用这些书而只用他发表在《数学年刊》上的论文。Kowalewski 在第 52 页倒数第 5 行继续 写道：“由此可以理解，他把对这本书的厌恶转移到了合作者——那个他本应深表感激的人。”

3) 通过建立天才与疯子之间的关系可以得到 Lie 在与 Klein 的冲突中的行为的解释。据 [27, p. 394] 说，Lie 去世后，“Klein 发表了一个演说，它流传甚广，尤其是因为，除了他对老朋友的高度赞 扬以外，他还提出了天才与疯子之间的密切关系，Lie 还一度受到令他纠结困扰的不良精神状况的打 击——至少，从他的演讲记录来看，这是他所采用的解释”。

9. 与其他人的关系

正如前面提到的，Klein 和 Engel 在 Lie 的学术生涯中都发挥了关键作用。对 Lie 来说，另一个重要人物是 Georg Scheffers，他于 1890 年在 Lie 的指导下获得博士学位。Lie 对 Scheffers 评价很高。在给 Mittag-Leffler 的一封信 [27, p. 369] 中，Lie 写道：“我最好的学生之一（Scheffers）正寄给您一份研究成果，这是我亲眼看他完成的，他曾以最优学位论文获得莱比锡的博士学位……Scheffers 具有非凡的天分，他的计算极其准确，创造了新的成果。”

在 Lie 与 Engel 的合作不幸中断后，Scheffers 顶替了 Engel 的位置，在 19 世纪 90 年代早期编辑了 Lie 的两份讲义，分别是：568 页的《具有已知的无穷小变换的微分方程讲义》（Lectures on differential equations with known infinitesimal transformations）与 810 页的《连续群讲义》（Lectures on continuous groups）。Lie 与其他人的所有的这些著书活动表明，Lie 也许没有充分的能力自己写书。例如，他自己只写了一本 146 页的书和一份克里斯蒂安尼亚大学 1878 年的课程纲要。

Scheffers 在 1896 年成为达姆施塔特工业大学的一名讲师，并在 1900 年提升为教授。与 Lie 的合作随着他的迁移而结束。1907 年，他被任命为柏林工业大学的教授，直到 1935 年退休。

据杰出的美国数学家 G. A. Miller[23] 说，自 19 世纪末开始，“当我在 1895 年夏第一次遇见 Lie 时，他给我留下最深的性格特点，就是他的极度率真和对不懂的事的毫不掩饰”。

虽然他受到 Sylow 所教的离散群（毋宁说有限群）的启发，并一直在研究 Jordan 的一本关于有限置换群的经典著作，但他从未真正掌握有限群的理论。Miller 接着说，“事实上他经常在演讲中点评道，当他着手离散群的课题时，他总是被卡住”。

当 Lie 最初抵达莱比锡时，教学对他来说是一大挑战，因为缺乏学生，也缺乏备课时间。在一封给老朋友的信中，Lie 写道 [26, p. XXI]：“在挪威时，我每天备课很少用到五分钟，而在德国，我不得不平均每天花费三小时。语言一直是个问题，而首要的是，竞争意味着我每周要上 8— 10 节课。”

当 Lie 和他的助手 Engel 决定讲授他们自己关于变换群的工作时，全世界的学生都涌进来了，巴黎高等师范学院派送最好的学生来追随 Lie 学习。 这是巨大的成功。根据 Lie 的一个学生回忆 [26, p. XXVII]：

Lie 喜欢教学，尤其是当课题是他本人的思想时。他与他的学生有活泼的接触，这些学生包括许多美国人，也有法国人、俄国人、塞尔维亚人和希腊人。课堂上提问是他的习惯，而且他通常（省去姓氏）直接叫我们每个人的名字。

Lie 从不系领带。他的络腮胡子覆盖了本应系领带的地方， 因此即便是最光彩夺目的领带也会黯然失色。上课之前，他会灵敏地松开衣领，说一句 “我喜欢自由”，然后这样开场：“先生们，请把你们的笔记给我看看，这样我就能想起上节课我们讲到哪里了。” 然后坐在前排的学生会递上笔记，而 Lie 则慢悠悠地点点头，说 “现在我想起来了”。在对困难的问题、特别是关于 Lie 的复积分理论的那些问题，甚至会发生这样的情况，我们这位自然是不做任何准备的大师，卡壳了。这时候他会请最优秀的学生来帮他解围。

Lie 有许多学生，也许其中最有名的是 Felix Hausdorff。Lie 曾试图劝说 Hausdorff 跟他一起研究一阶偏微分方程，但没有成功。当然 Hausdorff 最有名的工作是在拓扑学方面。对于 Hausdorff 的一个描述及其与 Lie 的接触，可见 [27, pp. 392-393]。

终其一生，Lie 通常认为自己没有被充分认可和赏识。这也许可以用他在数学中的起步较晚和早期在挪威很孤立来解释。他很关注其他人对他工作的反应。例如，在 1882 年 10 月给 Klein 的一封信 [25] 中，Lie 谈论起 Darboux：

Darboux 极其深入地研究了我的工作。至少他在巴黎大学对 我的理论做了更多的讲座，例如直线与球面的几何学、切触变 换和一阶偏微分方程，这是好的。但可气的是，他接连抢夺我的 成果。他做了些非本质的修改然后拿去发表，但从来不提我的 名字。

10. Lie 的论文集：编辑、评论和出版

因为 Lie 的理论如此有名，而且在 Lie 群和 Lie 代数的不同方面有了许多著作，所以 Lie 的论文集对一般数学家和学生来说并不熟知。对某些人来说，Lie 的论文集的编辑和出版既有价值又有趣味。考虑到这一点，我们将收入一些相关的评论。

因为 Lie 去世时还比较年轻，他的论文集的编辑的任务就完全责落旁人。后来表明，Sophus Lie 的论文集的编辑与出版十分不容易，而且对出版者而言是一笔沉重的经济负担。这一情况在 [6] 中很好地解释了：

Sophus Lie 去世 23 年之后，他的论著的第一卷出版了。这并不是说，这期间没有做任何事情让他的工作尽快地出版。自他去世后，很快就考虑到这件事，但出版像他这样恢宏的著作的方式引发的困难让人放弃了。早些时候，克里斯蒂安尼亚的科学出版社曾有过启动出版的失败尝试，但直到 1912 年才给出明确的方案；后来莱比锡科学出版社数学物理部门和 B. G. Teubner 出版公司才行动起来。Teubner 公司提出了一个捐款计划以筹措部分出版资金并在稍后发出了捐款邀请函。然而一开始的反应并不热烈，在 Lie 的祖国挪威，第一轮邀请函中仅仅收到了三笔捐款。

在此形势下，承接这一紧迫任务的 Engel 诉诸一种非常手段。他找挪威的《每日新闻》报社帮忙。1913 年 3 月 9 日，克里斯蒂安尼亚的报纸《未来少年》（Tidens Teen）刊登了 Engel 的一篇短文，标题是 “Sophus Lie 的论文全集”，该文强调了 Lie 的祖国在回应帮忙出版他的论文集方面的失败。这引起了主编的注意，他发起了运动，这产生了两个重要结果：挪威有了一批捐款人，同时议会也提供了一笔专项拨款。到当年 6 月，收到和被允诺的资金已经足够让 Teubner 公司宣布启动编辑工作；第一卷的内容在 11 月就被送到出版社，而评注和补充材料则将在以后提供。

第一次世界大战的爆发严重干扰了出版计划，以至于不得不中断；随着战争的临近，基于原先的捐献而出版的举措也不可能实现，因此需要寻求另外的出版途径。在此之前，一切事务都由主编 Engel 负责。但现在很显然的是，出版事宜要由一个挪威人来接手。因此 Poul Heegaard 作为编辑与 Engel 联系。Lie 的论文集的出版不再是出版社的事，而是成了支持它的社会群体的事。在这种情况下，这一系列的第三卷已经送到我们手中，而第一卷正在出版。Engel 说，“随着必要条件慢慢具备，以后各卷也会陆续问世；但我不能说得更多，因为出版的花费在持续增长”。

第一卷在 1922 年出版，第六卷在 1937 年出版。由于第二次世界大战和其他因素，包含了 Lie 的一些未公开发表的论文的第七卷迟至 1960 年才出版。这肯定是过去百年里的一个重要论文集。

多亏 Engel 和 Heegaard 饱含奉献精神和对 Lie 之尊敬的努力，Lie 的论文集编辑得非常漂亮。这可以从编辑对 Lie 的第六卷论文集的介绍中看出来：

纵观整个数学史，我相信很难发现第二个例子，在那里，从第一眼看上去并不特别有前景的极少的一般想法出发，最终发展出如此广泛而深远的一个理论。作为宏伟的思维建筑，Lie 的理论是一部艺术作品，必定会激起沉浸于其中的每一位数学家的崇拜和惊讶。对我来说，这部艺术作品在各个方面都可以与贝多芬相提并论……因此，如果 Lie 因为 “大自然与存在性对数学家来说一直都是难以捉摸的” 而怨愤 (p. 680)，是完全可以理解的。 Lie 曾强烈感受到的可悲处境，至少在德国已经不存在了。为了在我力所能及的范围内尽可能地进一步改善这一处境……我试图澄清这些论文中的所有的个人问题（细节）和简短建议。

每一卷都包含大量的注释、评论和补充材料如 Lie 的通信，而且 “这些补充材料是为了读者方便而精心准备的”。例如，正如前面提到的，Lie 的第一篇论文只有 8 页长，但其注释长达 100 多页。据 [4] 所说：

虽然 Engel 本人是一个重要且多产的数学家，但他确立了他在数学史家中的地位，这主要是因为他是 Sophus Lie —— 继 Abel 之后最伟大的挪威数学家 —— 最亲密的学生和不可或缺的助手。Lie 无法对从他的几何直觉中不断涌出的思想给出总体的连贯性和精确的解析形式 —— 而这正是使数学界能理解所必需的……Lie 的特性使得其工作经过另一个熟悉它的人予以阐明成为必要，因此 Engel 对 Lie 的全部正文都做了 “注释”。