数学巨人 Sophus Lie(1)


本文简要介绍了 Sophus Lie 的生平和工作,特别是他早期和 Felix Klein 在有关 Erlangen 纲领方面的富有成果的相互影响以及他们晚期的冲突,他与 Friedrich Engel 多产的合作,以及他的论文选集的编辑与出版。

640-7.jpegSophus Lie (1842—1899)

引言

在今天的数学家和物理学家中,极少有人不曾听说过 Lie 群或 Lie 代数,或者以这样或那样的方式应用过 Lie 群与 Lie 代数。如果我们将离散群或有限群作为特殊 (或退化的 0 维) Lie 群,那么数学的每一个分支都应用了 Lie 群。正如 H. Poincaré [25] 在 1882 年对 Lie 说的: “所有的数学都与群密切相关。” 很明显,群的重要性源于其作用。在 [17] 中列举了与群作用有关的各种课题。

Lie 理论是 Sophus Lie 的创造,而且是 Lie 最著名的成就。但 Lie 的工作比这要广阔。除此之外,Lie 还取得了哪些成就呢?这也许并不那么广为人知了。微分几何学家陈省身在 1992 年写道:“即便不提 Lie 群,Lie 也是一个伟大的数学家。” 陈说这话是什么意思呢?我们将在后文中介绍 Lie 的一些主要贡献。

本文的目标是,通过追踪我所读过的关于 Lie 及其工作的文献,给出 Lie 的数学生涯之一瞥。因此,本文篇幅简短并且仅仅强调其数学与生活的少数方面。对其生活(而非数学)的详尽叙述,可见其完整的长篇传记 [27]。

我们还详细描述了 Lie 与 Klein 之间的不幸冲突,并给出了 Lie 在其关于变换群的书的第三卷前言中的著名段落,它常常被人不交代背景地引用。我们还提到了 Engel 和 Lie 卓有成效的合作以及 Lie 的论文集的出版。

对 Lie 及其影响的一般评论

众所周知,Lie 的主要工作是借助连续变换群的概念把几何、力学、偏微分方程等数学领域整合在一起。也许不那么广为人知的是,Lie 的论文集共有 7 卷,合起来约 5600 页。(当然我们要知道,其中有相当一部分篇幅是编辑的注释文字。即便如此,Lie 的成果仍然是丰硕的。) 要知道,Lie 的数学生涯从 26 岁才开始,而他在 57 岁就过世了。除了许多论文,他还写了几本书,一共也有几千页。据 Lie 说,他的想法中仅有一部分写了下来。Lie 在其自传中写道 [9]:

我的生活在我看来是完全不可理解的。年轻时我并不知道自己有原创的能力,等到 26 岁时,我突然意识到我能创造。我读进一点东西,就能产生新的想法。在 1867-1874 年间,我脑子里涌出了许多想法,但后来绝大部分未能成形。

特别吸引我的是变换群理论及其对微分方程的巨大重要性。但在这个领域,我发表自己成果的速度太慢了。我无法恰当地予以组织,而且总是害怕犯错。不是那些无关紧要的小错误……非也,我害怕的是那些根本上的错误。我很高兴,到目前为止,我的群论还没有出现任何根本上的错误。

Lie 是一个高度原创、能力极强的数学家。但让 Lie 群(或变换群)的思想被他人认可是需要时间的。他在 19 世纪 70 年代的一封信中写道 [26]:

要是我知道如何让数学家对变换群及其对微分方程的应用感兴趣该多好,我确实需要大家相信这件事,这些理论将来将被视为根本性的理论。但我想现在就造成这样的印象,因为这样一来我就会更加努力地工作。

1890 年,Lie 充满自信地写道,他相信他的工作将会经受住时间的考验,并且在数学的世界中得到越来越多的重视。

当 Lie 于 1886 年在莱比锡担任几何教授时,Eduard Study 还只是那里的一名讲师。1924 年,成熟的 Eduard Study 如下概括 Lie [26]:

作为以自我为引导者的人,SophusLie 有很多不足之处,但他也是历史上最出色的数学家之一。他富有一些并不常见而且越来越罕见的品质:有创造性的想象力。后人将比我们这一代人更好地理解他的远见卓识,我们这代人只能理解他的卓越才智。然而,他最可贵的品质是广阔的视野,这在今天已经很难看到了。然而,后人将会理解变换群理论的重要性并确保这一宏大工作所应得的科学地位。

Lie 所研究的是无穷小 Lie 群,或者说本质上是 Lie 代数。考虑到 H. Weyl 和 E. Cartan 在 Lie 群整体理论上的工作开始于 20 世纪 20 年代中期,此后 Lie 群才成为现代(或当代)数学中最基础最重要的对象,Study 的上述评价一定令人非常惊讶。对 Lie 群的历史发展特别是侧重于 Lie, Killing, E.Cartan 和 Weyl 的工作的一个比较详细的介绍,可见著作 [14]。

Lie 过世两个月以后,他的一个传记 [12] 出现在《美国数学月刊》(American Mathematical Monthly) 上。作者是活跃的数学教育家、得克萨斯大学奥斯汀分校的数学家 George Bruce Halsted,他曾教过像 R.L. Moore 和 L.E. Dickson 这样的著名数学家。一百年以后再读这篇传记,他那强有力的断言听起来也许有点惊人但比从前更加公正: “世界上最伟大的数学家 Sophus Lie 去世了……他的工作戛然而止,但他的影响和声望将持续扩大。”

也许对 Lie 的一个更准确的评价是 Engel 在 1899 年对 Lie 的纪念演说 [9] 给出的:

如果衡量数学家的标准是发现的能力,那么 Sophus Lie 一定位列历代最重要的数学家之林。只有极少数人像他那样开创了数学研究的如此浩瀚的领域和如此丰富和广泛应用的方法……除了发现的能力,Lie 的另一项突出才能是深刻的洞察力,Lie 是一个真正有非凡天赋的数学家……他的能力是基于攻克那些重要但可以解决的问题,常有的事情是,他能够解决令其他杰出数学家一筹莫展的问题。

在此意义下,Lie 是数学界的巨人,他对数学做出了深刻而原创的贡献,他的有名与其他事情无关。(有不少数学家的有名还与各种数学之外的逸闻有关。)巧合的是,从体格上说,他也是一个巨人。关于 Lie 有一些生动描述,例如,可见 E. Cartan [1],Engel [27] 和他在莱比锡大学的物理学同事 Ostwald [27],也见 [27]。对巨人与科学家之间关系的有趣讨论,可见 [11] 和 [22]。

Lie 的早期学术生涯概述

Lie 出生于 1842 年 12 月 17 日。他的父亲 JohannHerman Lie 是路德教会的一名牧师。Lie 是六个孩子中最小的一个。他最初是在挪威东南部的小城摩斯上小学,摩斯位于奥斯陆港湾的东边。1857 年,他升入了克里斯蒂安尼亚—— 1925 年更名为奥斯陆——的尼森私立拉丁学校。那时他决定从事军旅生涯,但他糟糕的视力使得这成为不可能,于是他进入了克里斯蒂安尼亚大学追求一个更学术化的生涯。

在他的大学时代,Lie 学习了各种科学理论。他修了数学课程,听了高水平老师的讲座。例如,他在 1862 年听了 Sylow 的课。

Ludwig Sylow

跟 Lie 一样,Ludwig Sylow (1832-1918) 也是挪威人。他现在以 Sylow 子群而著称。在那时,他并不是克里斯蒂安尼亚大学的永久教员,但他替一位正式教员上一门课。在这门课上,他解释了 Abel 和 Galois 关于代数方程的工作。不过 Lie 似乎并不理解或记得这门课的内容,正是 Klein 向 Lie 重新解释了这些理论,并对 Lie 的数学生涯产生了巨大的影响。

虽然 Lie 追随一些优秀的数学家学习并且大多数课程学得很好,但当他 1865 年本科毕业时,他并没有表现出特别的数学才能和对数学的特别喜爱。Lie 无法决定以后的职业生涯,在他尝试做决定时,他给一个学生团体开设私人课程和免费的演讲。他希望从事学术工作,并一度考虑选择天文学。他还学了一些力学,对植物学、动物学和物理学都很好奇。1868 年,26 岁的 Lie 已经不那么年轻,但他仍然没有确定未来的职业。然而这一年对他来说是一个重要的转折点。

1868 年 6 月,第十届斯堪的纳维亚自然科学会议在克里斯蒂安尼亚召开。这吸引了 368 名与会者。Lie 听了许多报告,对他影响特别大的是法国大几何学家 MichelChasles 的某个学生的报告,这个几何报告提到了 Chasles、Möbius 和 Plücker 的工作。

1868 年秋季,SophusLie 似乎度过了一个漫长的工作期,他频繁地从图书馆借书。除了 Chasles、Möbius 和 Plücker,Lie 还发现了法国人 Poncelet,英国人 Hamilton,意大利人 Cremona,还有其他对代数几何和解析几何作出了重要贡献的人。

Lie 广泛涉猎了来自法国和德国的许多卷顶级数学期刊,并在 1869 年春季给科学学生会做了他称之为 “虚量理论” 的演讲,讨论关于实的几何对象的信息如何可以被转移到他的 “虚对象” 上。

Sophus Lie 把他的一个发现写成论文。这篇论文只有 4 页,是他自费刊印的。这篇文章被翻译成德文,并刊登在德国当时的顶级数学刊物《克雷尔杂志》(Crelle’s Journal) 上。有了这篇文章,他申请到一笔游学资助。于是他在 1869 年 12 月前往柏林,开始了他辉煌多产的数学生涯。

相关论文

即便以今天的标准来看,这篇文章的出版也是非同寻常的。据 [2] 说:“他的第一篇发表的论文出现在 1869 年。它给出了复平面的一个新的表示,并运用了 Plücker 的思想。但在让挪威科学院接受它时,Lie 遇到了某些困难。他缺乏耐心。Bjerknes 教授要求更多的时间来审查这篇文章,而 Broch 教授则在两天后返回这篇文章——说他完全不懂!然而,其他三位教授——也许对其内容就懂得更少了——却支持发表。这也许是由于受了 Lie 的朋友的影响。”

翻译成德文后刊登在《克雷尔杂志》的论文

这篇文章的德文版仍然只有 8 页长,但在 Engel 和 Heegaard 所编辑的 Lie 的论文集中,对该文的注释就长达 100 多页。

这次柏林之旅,有几件事对 Lie 来说意义重大。他结识了 Felix Klein,并立即成为好友。他们兴趣相投,有共同的几何背景,他们的交往对彼此都产生了巨大的影响。如果没有这次命中注定 (或纯属偶然) 的相遇,Lie 和 Klein 也许都不会成为我们所知的那种人。

Lie 也通过解决 Kummer 正在研究的问题而给 Kummer 留下了深刻印象。这给了 Lie 对其能力和原创性的自信。Lie 在写给他朋友的信中说 [26, p.XII]:

今天我打了一场胜仗,想必你会有兴趣知道。Kummer 建议在讨论所有的三次直线簇这个问题上,测试一下我们的能力。

幸运的是,在两个月前,我曾经解决过一个问题,它可以看成是上述问题的特殊情况,不过其含义要广泛得多……我将此视为对我的良好科学洞察力——从一开始,我就理解发现的价值——的一个肯定。我也展示出关联我的发现的能量与能力;我知道我能。

1870 年夏,Lie 和 Klein 结伴游学巴黎,遇到了几位重要人物,如 Jordan 和 Darboux。与 Jordan 的接触以及 Jordan 关于群论的新书对他们都产生了巨大影响。Jordan 的书包含了比 Galois 理论更多的东西,可以视为在那之前对群如何应用到所有分支的一个深入讨论。这让 Lie 和 Klein 大开眼界。除了学到 Galois 理论,他俩开始认识到群将在几何与数学其他分支中发挥基本和统一的作用。在某种意义下,与 Klein 的巴黎之旅确定了 Lie 未来的研究方向。

在 Lie 的学术成长期,Klein 扮演了一个关键角色,反之亦然。我们将在后文中更深入地讨论他们的相互影响。当年 7 月,普法战争爆发,Klein 离开了巴黎,而 Lie 多待了一个月,并决定徒步前往意大利。但他在枫丹白露被捕了,因为他被怀疑是普鲁士的奸细,而后入狱一个月。Darboux 前往营救了他。Darboux 在 [8] 写道:

千真万确,1870 年一场灾难降临到 Lie 头上,其后果是让我给他帮上了一点小忙。突然在巴黎宣战,令他猝不及防,他在枫丹白露被捕了。各种思想在头脑里不停地翻滚着,他每天在森林里漫步,在人迹罕至的地方停下来,用铅笔做笔记、画图。在那时,这是足以令人起疑心的。在枫丹白露被捕入狱以后,他求助于 Chasles,Bertrand 等。我前往枫丹白露,让皇家检察官相信了他所做的所有笔记都只是数学—— 画的直线簇、正交系、几何学家的名字,这跟国家机密没有一点关系。

后来,Lie 写信给他的密友说 [26, p.XV]:“一开始那几天,我以为不过是坐几天牢就会放出来,当我知道可能要在监狱里度过很长的时间后,我反倒放轻松了。我认为数学家很适合在监狱里搞研究。”

事实上,当他在监狱里时,他在思考其博士学位论文,几个月后的 1871 年 3 月,他提交了学位论文。1872 年 7 月他获得了博士学位,并接受了挪威国家议会为他在克里斯蒂安尼亚大学设立的新职位。这是一篇很不错的博士论文,讨论的是偏微分方程的积分理论,博士论文的完成使 Lie 的数学天分得到了广泛认可,他的数学生涯有了保障。

此前,当 Lie 在克里斯蒂安尼亚大学的一份奖学金资助下写学位论文时,他还需要到从前的语法学校教书以贴补收入。而今有了这个新职位,他可以全身心投入到数学研究中。除了发展关于变换群的工作、与 Klein 一起构建 Erlangen 纲领以外,Lie 还要协助他从前的老师 Ludwig Sylow 一起编辑 Abel 的论文集。因为 Lie 对代数尤其是 Abel 的工作不是很熟悉,这个计划主要由 Sylow 实施。但搜集 Abel 的手稿耗费了两人许多精力,这个计划用 了很多年才完成。

在个人生活方面,Lie 与 Anna Birch 在 1874 年结婚,他们生有两个儿子和一个女儿。

Lie 发表了几篇关于变换群和对微分方程积分的应用的文章,并在克里斯蒂安尼亚创立了一份新期刊以发表他的论文,但这些文章没有引起多大关注。因此,Lie 开始研究更加几何化的问题,例如极小曲面和常曲率曲面。

后来在 1882 年,法国数学家利用变换群讨论微分方程的积分的一些工作,促使 Lie 回到他关于微分方程的积分与群的微分不变量理论的工作。

成熟的 Lie 及其与 Engel 的合作

对成就今天我们所知的数学家 Lie,有两个人功不可没。他们是 Klein 和 Engel。当然,Lie 和 Klein 的故事更为人所知,充满了戏剧性,为人津津乐道,但他与 Engel 的接触绝非不重要或稀松平常。

在 1868—1884 年这段时期,Lie 一直单枪匹马地发展其变换群、积分问题、有限群和无限群的微分不变量的理论。但他无法将其理论表述成一种便于理解和令人信服的形式,因此他的工作一直得不到数学界的重视。更糟糕的是,他在挪威孤身一人,没有人可以跟他讨论或理解他的工作。

在 1883 年写给 Klein 的一封信中,Lie 写道 [9,p.9]:“在克里斯蒂安尼亚,没有人理解我的工作与兴趣,我太孤独了,孤独到让人恐慌。” 意识到 Lie 的处境的严重性、将 Lie 的成果以一种连贯的方式总结下来并保持 Lie 的创造力的重要性后,Klein 与他在莱比锡的同事 Mayer 决定派他们的学生 Friedrich Engel 来协助 Lie。Klein 和 Mayer 清楚,如果没有像 Engel 这样的人的帮助,Lie 无法将他的新颖理论系统地表达出来。

跟 Lie 一样,Engel 也是路德教会的一名牧师的儿子。他出生在 1861 年,比 Lie 年轻 19 岁。1879 年,他进入莱比锡大学和柏林大学两所大学学习。1883 年,他在莱比锡大学 Mayer 的指导下以关于切触变换的论文获得博士学位。在德累斯顿服兵役一年后,1884 年春,为了写大学授课资格论文, Engel 返回莱比锡参加 Klein 的讨论班。在那时,Mayer 也许是除了 Klein 以外的唯一能够理解 Lie 的工作与天才的数学家。因为切触变换在 Lie 的变换群理论中构成很重要的一类变换,所以 Engel 成了完成这一使命的自然人选。Klein 和 Mayer 一起努力,为 Engel 争取到莱比锡大学和萨克森皇家科学协会的一笔资助,使他可以游学到克里斯蒂安尼亚与 Lie 一起工作。 在 1884 年,Lie 给 Engel [9,p.10] 写了一封信:

在 1871 — 1876 年,我完全沉浸在变换群和积分问题里。然而,当这些问题无人问津时,我就变得有点厌倦,并有段时间转向了几何学。而在过去的几年里,我又重新拾起了这些旧爱。如果你能帮助我进一步发展和整理这些东西,你就帮了我一个大忙,特别是,至少有一个数学家最终对这些理论有了真正的兴趣。在克里斯蒂安尼亚这里,像我这样钻研特殊理论的人十分孤单。没有人理解我,没有人对我的工作有兴趣。

在见过 Lie 之后的 1884 年秋,Engel 在一封信中写道 [27,p.312]:

我的旅程有两个目标:一方面,在 Lie 本人的指导下,我将沉浸到他的理论中去;另一方面,我要对他施加某种压力,使他对自己的理论进行系统的整理,在这方面我将助他一臂之力。

Lie 想写一部关于变换群的综合专著,而不单单是对他的新理论的一个介绍。它 “应该论述得系统而且尽可能地严格,并在很长时间内都保持其价值”[9,p.11]。

Lie 和 Engel 每天见两次面,上午在 Engel 的住所,下午在 Lie 的住所。 他们首先列出章目,然后对每一章,Lie 写出一个提纲,Engel 则补充细节。 据 Engel [9,p.11] 所说:

每一天,Lie 所完全独自构建的结构之壮美令我耳目一新。 我很惊讶,在那之前,他发表的东西仅仅给出了一个模糊的想法。初步编辑的工作在圣诞节之前完成,此后 Lie 用了几周时间浏览所有的材料,以确定终稿。自 1885 年 1 月末,编辑工作重新开始;修订了已经完成的章节。当我 1885 年 6 月离开克里斯蒂安尼亚时,已经有的手稿据 Lie 估计可以装满约 30 个打印架。 整个工作完成将在 8 年以后,而且 30 个打印架将变成 125 个, 这在当时是我们两个都无法想象的。

在 Engel 在这里的 9 个月内,Lie 和 Engel 紧张地工作。这一合作对双方都是有益的。对 Engel 来说,这也许是引领他进入 Lie 理论的最好途径,并且为他以后的数学研究打下了基础。根据 Lie 和 Engel 后来的学生 Kowalewski 的说法 [9,p.10]:“Lie 仅凭他自己不可能给出这样一个阐述。他可能会淹没在当时充盈在他头脑中的思想的浪潮中。Engel 成功地为这个混沌的思想宝藏引入了系统的秩序。”

返回莱比锡后,Engel 完成了题为 “论连续变换群的定义方程” 的大学授课资格论文,成为一名讲师。

1886 年,Klein 由于种种原因搬迁到哥廷根(关于 Klein 的生涯的简短描述,可见 [18])。多亏 Klein 的努力,Lie 在同年搬到莱比锡接受了一个几何学的职位。对此的更多描述将在后文中给出。

当 Lie 于 1886 年 2 月访问莱比锡以准备其迁移时,他很激动地写信给妻子 [27,p.320] 说:“据我所知,除了 Abel 和我,还不曾有别的外国人被德国的大学聘为教授!(瑞士在这里不算外国。)太奇妙了。在克里斯蒂安尼亚,我常常觉得怀才不遇,所以这对我确实是一个不可多得的幸运。”

莱比锡是著名的数学家和哲学家 Leibniz 的故乡,是一个主要的文化和学术中心。对 Lie 来说,与故乡相比,这里已算是学术天堂了。

1886 年 4 月,Lie 成为莱比锡大学的几何学教授和数学研究所所长。

Lie 和 Engel 继续紧张地合作他们关于变换群的著作。1888 年,位于莱比锡的德国领头的科学出版社 Teubner,出版了《变换群理论》(Theory of transformation groups)的第一卷,共 632 页。

在那一年,自 Friedrich Schur 离开后,Engel 成了 Lie 的助手。当 Lie 于 1889 年去精神病诊所时,Engel 代替 Lie 上课。

他们合作的第二卷书于 1890 年出版,共 555 页;第三卷于 1893 年出版,共 831 页。

要是没有 Engel 的重要贡献,Lie 与 Engel 合著的这三卷大部头著作根本不可能面世,甚至无法动笔。

这是大手笔。Eduard Study 在对第一卷的长达 21 页的书评中写道 [9,p.16]:

本书对 Lie 教授多年以来在期刊上各篇论文中发展起来的广博理论给出了一个通透的描述 ······ 因为大多数论文都不是那么广为人知—— 由于 Lie 的文风简练,虽然其价值巨大,但其内容对科学界来说几乎仍属未知。出于同样的原因,我们要感谢作者,远离我们这个时代竞争激烈到令人无法喘息的尘嚣,能把握罕有的机会让他的思想平和地走向成熟,然后把它们整理成和谐的形式,进而深入思考下去。这并不是一本由一些作者写出的旨在向众人介绍其理论的教科书,而更像是一个人的创造 ······ 当我们断言数学中只有很少的领域不会为这个新学科的基本思想所 丰富时,我们相信这并没有言过其实。

可能有趣的是,注意到此处并没有提及 Engel 对这一巨著的作用和贡献。 也许在当时的德国文化中,一个资历稍浅的作者或协助者的帮助是理所当然的。

不过 Lie 在第三卷的序言中写道:

对我而言,Engel 占据着一个特殊的地位。1884 年,在 F.Klein 和 A. Mayer 的促动下,他来到克里斯蒂安尼亚帮助我准备我的理论的一个连贯描述。他接受了这一使命,当时他还不知道任重而道远,坚持不懈与贯通技巧是他的典型特征。在这段时期,他也发展出一系列属于他本人的重要思想,他以一种最无私的方式将它们详细而系统地描述在本书中,而仅仅满足于给《数学年刊》(Mathematische Annalen)和《莱比锡学人报告》(Leipziger Berichte)提交简短的片段。相反,他不停地将他的天分和教学之外的时间,倾注到将我的理论表述得尽可能地完备而系统化、当然首要的是尽可能地精确。由于这个工作前前后后延续了 9 年之久,我本人,还有在我看来的整个科学界,都要对他致以最崇高的敬意。

Lie 和 Engel 在著书和教学两方面都形成了团队。有一些学生同时跟着 Lie 和 Engel 学习。Engel 对 Lie 在教学方面取得的成功也有贡献。例如,在莱比锡获得博士学位的学生中,有一大部分都是在 Engel 的指导下完成学位论文。Lie 在第三卷的序言中也对此向 Engel 表示感谢。

但这个序言同时还包含了对 Lie 与 Klein 的一些冲突的描述,Engel 的学术前程也因此受到牵连。更多细节见后文。

(未完待续……)

作者: 季理真,数学家,现任美国密歇根大学教授、浙江大学光彪特聘教授
译者: 林开亮,西北农林科技大学理学院
来源: 《霍金与黑洞探索》