近世代数概观


本文译自 Philip Hall, What is Modern Algebra about, Eureka, 3 (1940), 12-14. 作者霍尔,1904--1982,英国数学家,主要工作在群论,组合学中的婚配定理 (marriage theorem) 也归功于他。

image_035.png菲利普·霍尔

Philip Hall 对近世代数的发展有很大影响,他指导的博士生 GarrettBirkhoff(1911--1996) 与 Paul Cohn(1924--2006) 对近世代数在美国与英国的推进做出了积极的贡献。

Eureka 是英国剑桥大学数学协会(这是大学生协会,就像高校里头的排球协会、轮滑协会一样)——The Archimedeans——发行的一份年刊,该刊物创办于 1939 年,至今已有近 80 年历史。Eureka 源自阿基米德,如图:

image_034.png浮力定律的故事

代数这门学科的历史源远流长,我们很难给它下一个准确的定义。在原始的阿拉伯语中,代数这个词所指的可能只是一种精巧的运算,即将等式中的一项从一边移到另一边。这大致等同于减法,它与加法、乘法、除法一起,构成了初等算术的四种有理运算。

代数的近代发展极大地依赖于这样一个认识,即在数学中还有许多与这四个基本运算相似的运算需要研究。

举一个熟悉的例子,两个向量按照平行四边形法则的合成可以看成一种加法,而且常常也是这样表示的。再如,两个算子 S 和 T 相继作用的总作用可以看成是这两个算子的乘积作用 ST。还有许多其它的例子——譬如,置换和矩阵——通过适当地定义加法和乘法,我们可以得到与数的加法和乘法相似的性质。

image_032.png平行四边形法则

这样一种运算或许可以称为一个数学合成。或许我们可以简单地说,近世代数就是研究数学合成的理论。

因此,古典的普通数(译者注:实数或复数)的代数,只不过是诸多代数中的一种,虽然它理所当然是最重要的一种。除此之外,还屹立着矩阵代数、四元数代数、逻辑代数以及其它许多没有特殊名字的代数结构。

虽然这些代数其种类不同,但在很大的程度上,它们相互紧密联系着。近世代数之所以取得了极大的进展,最主要在于是通过 “比较解剖学” 的方法来研究它们。这里关键的方法是同态映射或表示的原理,也就是从一个代数到另一个代数中的这样一个映射,使得在第一个代数里成立的任何等式经过映射以后在第二个代数里仍然成立。通过研究一个给定的代数到某个标准代数——比方说,矩阵代数——的所有可能的同态,就可以得到关于给定的代数结构的许多信息。这就是表示论的主题,它的一个优美的论述最近已经由 Hermann Weyl 发表在他的著作《典型群》(译者注:这里所指的书是指 H. Weyl, The Classical Groups, Their Invariants andRepresentations, Princeton University Press, 1939. P. Hall 曾经为这本书写了书评,见 The Mathematical Gazette, 24, No.260 (1940), pp. 216-218)里。正是在这一点上,近世代数与上个世纪代数学最富有成果的发展——即不变量,协变量和张量的理论——联系起来了。


image_030.pngHermann Weyl & The Classical Groups

对新奇的代数对象的研究有时会引发意想不到的额外收获,正如 1925 年量子力学的创立所证明的那样。在这个理论中,一个物理量,例如氢原子的能量,是用一个适当的线性算子来表示的,而不是像先前经典物理中用实数来表示。从代数的观点来看,线性算子与矩阵很相似。在那时,矩阵代数已经得到高度发展,足以作为新的物理理论所需要的线性算子代数的向导。量子力学的一些最引人注目的特征(译者注:例如 Heisenberg 提出的 “测不准原理”)正是归因于这样一个事实:这个代数是非交换的。

在代数学发展的后期,一个具有基本重要性的事件,是群论的发现,这要归功于 Lagrange,Cauchy,Abel,当然,首要的是法国数学家 Galois,他在 1832 年死于一场决斗,时年 20 岁。群论的这一进展的一个直接成果是 Abel 所首先证明的,即,用根式解一般五次方程的不可能性,从而结束了人们在继成功求解三次方程和四次方程之后想用同样的方式求解五次方程的梦想。事实上,五次方程在代数学中的历史角色,可以与平行公理在几何学中的历史角色相提并论。

image_029.pngLagrange, Cauchy, Abel, Galois

然而,群论的重要性并不限于这个特殊问题。它适用于任何有可能挖掘出对称的分支。对称的定义远不是表明上看起来的那么简单,但是它仍然可以用精确的数学语言定义。而且,它的定义直接引向群的理论。每个对象的对称都与一个群相联系。正是由于这一联系,群在几何学和物理学中才得以广泛应用。

群之所以重要还有另外一个原因。从某种意义上说,群是最简单的一类代数系统;在群里只有一种合成的方式,不论你把它写成加法还是乘法。而且,下述说法其实不会太离谱:任何一个在某种程度上具有重要性的代数结构,在某种意义下是一个群。

另一个对代数的新近发展有显著影响的学科是代数数论。许多第一次用在这个相当特殊和高度复杂的代数分支里的方法,从此找到了一个更加广阔的应用领域,这个程序常常被称为 “代数的算术化”,它使得代数整个学科在特征上更加抽象并且更加简单。Poincaré 的忠告或许最好地表达了这一动向的精神:

人们应该通过思想而不是计算取得胜利。

当然,这并不是说,旧形式的代数失去了它的意义。相反地,对近代代数学家来说,最兴奋的事可能是,他能够富有技巧地运用一些简单的一般思想去证明那些从前需要用复杂而精致的技巧来证明的旧结果。(译者注:我暂时想到的一个不是很恰当的例子是,为了求解勾股数的通解,对 Q 的二次扩域 Q(i) 用 Hilbert 定理 90。这一点大概是 O. Taussky 在一篇文章中提到的,也可能出现在 N. Jacobson 的《基础代数》习题中。)

image_036.pngBasic Algebra

作者: 菲利普·霍尔
翻译: 林开亮,西北农林科技大学理学院讲师
来源: Philip Hall, What is Modern Algebra about, Eureka, 3 (1940), 12-14.