Ehrhard Behrends

选自《五分钟数学 ——（世界报〉上数学专栏中的一百篇文章》(Vieweg, 2006 年), 第 26 章, 第 70–71 页 。

数学家们对音乐有一种特殊的领悟, 是一种非常常见的成见。只要在一个数学所进行一个简单的调查便可以知道这个看法是错误的 —— 这也许和其他职业, 例如医生、律师之类, 并没有本质上的区别。即便如此, 这其中包含了一个正确的观点: 这两个领域的确有着一些非常值得注意的联系 。

早在几乎 2500 年前, 毕达哥拉斯便注意到, 两个频率满足一个简单的数学关系的音级听上去尤其和谐¹: 例如说, 半音在一个八度音中的频率比为 1 : 2, 而在一个五度音中的频率比则为 2 : 3。毕达哥拉斯学派根据这个想法构造出了整个音阶, 但是简单的数学关系和听觉享受之间的关系始终是一个未解之谜 。

可惜在毕达哥拉斯音阶及其引用中存在一个不可回避的缺点: 如果有意地将其中某一个音级作为新的基本音级, 那么得到的新的音阶并不能百分之百地与原有的音阶相符 。

因此诞生了一种观点, 将八度音真正地基于十二个等距分配的半音分配。于是, 从一个半音到下一个, 频率的增长为 2 的一个十二次根, 也就是说频率比为 1.059463094。在 300 年前诞生了半音音阶^{2, 3}, 约斡•塞巴斯蒂安•巴赫在他的《平均律键盘曲集》中展示了通过半音音阶人们可以创造出多么美好的音乐 。

因此, 这个关系远远没有竭尽。泽纳基斯, 以及众多其他的古典作曲家在他们的作品中应用了数学的方法, 当然, 我们也可以在数学概念的帮助下描述众多现代音乐的结构 。

在以上众多对数学的褒奖中, 我们必须说, 从一首舒伯特的小夜曲或者我们最中意的流行歌曲回溯到数学几乎是永远不可能的 。

毕达哥拉斯与半音

为什么在这里突然出现了十二次根呢? 我们暂时假设, 八度音需要分成 n 部分, 其中 n 为任意一个整数。那么, 一个吉他制造师必须计划从琴颈至琴弦中部分配 n 个音品, 其中最后一个应该恰好位于琴弦正中位置。如果所有的间隔都是相等的, 那么第一个音和空弦的频率比必须与第二个音和第一个音的频率比相同, 也等于第三个音和第二个音的频率比, 以此类推。为了便于计算, 我们将这个频率比记为 x。假设我们同时生成两个音级⁴, 并且其中间隔 k 个半音, 那么它们的频率比则为 x^k。特别地, 第 n 个音应该与八度音吻合, 由此我们得到了关系 xⁿ = 2。例如, 在半音音阶中 n = 12, 因此等式 x¹² = 2 便起了非常重要的作用。而这个等式的解为 x = 1.0594 ···  。

半音音阶的乐器

于是, 从升C 到C 的频率比等于 1.059, 同样的频率比出现在升 C 到D 之间, 等等。由此, 我们可以计算, 例如, D 和C 之间的频率比:

D:C=(D: 升 C)•(升C:D)=1.0594•1.0594=1.1225··· 。

下面的表格给出的是毕达哥拉斯音阶和半音音阶中八度音的频率比:

我们可以看到, 频率比非常接近, 在没有经过训练的情况下, 我们很难听出它们之间的差别。在流行音乐中使用的几乎都是半音音阶, 而在经典音乐中却相反, 作曲家们尝试写出在那个时代乐曲的样子。

注释：

1. 在中国, 关于这个问题的研究最早起游于春秋中期的《管子•地员篇》。—— 译者注

2. 这个说法在音乐中不是唯一的。有时候也会被称为“十二平均律”。

3. 在中国古代也有对十二平均律的研究, 在司马迁的《史记》中便有记载。中国的十二平均律则由明代音乐家朱载堉发明。—— 译者注

4. 当然, 我们需要在两台完全相同的吉他上演奏才能实现。