振动频率与音乐


乐器之所以能够发出声音,是因为它们具有与大多数结构相同的特性,这种结构可以使它们轻松地在一组频率中振动。但在其他频率下,这将会像是一场争斗,不那么和谐。它们自然发出的频率称为固有频率,它们在振动过程中发生形变的相应形状称为振型。它通常是占主导地位的第一个或最低的固有频率。

如果你敲击一个物体,你会听到一个声音,这是因为它是该物体振动的固有频率。这与物体的形状和材料有关。用指关节敲击桌子,然后轻敲书本;较软的材料发出较低频率的声音(这两种声音都会很快消失,是因为木头和纸的阻尼特性)。乐器利用这一现象,通过使用材料和形状从而产生令人愉悦的声音,这些声音可以持续成旋律。

图⼀:发出⾳乐的尺子

举一个实际的例子,考虑到一把尺子或类似形状的材料。将部分放在桌子边缘,其余部分悬空,按压自由端,然后松开。它会来回摆动,发出声音。可以通过缩短或延长自由悬空部分来提高或降低频率-试试看!

图⼆:发出⾳乐的瓶子

第二个实验说明乐器产生声音的方式是通过大量空气的振动,这次试验内容是吹过瓶子的顶部。这样做相当容易造成瓶子里面的空气进行振动,你可以通过加水来改变空气的体积从而改变频率。

振动频率是每秒的周期数,以赫兹(Hz)为单位进行测量。在下图中,0.04秒内约有19个周期,因此频率约为475Hz。由管弦乐队演奏的音符A的频率为440Hz。

图三:475Hz

一把常见的尺子的7厘米的突出部分将发出大约200赫兹的频率。

数学模型

最简单的振动数学模型来自弹簧上的振动。

牛顿定律认为力是质量乘以加速度。在初始激振力消失后,只有弹簧会影响振动。运动方程变成:

image4.jpeg

$$k u = m \frac { d ^ { 2 } u } { d t ^ { 2 } }$$

式中,$u$是质量从平衡位置开始的的位移,$k$是弹簧的劲度系数。这个微分⽅方程有两个可能的解:

$$u=\sin(wt)\quad\text{或}\quad u=\cos(wt)$$

式中 $\omega = \sqrt { \frac { k } { m } }$,$\frac { \omega } { 2 \pi }$ 是单位为赫兹的频率大小。

从这可以看出,增加弹簧的劲度系数($k$越大)频率越高,增加质量将降低频率。

非洲钢琴

左边的乐器称为安比拉琴或非洲钢琴。它没有一块薄的木头或塑料,是用扁钢制成的簧片制作的。这些簧片通常是用敲击过的建筑工人的钉子制成的,敲击钉子时需要一些技巧来得到所需的形状,并涂上所需的颜色。

image8.jpeg图四:安比拉琴

制造乐器的艺术

安比拉琴的演奏在非洲的大部分地区都会有;目前在津巴布韦,一些乐队会通过在夜总会和CD上播放非洲伦巴音乐,以传播安比拉琴的使用。你可以看到各种各样的簧片,每个都与一个特定的音符相关。按照传统来讲,这些都是用手指在一个循环、有节奏的模式下运动,产生平静,稍微催眠的旋律。在这种形式的乐器被用于宗教仪式中,以创造一个合适的气氛。

大多数乐器使用的都是这里要讨论的两种振动形式中的一种:结构或空气或两者的组合。想象一个乐器,你会想到它正在被演奏的形式,尽管可能是在一种相当复杂的演奏。

例如,小提琴发出的声音最初是由琴弓造成的琴弦振动(结构性的),但这通过将振动传递到木箱(还是结构性的)来放大振动效果的。然而,外壳的形状会影响内部空气的振动方式,从而影响声音的质量(空气振动)。

制作乐器的艺术来原于创造乐器的形状和封闭空气体积,以发出自然形式的振动。

作者: David Henwood,是津巴布韦大学数学系的一位资深讲师。
译者: 聂嘉玥,西北农林科技大学理学院信息与计算科学专业大四学生。
原文链接: https://plus.maths.org/content/os/issue4/henwood1/index