每个人都有一道刻骨铭心的数学题
林开亮
求解问题是最为独特的自发性思考。
The solution of problems is the most characteristic and peculiar sort of voluntary thinking.
——威廉·詹姆斯（William James，美国心理学家，1842-1910）
从前在网上看到北大生科院饶毅教授的一篇文章，提到他在高考时经历的一道刻骨铭心的数学题：
1978 年考数学时，有道“三角形 ABC 三内角成等差数列”的题目坑了我。我在复习时做过一道题，其中除了这句话，还有另一线索提示哪个是中位角，而不能假定 B 是中位角。考试时我绞尽脑汁寻找另一线索，当然没找到。那时年轻, 考试因此慌了，对其他题目也做得不顺利了。这道题目，我记了一辈子，曾做梦重新考。二十年后，发现网上有全套考题，一看都好像没见过，只认识这一道考题，不知道是谁出的，对我来说刻骨铭心。
对于这道题的分析，有兴趣的读者可以点击链接：
这里我想发挥一下饶毅教授引出的话题，跟众爱卿分享一下寡人所了解的一些令人刻骨铭心的数学题。
0 瑛姑
金庸（1924 年 3 月 10 日 - 2018 年 10 月 30 日）
之所以先讲 瑛姑的故事，主要是想缅怀一下最近过世的金庸先生，而瑛姑是《射雕英雄传》中的“神算子”。
在金庸先生的小说中，瑛姑与黄蓉是用几道数学题过招的，我想最令瑛姑刻苦铭心的，当属她自认独创的“九宫格”（3 节幻方，俗称 洛书）。在以前的两篇文章中，我们插入了两段视频（取自不同的版本），没有看过的读者可以点击链接（注：一篇文章至多允许插播 3 段视频，我们还是留到后面吧）：
黄蓉（请注意，她老爹是东邪黄药师）临走时给瑛姑出的三道难题（在 94 版的电视剧中只提了一道，而且是改编之后的第三道，见上述链接）如下：
黄蓉气极，正欲反唇相讥，一转念间，扶着郭靖站起身来，用竹棒在沙地上写了三道算题：
第一道是包括日、月、水、火、木、金、土、罗、计都的“七曜九执天竺笔算”;
第二道是“立方招兵支银给米题”：
第三道是“鬼谷算题”：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”
其中第三道题最著名，涉及数论中著名的中国剩余定理，我们曾在三篇文章中谈过这个重要结果：
第二道题涉及高阶等差数列的求和，我们也在两篇文中提及：
至于第一题，我们在最近转载的一篇文章也介绍了，见：
相信读者已经看出，鄙人确实是金庸的忠实粉丝。实际上，我几年前就有想法要给金庸先生写封信，问询他老人家何以会想到，在《射雕英雄传》中塑造这样一个“神算子”形象，并借黄蓉之口道出中国古代数学的这些杰出成就，他又是何以了解到中国古代数学这些杰出成就的？后来我将这一想法转告了香港中文大学的 陈方正 教授，他告诉我，金庸先生身体不好，建议我不要打扰，我就作罢了。
最近我从网上读到一篇文章，对我的问题给出了一个指引，其中有这样一段：
金庸年轻时在《大公报》上写过一篇随笔《圆周率的推算》（后来收进《三剑楼随笔》，全文见本号二条），里面提到一本《算学的故事》：“我在初中读书时，教我数学的是 章克标先生，他因写小说出名，为人很是滑稽，同学们经常和他玩闹而不大听他讲书。他曾写过一部《算学的故事》，其中说到有一个欧洲青年花了极长的时间，把圆周率推算到小数点后六百多位。这个圆周率，当然是毫无实用价值的。”
注：章克标（1900-2007）是东京高等师范学校数学系的学生，回国后任教于中学与大学，先教数学，转向文学后又教过语文。有兴趣的读者，可见其自传《世纪挥手》, 书名乃金庸手书。
今天我要写的这个题目，一方面是受到饶毅教授的启发，另一方面，其实也是受到金庸先生《天龙八部》里的一段情节（第 46 节，酒后君问三语，西夏公主提问招亲）的启发，有兴趣的读者可见下述视频，我不再展开（我觉得这本质上是一个对偶的话题：你所提出的最好的问题是什么？）：
西夏公主（毋宁说是金庸前辈）提出三个简单的问题：
你一生中最逍遥快活的地方在哪里？
你生平最心爱的人是谁？
你最爱的这个人相貌如何？
让天下群雄尽显各自本色（最令人唏嘘的乔峰的回答，不过在原著中，乔峰是先行离开从而回避了这些问题）。好了，我们打住。我只说，这几个问题问得很好，至于大家的回答，可以在留言区分享。
现在我们来看几位著名人物所分享的刻骨铭心的数学题吧！
1 杨振宁（1922-）
杨振宁
在本号最近推出的张奠宙教授对杨振宁先生的访谈：
中，杨振宁先生提到了他在西南联大时，陈省身先生给他们出的一个题目：
在西南联大，我很可能旁听过陈省身的好几门数学课，但是根据保存至今的成绩单，我只是在 1940 年秋季学期正式选修过他讲授的微分几何课程。当时我是物理系的三年级学生。
张：这门课您有所得益吧?
杨：当然。不过我已经记不清楚上课的情形了，只有一件事印象很深：如何证明每一个二维曲面保角等价于平面? 我知道如何把度量张量化成$$A ^ { 2 } d u + B ^ { 2 } d u ^ { 2 }$$ 的形式，但是想了很久都想不出怎样使 A=B。有一天，陈先生告诉我要用 复变量，并写下：$$C d z = A d u + i B d v$$这个式子。学到这简单的妙诀，是我毕生难忘的经历。
最近我从西北大学 刘建新博士的博士论文中得知，原来，这结果和技巧都归功于高斯 (Gauss)。这个题目我们不再展开（若有需要，留言区讨论），我想重点在于，杨先生想说，陈先生令他认识到复数的重要性。陈省身先生常说的一句话是，复数使数学简单化（一个最显著的例子是 代数基本定理：多项式在复数域内必有零点）。我想下面这本书（一本复分析的研究生教材）的标题很能够表达这个意思：
关于做学问的经验之谈，杨先生写过一篇优美的文章，值得推荐给各位读者：
◐杨振宁，我的学习与研究经历，《物理》，2012 年
2 徐利治（1920-）
徐利治
当今之中国，资历最老的数学家恐怕要属徐利治先生了，他 1920 年出生，很快就要 100 岁了。我们曾经在本号推送过他的文章
◐徐利治：谈谈我青少年时代学习数学的一些经历和感想（答老师同学问）
在追忆我的大学老师华罗庚先生一文中，徐利治曾回忆起他与华罗庚先生对 初等数论 中一个定理之证明的讨论，从中可以看出，学生时代的徐利治前辈头脑之活跃（用今天的话来说，就是“脑洞大开”）。
在湖南教育出版社出版的《徐利治访谈录》（袁向东，郭金海访谈整理）中，他也分享了他在西南联大求学时请教陈省身先生的一道题目（见上书 73-74 页）：
我在西南联大二年级的时候，有一次到数学系办公室请教陈先生先生一个级数求和问题。这个问题是： $$\sqrt { 1 } + \sqrt { 2 } + \sqrt { 3 } + \dots + \sqrt { n }$$
如何计算？
陈先生看了很久，没有回答出来。后来我才知道，这个求和问题没有精确的公式表达，但可以用欧拉 - 麦克劳林求和公式（Euler–Maclaurin formula）做近似计算。可见，当时陈先生的分析基础也不是十分强。
这里徐利治先生分享了他的后见之明：这个和是求不出来的——其结果没有一个简单的公式表达。那么能做的，只是近似求和，即，求出这个和的一个近似值。换言之，我们所能解决的，是下述问题（请注意，这里改变了问题的提法，唯有如此，方才可解）：
问题 0：求 $$\sqrt { 1 } + \sqrt { 2 } + \sqrt { 3 } + \dots + \sqrt { n }$$
的近似值。
徐利治先生建议的方法是用欧拉 - 麦克劳林求和（留给有兴趣的读者），下面我们介绍一个更简单的方法（取自一本教材 Mathematics for Computer Science，是 MIT 同名课程的教材，可在 MIT 公开课网站免费下载）。为求出这个近似值，我们需要下述结果（提请读者注意，这里基本的想法是，求和是积分的离散版本，求和与积分互为很好的近似。）：定理： 设 $f$ 是从正数集 $\mathbb { R } ^ { + }$ 到正数集 $\mathbb { R } ^ { + }$ 的单调递增函数， 令$$\begin{aligned} S & = \sum _ { i = 1 } ^ { n } f ( i ), \\ I & = \int _ { 1 } ^ { n } f ( x ) \mathrm { d } x. \end{aligned}$$则有$$I + f ( 1 ) \leq S \leq I + f ( n )$$推论：在定理条件下，有$$S \approx I.$$
注：如果你学过微积分，也许会想起正项级数的积分判别法，它依赖于上述定理的另一半，此处从略。
好了，现在我们来解决问题 0。
据此定理，为估计求和$$S = \sum _ { i = 1 } ^ { n } \sqrt { i }$$
只需求出积分$$I = \int _ { 1 } ^ { n } \sqrt { x } d x = \frac { 2 } { 3 } \left( n ^ { 3 / 2 } - 1 \right)$$
上面将问题重新提出的变通策略，正好印证了大数学家阿贝尔 (Abel）的高见：
人们应该力求给问题一种形式，使得它总是可解的，这总是可能的。以恰当选择的形式提出问题，其叙述本身就会包含着解答的种子。
阿贝尔
3 何兆武（1921-）
何兆武
我还想到西南联大的另一位杰出校友，他叫何兆武，著名的历史学家。在《上学记》（何兆武口述，文靖执笔）一书（90-91 页）中，他曾回忆起他参加的 1939 年的西南联大高考所遇到的一道数学题：
那一年数学考题非常之难，也不知道是谁出的，比我们中学所学的更深。其中有一个题目我还记得，在椭圆上任取一个点，问：把这个点到椭圆上每个点连线的中点连接起来，是什么图形，并列出方程。我知道连起来是一个内切小椭圆，给描出来了，可是列不出公式。有个同学数学学得非常好，考完了以后跟我讲，这道题不能用正坐标（即直角坐标）表述，得用极坐标。经他一说我就想起来了，所以印象特别深。另外，这件事也给了我极大的启发，一个终生受益的启发：当我们的思想解释不通的时候，就得换一个坐标，不能死硬地按原来的模式去套。
我想，历史中真正学术上、思想上的重大突破，大概都需要坐标的转换。有些用原来的坐标解释不了了，却仍在那里生搬硬套，是行不通的。比如，……
The greatest discovery of my generation is that a human being can alter his life by altering his attitudes.【看来不仅学术如此，人生也是如此，也需要换坐标（观点）】
本人尝试了一下，感觉这个问题用直角坐标也很简单。不过，我对何兆武先生最后的领会（换坐标）深有共鸣。我还发现，《大话西游》里头也有个经典的坐标变换（遗憾的是，春三十娘的扮演者蓝洁瑛最近去世了）：
《大话西游》里有个经典的坐标变换（换衣服），有兴趣的读者，请参见陈省身先生的通俗演讲：大师演讲：从三角形到流形
我们也曾指出，江湖上有些算命术士很会利用坐标，见
顺便说一句，第一节里陈省身先生出给杨振宁的那个题目，其实就是证明曲面上存在等温坐标（一种方便的坐标）。
4 阿诺德（V. I. Arnold，1937-)
阿诺德
跟俄国的许多数学大师（如柯尔莫果洛夫、盖尔范德）一样，阿诺德 (1937-2010) 不仅是卓有成就的数学家，也是极优秀的数学教育家。他曾写过一本书：
其中收入了为 5-15 岁的孩子准备的 77 个数学问题，从维基百科 Vladimir Arnold 条目 可以搜到这本书的电子版（可免费下载）。有兴趣的读者，也可以参见 和乐数学 推送的介绍先一睹为快：
20 世纪最伟大数学家之一的阿诺德及其为儿童和父母设计思维训练题
阿诺德在 1991 年的 Notices 访谈中曾提及儿时一次有趣的数学经历：
很多俄罗斯家庭都有给孩子出诸如此类的各种问题的传统，我的父母也不例外。不过我第一次真正的数学经历是在小学，当时我们的教师 I. V. Morozkin 向我们提出以下问题：甲乙两个老太太在日出时同时出发，甲从 A 地往 B 地走，乙从 B 地往 A 地走，都是匀速前进。她们在正午相遇，然后继续不停地走，如果甲到达 B 地的时间是下午四点，而乙到达 A 地的时间是下午九点。请问，当天日出的时间是几点？
请允许我将这个题目（收入第 5 题到 Arnold 的书中）重新提取成下述形式：
问题 1（侠客行）：甲、乙两个侠客约定在某一天上午的某个时间同时出发，甲从 nbsp;A地往 nbsp;B地走，乙从 nbsp;B地往 nbsp;A地走，都是马不停蹄匀速前进。他们恰好在当天正午相遇，抱拳问候之后立即挥手告别（侠客行，片刻也不耽误，所谓“君子不下马，各自奔前程”是也），继续不停地走，如果甲达到 nbsp;B地的时间是下午 nbsp;4点，而乙到达 nbsp;A地的时间是下午 nbsp;9点。请问，他们约定的出发时间是几时？
阿诺德说：
当时我花了一整天的时间来思考这个老掉牙的问题，而答案则是一种出乎意料的方式得到的。
在高等教育出版社“数学概览”丛书第 5 号作品《惠更斯与巴罗，牛顿与胡克》一书中，阿诺德提出过一个有趣的问题，也许可以考考各位学过微积分的朋友（下文引自中译本）：
下面这例问题，是像巴罗、牛顿和惠更斯这样一些人在几分钟内就能解决的，而在我看来，当今的数学家（我所知的唯一例外是法尔廷斯）还不能很快就求解出来：
问题 2（求极限）：计算 $$\lim _ { x \rightarrow 0 } \frac { \sin ( \tan x ) - \tan ( \sin x ) } { \arcsin ( \arctan x ) - \arctan ( \arcsin x ) }$$
朋友，如果算不出来也没有关系，毕竟你不必胜过法尔廷斯——要知道他可是 1986 年的菲尔兹奖得主；同时我也实话实说，我没算出来（但我有朋友很快就算出来，并点评说：“这是文中我印象最深的一段，也算是高数老师在计算机时代的最后的尊严。”）。有没有感觉我这个高数老师被打脸了？没关系哦，我早已习惯了这种常态：
来，我们听个歌放松一下，有请从 台湾大学数学系转向歌坛的周华健同学，为大家带来一曲《难念的经》（《天龙八部》主题曲，林夕 作词，周华健作曲）
怎么样？心情好多了吧。早跟你说过了：
5 几个补充的练习
《射雕英雄传》之东邪西毒 剧照；注意，这是西毒 欧阳锋，而不是东邪黄药师，后者大概是金庸武侠小说中数学最好的（新加坡国立大学数学系的曾衡发 教授首先向我提及这一点）。
问题 3（小学水平：阿诺德 + 加州大学伯克利分校数学系 伍鸿熙教授提供）：
有一杯红酒和一壶茶水，先从茶水中盛一勺倒入红酒中，均匀搅拌后再盛一勺倒回茶水中。请问此时杯中含有的茶水和壶中含有的红酒，哪个更多？如果没有搅拌均匀，情况又会怎样？
【有兴趣的读者，可以参考伍鸿熙教授《数学家讲解小学数学》第 23 章“一些有趣的应用题”问题 4，中译本（赵洁、林开亮译，北京大学出版社）第 316 页】
问题 4（小学 - 初中水平：西北大学数学系刘建新博士提供）：
如图，从 A 到 B 有两条路线。绿色路线由一条竖直方向的线段和一条水平方向的线段组成；红色路线是阶梯状的，每段线段分别是水平和竖直的。问两条路线哪个更近？
问题 5（初中水平：本人初三经历，曾作为思考题在课堂上出给大一新生）：
在下述矩形中，已知三个角上的三角形的面积分别为 3，4，5，求中间的三角形的面积。
问题 6（高中水平：西北农林科技大学物理系刘昌勇教授提供，是上世纪 30-40 年代的一道高考题）：
已知 $\sqrt { 2 } + i$ 为方程式$$x ^ { 6 } + 3 x ^ { 5 } - 3 x ^ { 4 } - 6 x ^ { 3 } + 11 x ^ { 2 } + 27 x - 9 = 0$$
的一根，求其余各个根。
问题 7（大学水平：美国加州大学尔湾分校数学系陆志勤教授提供）：
证明：在 n 维欧氏空间中，两两夹角为钝角的向量至多有 $n+1$ 个.
问题 8 (小学、初中、高中、大学水平：本人提供，曾作为离散数学作业留给计算机专业大二学生，取自当时我参考的一本教材，Mathematics for Computer Science，是 MIT 同名课程的教材，可以在 MIT 公开课网站免费下载）：
Here is a game you can analyze with number theory and always beat me. We start with two distinct, positive integers written on a blackboard. Call them a and b. Now we take turns. (I'll let you decide who goes first.) On each turn, the player must write a new positive integer on the board that is the difference of two numbers that are already there. If a player cannot play, then s/he lose.
For example, suppose that 12 and 15 are on the board initially. Your first play must be 3, which is 15-12. Then I might play 9, which is 12-3. Then you might play 6, which is 15-9. Then I cant play, so I lose.
(a) Show that every number on the board at the end of the game is a multiple of gcd(a,b). 【注：gcd(a,b) 表示 a, b 的最大公因子】
(b)Show that every positive multiple of gcd(a, b) up to max(a, b) is on the board at the end of the game. 【注：max(a,b) 表示 a, b 中最大的那一个数】
(c) Describe a strategy that lets you win this game every time.
【这道题目英文很简单，我就不翻译了——原谅我这一生放荡不羁爱自由】
问题 9（大学水平，本人经历，至今都还不知道怎么做，所以刻骨铭心。借这个机会向大家征解，请方家赐教）：
(Taussky)在平面上给定 n 条处于一般位置（这里理解为，任意三条直线都不共点）的直线。证明：在由这些直线构成的 C_n^3 个三角形的内切圆中，有且仅有一个圆与其余 n-3 条直线相交或相切。证明，存在一点，它到诸直线的距离不大于任何别的点到这些直线的距离之最大者。【引自《函数构造论引论》，J. 托德著，第 29 页，问题 3.26，Taussky 恰好是作者的夫人】
问题 10（大学水平，不久前准备一个科普报告时遇到，是剑桥大学本科生荣誉学位考试的题目，我也不会，一并求教方家）：
如图，证明人在深水中平稳游泳时激起的波浪其夹角总是 $2\arcsin(1/3)$。
这是剑桥大学数学系本科生主页（https://www.maths.cam.ac.uk/undergrad）上的一个 Tripos 考题，也参见
6 结语
波利亚
我是一名数学教师，是波利亚 (Pólya）的忠实粉丝，他的《怎样解题》、《数学的发现——对解题的理解、研究和讲授》以及《数学与猜想》（两卷）深深影响了我。我希望，我在这里搜集的这些故事（或素材），不仅能得到读者的喜爱，也能得到他老人家（已经含笑九泉，1887-1985）的认同。
盼众爱卿在留言区 (或邮箱linkailiang@nwafu.edu.cn) 与寡人分享那些让你刻骨铭心的数学题（不要太难哦）。这样吧，我再借花献佛，分享我一个好友（天津大学物理系 刘云朋教授）的反馈：
我最先想到的是：走二维迷宫 (在像二维码一样的方块区域开一个入口、一个出口，要在里面从入口走到出口那种) 的通用解法：从入口摸着一侧的墙壁一直走下去就能出去了。照我的理解，迷宫的解就是找一条线把两个彼此不连通的区域分开，那么沿着一个连通区域的边界转一圈就行了。从拓扑的角度看，迷宫就不迷了。
好了，我要说的说完了，轮到你们啦。
《天龙八部》之天山童姥 剧照
《东方不败》之风云再起 剧照
致谢：感谢西北农林科技大学尹昌辉同学、姚健同学、聂嘉玥同学提供技术支持！感谢天津大学物理系刘云朋教授、数学系刘志新教授、西北农林科技大学物理系刘昌勇教授、上海交通大学数学系吴耀琨教授、李吉有教授、中央民族大学数学系王兢教授、中国传媒大学陈见柯教授、西北大学数学系刘建新博士、以及友人张宝群 博士的分享交流。
| 作者: | 林开亮，西北农林科技大学理学院讲师 |
