混沌与分形(二):分形的奇迹——分数维的曲线


混沌的秘密,不可思议地隐藏在分形的世界里。

分形(fractal),该术语最早是由美国数学家曼德勃罗(Mandelbrot)于1973年提出。

640.jpeg曼德勃罗(1924-2010)(图片来源网络)

在其名著《大自然的分形几何学》中,曼德勃罗开创了分形几何学。分形几何以及与其相关的非线性理论,很快就显示出强大的生命力,其影响迅速遍及科学和社会的每个角落。许多学科中的难题,因为分形的介入而焕然一新。如梦初醒的科学家才发现,原来分形的身影已经在世界上默默存在了数亿年,从地球诞生始就向大自然昭示其深邃的奥秘。

0-4.jpeg植物的分形(图片来源:网络)

生活中常见的花菜、雷雨过后的闪电、凛冬漫天飞舞的雪花、贝壳身上的螺旋图案,小至各种植物的结构及形态,遍布人体全身纵横交错的血管,大到天空中聚散不定的白云、连绵起伏的群山,它们都或多或少表现出分形的特征。乍看起来杂乱无章的分形,原来是大自然的基本存在形式,无处不在,随处可见。

640-3.jpeg图片来源:视觉中国

分形如此广泛地分布在自然界中,却又与千百年来的智者擦肩而过。它的发现,正式揭开了大自然最迷人和动人的奥义之一。

早在两千多年前的古希腊时代,人们最杰出的成就来自数论与几何,特别是欧几里得几何的建立,更使得几何学成为最严格和易于把握的公理化体系。

几何研究的对象是图形。为了研究不同的几何对象,人们倾向于把它们进行归类。从点、线、面到立体,人们的思维逐渐扩展开来。渐渐地,人们意识到区别几何图形的重要分水岭:维度。直线和曲线是一维的图形,平面则是二维的图形,立体则属于三维的空间。


640-4.jpeg图片来源:视觉中国

一切都是那么的直观,历史在平静地流淌。直到有一天,一件匪夷所思的事打破了人们对维度的信念。

1890年,意大利数学家皮亚诺(Piano)构造了一种奇怪的曲线,该曲线自身并不相交,但是它却能通过一个正方形内部所有的点。换句话说,这条曲线就是正方形本身,进而应该拥有和正方形一样的面积!这个怪异的结论让当时的数学家大吃一惊,更让数学界感到深切的不安:如此一来,我们拿什么来区分曲线和平面?这条曲线究竟是一维,还是二维?经典的几何在它面前束手无策。这只被放逐出来的怪兽,正式奏响了分形几何研究的序曲。

640-5.jpeg皮亚诺曲线(图片来源:百度百科)

维度概念的扩展,则得益于德国数学家豪斯多夫(Hausdorff)。他在1919年提出了维度的新定义。该定义为人们成功驱散了笼罩在分形曲线身上的迷雾奠定了基础。

在传统的观念下,一个空间的维数等于决定空间中任何一点位置所需要变量的数目。比如我们生活的空间之所以是三维空间,源自我们需要三个数值:经度、纬度和高度来确定物体在空间中的位置。这样的定义无比符合人们的直观,也因此在数千年间都被奉为圭臬。但是这种定义维度的方式,排除了分数维的可能。

640-6.jpeg图片来源:视觉中国

豪斯多夫另辟蹊径,从物体的自相似性来定义维度。自相似性,顾名思义,就是“一个图形的自身可以看成是由许多与自己相似的、大小不一的部分组成的”。比如一条线段是由两个与原线段相似、长度一半的线段接成。一个立方体,则可以看成是由8个大小为自身八分之一的小立方体组成。

简而言之,如果一个图形按照N∶1的比例缩小后。如果原来的图形可以由M个缩小之后的图形拼成的话,这个图形的维数d,就是豪斯多夫维数,定义为 d = ln(M)/ln(N). 在豪斯多夫的定义下,皮亚诺的曲线恰好就是二维!因此它能填满正方形并不奇怪。

皮亚诺曲线就是一条自相似的曲线。它身上揭示了分形的诸多特征:具有自相似性、具有无穷多的层次和细节,可以被无限放大、永远都有结构,最令人惊异的是,它还可以是分数维。比如著名的科赫雪花曲线就是1.26维,谢尔宾斯基三角形则是1.58维。

640-7.jpeg雪花的分形(图片来源:网络)

皮亚诺曲线发现后的83年,曼德勃罗首次提出了分形几何的概念。他在一次公开演讲中提出了一个看起来让众人乏味的问题:英国海岸线究竟有多长?

人们会轻描淡写地回答:只要用仪器去测量就行啊,只要测量得足够精确,总能得到想要的结果。然而,出乎所有人的意料,如果用不同大小的度量标准来测量海岸线的长度,每次竟然会得出完全不同的结果。当度量标准的尺度越小,测量出来的海岸线的长度会越来越长!随着测量精确的提高,英国海岸线的长度也在迅速趋于无穷!多年以后,科学家们才发现,英国海岸线是一个复杂的分形曲线。根据多次测量所得的结果,英国海岸线的分形维数大约等于1.25

640-8.jpeg图片来源:视觉中国

更令众人吃惊的是,英国海岸线里隐藏的秘密竟然也和人体的生命构造息息相关。分形的发现,则将人们引向越来越奇异的科学探索之旅。大自然,处处都彰显出伟大的和谐与统一。

(未完待续)

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混沌与分形(一): 命运无常,是天意还是混沌的力量?

参考文献:

  1. 《数学的故事》,伊恩.斯图尔特著,上海辞书出版社,2013。

  2. 《从混沌到有序人与自然的新对话》,伊里亚·普里戈金、斯唐热著,上海译文出版社,1987。

  3. 《复杂》,米歇尔.沃尔德罗普著,生活·读书·新知三联书店,1997。

  4. 《蝴蝶效应之谜》,张天蓉著,清华大学出版社,2013。

作者简介: 黄逸文,中国科学院数学与系统科学研究院
原文链接: 科学大院