四元数——孕育近代代数学的奇异数字

Charlie Wood 2019-01-02 7225

在 19 世纪，一个被称为 “四元数” 的数字的发现为数学家提供了一种描述空间中的旋转的方法，从此永远地改变了物理学和数学。

连结有彩色飘带的立方体需要旋转两周之后才回到原始状态，而不是只转一周。称为四元数的四维数字与之类似，电子和夸克等粒子也同样如此。

想象一下，将时钟的时针从下午 3 点拨回到正午。数学家很早就知道如何将这种旋转描述为一种简单的乘法：将表示平面上时针初始位置的数字乘以另一个常数即可。但是，类似的技巧是否可以描述空间中的旋转？直觉上好像是可行的，但 19 世纪最多产的数学家之一 William Hamilton 花费了十多年一直努力寻找用于描述三维空间中旋转的数学。最终看似不对的解答让他发现仅有的四个数系中的第三个（这些数系遵循与算术类似的法则），并刺激了近代代数学的兴起。

全体实数组成了第一个这样的数系。实数是可以从小到大排序的一串数字，它包括了我们在学校学到的所有熟悉的数字，如 $-3.7$,$\sqrt{5}$与 $42$。当文艺复兴时期的代数学家认识到在解决某些方程时需要添加一个不处于实数轴上的新数字 $i$时，他们偶然间发现了第二个可以做加减乘除四则运算的数系。他们从实数轴上迈出了第一步，进入了 “复平面”，在这里容易让人产生误解的“虚” 数与实数相搭配，就如海战棋中将大写字母与数字配对一样。在这个平面世界里，“复数”表示可以通过加法和减法进行滑动或使用乘法和除法进行旋转和拉伸的箭头。

Hamilton 是爱尔兰数学家，经典力学和量子力学中的 “哈密顿算符” 就以他的名字命名，他希望添加一个假想的 $j$轴来脱离复平面。这就像 Milton Bradley 通过把一列大写字母替换成小写字母从而将 “海战棋” 变成 “潜艇战棋” 一样。但是三维的情况总是不对劲，它与 Hamilton 所能想到的每一个数系都有矛盾。加州大学河滨分校的数学家 John Baez ¹ 说：“他必定尝试过数百万种情况，并且没有一种情况能奏效。” 问题出在乘法运算上。在复平面中，乘法导致旋转。无论 Hamilton 如何试图在三维空间中定义乘法，他都找不到一种与之互逆的除法使得结果总有意义。

要想看看是什么让三维旋转变得如此困难，我们比较下转动方向盘和转动地球仪。方向盘上的所有点以同样的方式一起移动，因此它们是乘以相同的（复）数。但是，地球仪旋转时，挨着赤道的点移动得很快，而往北边或往南边的点移动得较慢。更甚的是，两极根本纹丝不动。Baez 解释说，如果三维旋转像二维旋转一样，那么每个点都会一起移动。

1843 年 10 月 16 日，一个灵感终于闪现在 Hamilton 的脑中，他把答案刻在了都柏林的布鲁姆大桥上，这个答案就是把球放到一个更大的空间，这样使得三维旋转更像在二维里的情形。不是用两个虚轴而是用三个虚轴 $i$,$j$和 $k$，在加上实数轴 $a$，Hamilton 定义了新的数字，它们就像 4 维空间中的箭头一样。他把它们命名为 “四元数”。夜幕降临时 ²，Hamilton 已经勾勒出一种旋转三维箭头的方案，他发现旋转三维箭头可看成是简化的四元数：将实部 $a$ 等于零，仅仅留下虚部 $i$,$j$和 $k$进行 “三重奏”——Hamilton 发明了“向量” 这个词来描述虚部。旋转三维向量意味着将它乘以一组包含旋转方向和旋转度数信息的完整 4 维四元数。要想查看四元数乘法是如何运作的，请观看下面流行数学动画 3Blue1Brown ³ 新发布的视频。

任何你可以对实数和复数进行的操作，都可以用于四元数，除了一个不和谐的差异。虽然 $2\times 3$ 和 $3\times 2$ 都等于 $6$，但顺序对于四元数乘法来说很重要。数学家以前从未在数中碰到过这种情况，即便它反映了日常物体如何旋转。例如，将手机正面朝上放在平坦的桌面上，逆时针旋转 90 度，然后将它朝外翻转，注意相机的方向。把手机放回原来的位置，首先将它朝外翻转，再逆时针旋转 90 度，现在看看相机是不是朝向右边？这种最初令人震惊的性质，也就是非交换性，它被证明是四元数与现实共同的特征。

然而，新的数系中也隐藏着一个缺陷。当手机或箭头在旋转 $360$ 度恰好旋转一周时，描述 $360$ 度旋转的四元数仅在四维空间中向上翻转 $180$ 度。您需要把手机或箭头完整地转两周才能使对应的四元数恢复到初始状态。（经过旋转一周停止时，对应四元数的逆，因为虚数单位的平方为 $-1$。）想从直觉上感受为什么会这样，请看一下上面的旋转立方体。立方体转一圈会让连结的飘带扭转，而转第二圈它们就再次平展。四元数也有点类似。

颠倒的箭头产生了有误的负面迹象，它可能会对物理学造成严重破坏。因此，自 Hamilton 在桥下刻下四元数后近 40 余年，物理学家们彼此开战 ⁴ 以防止四元数系成为标准。耶鲁大学教授 Josiah Gibbs 在定义现代向量时，冲突爆发了。决定第四个维度确实是太麻烦了，Gibbs 完全删除了其中的实数 $a$ 一项 ⁵，从而抛弃了 Hamilton 的创造：Gibbs 的四元数衍生物保留了 $i$,$j$,$k$ 符号，但他将不便利的四元数乘法分解成单独的运算用于向量相乘，如今这就是每个数学系和物理系的本科生都会学到的：点积和叉积。Hamilton 的门徒将这一新系统称为 “怪物”，而向量的推崇者则将四元数贬低为 “无理取闹”⁶ 和 “原生恶魔”⁷。辩论在期刊和手册中争吵了多年，但易用性最终让向量获胜。

四元数在向量的阴影中失去活力，直到 20 世纪 20 年代量子力学的出现才揭示了其真实身份。虽然正常的 $360$ 度足以完全让光子和其他力粒子旋转一周，但电子和所有其他物质粒子需要旋转两圈才能返回其初始状态。Hamilton 的数系一直在描述这些尚未被发现的实体，它们现在被称为 “旋子”。

尽管如此，物理学家在日常计算中从未使用过四元数，因为基于矩阵也找到了处理旋子的替代方案。只有在过去的几十年里，四元数才开始复兴。四元数在计算机图形学中的应用体现在它们是计算旋转的有效工具，此外，四元数还存在于高维曲面的几何中。特别地，一个被称为超凯莱流形的表面拥有一个有趣的特性，它允许你在向量和旋子之间来回转变——它让向量 - 代数战争的两个阵营联合起来。由于向量描述了力粒子，而旋子描述了物质粒子，因此物理学家对这种特性非常感兴趣 ⁸，他们想知道物质和力之间的对称性（称为超对称性）是否存在于自然界中。（但是，如果确实存在，那么对称性在我们的宇宙中必会被严重破坏 ⁹。）

然而，对于数学家来说，四元数从未真正失去光彩。“自从 Hamilton 发明了四元数，一大群人都决定创建自己的数系，”Baez 说道，“大多数都是完全无用的，但最终 $\cdots$ 它们带来了我们现在所说的近世代数。” 今天，抽象代数学家研究大量的数系，包括各种维度的或拥有各种怪异性质的数系。

Hamilton 的朋友 John Graves 在四元数发明之后不久也发现了一个不那么无用的结构，它是允许进行乘法运算和相应的除法运算的第四个也是最后一个数系。一些物理学家怀疑这些奇怪的八维 “八元数” 可能在基础物理学中发挥着重要作用 ¹⁰。

牛津大学的几何学家 Nigel Hitchin ¹¹ 说：“我认为基于四元数的几何学还有很多东西等待被发现，但如果你想走到新的前沿，那肯定是八元数。”

注：

译者注：

John Baez 在 “数学物理每周发现” 的(第 59 周 )、( 第 152 周 )、( 第 194 周 ) 都提到了四元数和八元数在物理中的应用。

Adolf Hurwitz 在 1898 年证明当且仅当 $n=1,2,4,8$ 时，存在 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 与 $y_1,y_2,\cdots,y_n$ 的实双线性函数 $z_1,z_2,\cdots,z_n$ 使得 $(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2})(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+\cdots+y_{n}^{2})=z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+\cdots+z_{n}^{2}$ 对一切实数 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 与 $y_1,y_2,\cdots,y_n$ 成立。一个简洁的矩阵证明可参考林开亮, 陈见柯，Hurwitz 定理的矩阵证明 [J]，高等数学研究, 2018(1):24-27。事实上，有限维实可除代数的维数只能是 $1,2,4,8$，1958 年 John Milnor 和 Raoul Bott 合作证明这个定理，Michel Kervaire 在同年也独立地得到这个结果，他们在证明中都用到了代数拓扑的技巧，参考 M. Kervaire, Non-parallelizability of the $n$-sphere for $n> 7$, Proc. Natl. Acad. Sci. 44 (1958) 280–283 与 R. Bott, J. Milnor, On the parallelizability of the spheres, Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 64 (1958) 87–89。

原文链接：	https://www.quantamagazine.org/the-strange-numbers-that-birthed-modern-algebra-20180906/
作者：	CharlieWood
翻译：	张浩，博士毕业于中国科学院大学基础数学专业，现从事基础教育工作。

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