混沌简史


讲者信息

丁玖:美国南密西西比大学数学教授,《数学文化》杂志编委。曾获任教大学教学奖和研究奖,2013年出版了科普著作《智者的困惑—混沌分形漫谈》及工具书《数学之英文写作》(与汤涛合作),于2016年秋即将出版新作《亲历美国教育:三十年的体验与思考》。

课程简介

混沌学的研究历经了40年波澜壮阔的发展,其应用遍及自然科学和工程技术的各个领域。但在混沌思想的百年演变史中,最引人注目的是那几个里程碑式的工作,在这一系列的微慕课中,我们将追寻它们的足迹。

课程目录

第一节 庞加莱与“三体问题”
第二节 洛伦茨与“蝴蝶效应”
第三节 斯梅尔与“马蹄铁”
第四节 梅与“逻辑斯蒂模型”
第五节 李天岩和约克与“周期三”
第六节 费根鲍姆与“普适常数”
第七节 乌拉姆和冯 · 诺依曼与“非线性分析”

第一节 庞加莱与“三体问题”

1885年,瑞典国王提出了三体问题,即太阳运动是稳定的么?用数学描绘就是求解九个“二阶非线性常微分方程”。1890年,庞加莱于米塔-列夫勒《数学杂志》上发表了论文《关于三体问题的动力学方程》,并撰写了巨著《天体力学的新方法》,提出了微分方程的“同宿点”可能存在,,被称为“混沌之祖”。

第二节 洛伦茨与“蝴蝶效应”

1961年,“混沌之父”洛伦茨在计算与天气预报有关的三个简单非线性微分方程初值问题的数值解时,发现计算结果同上次计算结果随着时间的推移发生了偏离,从而明白其内在特性“初始小误差导致了结果大误差”,并用“蝴蝶效应”来形象它。

第三节 斯梅尔与“马蹄铁”

数学家斯梅尔在考虑研究动力系统的“结构稳定性”时,虽作出了错误的猜测,但却意外发现了马蹄铁,定义了一个把正方形映到马蹄铁上的拓扑同胚。马蹄铁映射即是混沌的,又是结构稳定的。斯梅尔证明了混沌的本质,即马蹄铁映射同宿点的存在以及由此产生的迭代过程,最终性态对初始状态的敏感依赖性。

第四节 梅与“逻辑斯蒂模型”

梅对逻辑斯蒂模型中的r选取不同参数值,从而展现的人口增减的最终性态进行了研究。其在函数迭代过程中,发现函数迭代的“周期加倍”现象,称之为“简单数学模型具有复杂动力学行为”。

第五节 李天岩和约克与“周期三”

1973年,约克提出了一个想法, “周期三意味着混沌”,该想法是源自洛伦茨关于气象预报的四篇文章。两个星期之后,李天岩完全证明了约克的想法,并共同提出了李-约克定理,并发表了文章《周期三意味着混沌》,第一次在数学上严格引入“混沌”的定义,因而首创了混沌这一数学名词。且李-约克定理的第二部分揭示了混沌的本质,开拓了数学界、科学界对混沌动力系统研究的新纪元。

第六节 费根鲍姆与“普适常数”

费根鲍姆由逻辑斯蒂模型开始数值试验,用它来寻找尺度变化的自相似性规律,在计算分叉参数差比值的极限和收敛常数过程中,发现了不同的函数族有着一致的规律性,从而选择使用大型计算机计算更高精度的极限值,从而发现了“普适常数”。

第七节 乌拉姆和冯 · 诺依曼与“非线性分析”

冯 · 诺依曼、乌拉姆 、费米等在原子弹研究的同时开辟了“非线性分析”新学科。一开始,乌拉姆和冯 · 诺依曼想研究无序排列的迭代点是否在某种意义上有序,通过考虑概率问题,得出混沌映射的无序排列的迭代点列在概率统计的意义下可以是有序的。