把怪物回归常识
王昆扬教授在九江学院作《把怪物回归常识——谈识数》的学术报告
讲者信息
王昆扬，北京师范大学教授，博士生导师；全国模范教师。1966年毕业于北京大学数学力学系，1978～1985年在北京师范大学先后攻读硕士、博士研究生学位，师从孙永生教授，获理学硕士、博士学位。多次作为高级访问学者、访问教授赴德国、澳大利亚、加拿大等国交流学习。
课程简介
公元前一世纪成书的《九章算术》载有开方术，提到存在“开不尽”的情形；其后（公元3世纪）在此书的“开方术注”中给出了用十进数近似表示平方根的知识。公元5世纪人们知道了圆周率（圆的周长与直径的比）的一些十进数表示的近似值。这些常识，是用不循环的十进数表示部分实数的知识，它们不仅不完整，而且囿于直觉。所以在19世纪遭到一些大数学家的理性质疑，他们提出了严格的实数表示方法。主要有Dedekind和Cantor两人创立的形式完全不同的理论。这些理论的表达形式与熟知的常识差别太大，不易被人接受，以至于在《古今数学思想》一书中被称为人类智慧的“怪物”。本微慕课课程的目的是把Cantor表示实数的理论引向常识，通过引入标准列并将其与十进数相对等，给出以十进数表示实数的严格论述。
课程目录
第一节 解释标题
对标题“把怪物回归常识”进行解释。说明所谓“常识”是指人类两千年来对于分数（后称为比例数）及十进数的认识。而到了19世纪，Cantor等数学家发现对于十进数的常识在逻辑上是不严格的，从而提出了他们对于实数的严格理论。他们的理论与常识相距太远，被数学史专家M.Kline称为“怪物”。本课程的目的是对Cantor理论的形式稍加改造，使得对于十进数的常识从直觉上升到严格理性，从而“把怪物回归常识”。
第二节 比例数列的概念
讲述比例数列的概念。引入一系列重要定义，包括：比例数列收敛到极限的定义、基本列的定义、数列等价的定义。进一步给出与十进数对等的标准列的定义。标准列的概念是“把怪物回归常识”的桥梁。
第三节 把比例数表示为十进数的常识
讲述任何一个比例数都是一个十进循环数所对等的标准列的极限。反之，任何一个十进循环数所对等的标准列都收敛到一个比例数。于是，把循环数对等的标准列的极限与循环数本身等同看待，就是初中课本所说：循环数叫做比例数（俗称有理数）的确切含义。这就是把比例数表示为十进（循环）数的常识。这只用到极限概念，不需要Cantor理论。
第四节 把平方根表示为十进数的常识
介绍手工开平方的方法。手工开平方的理论意义是：把十进数的平方根表示为十进数。人们早已（1700年前的“开方术注”）把这件事作为常识。但是这个常识是缺乏严格理性的，只能是一个直观的感性认识。
第五节 Cantor理论
介绍Cantor 理论的具体内容。Cantor把比例数的基本列的等价类定义为实数（的表示）。将比例数和比例数列的一切已知的性质完全推广到实数范围，并且证明了在实数范围内，基本列一定收敛。
第六节 怪物终于回归常识
证明定理6.1 每个比例数的基本列，必等价于唯一一个标准列。这样，每个比例数的基本列的等价类中存在唯一一个标准列，把它作为这个类的代表元，进一步，把这个标准列所对等的十进数，与这个等价类所表示的实数等同看待，Cantor定义的实数就回到了十进数。怪物回归到常识。
第七节 用十进数表示实数的直接论述
把第五节的内容完全隔过去，用十进数及其对等的标准列来演绎Cantor理论，是理解实数的表示的直接方法，容易接受，完全回避“怪物”。
