大家都不会否认数学在科学研究、科技发展、甚至社会科学、企业管理上的贡献,矛盾却在于大家往往只见到这些成就而忘却了数学本身。美国《科学杂志》(Science)的编辑哈密蒙特(Allen Hammond)将数学形容为[我们看不见的文化],美国数学家哈尔莫斯(Paul R.Halmos)更埋怨说[很多受过教育的人竟然不知道我的学科的存在,使我十分伤心!]当然,这不是说大部份人真的不知道有数学,而是说大部份人并没有了解数学是什么。受过普通教育的人,即使不是艺术家也知道有雕刻、绘画;即使不是音乐家也知道有歌曲、旋律;即使不是文学家也知道有诗、小 说;即使不是科学家也知道有核能、蛋白质、微生物、行星。但有多少人知道什么是函数、公理系统、可换群、流 形?再者,不少人虽然[耻]于承认自己对艺术、音乐、文学、科学一无所知,却[勇]于承认自己对数学一窍不通,甚至认为不通数学乃理所当 然。坦白的时候,纵非喜形于色,亦必心安理得!

其实,我们根本是生活在数学的世界之中,数学就在我们周围,直接地间接地影响了我们的生活。它的过去、现在、甚至可以预测它的将来,永远是如此多姿多采。一般人对数学的误解,大体而言可分为几项对立的二分法:有些人以为数学是枯燥无味或者深奥难懂的学问,却有些人以为数学是引人入胜的智力游戏;有些人以为数学是与现实世界毫无关连的学问,却有些人以为数学是无往不利的万应灵丹;有些人以为没有直接应用价值的数学只是钻牛角尖的玩意,却有些人以为只有纯理论才配称得上数学的美名。对于这些见解,你有什么看法呢?

很多教师都一定碰过学生提到这个问题:[数学有何用?]数学应用范围既广泛也深刻,中国数学家华罗庚说得好:[宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之变、生物之谜、日用之繁、无处不用数学。]([大哉数学之为用],见《华罗庚科普著作选集》,上海教育出版社,1984年,337页,原刊于《人民日报》,28.05.1959.)几年前我在一篇文章里也说过这样的一段话(EduMath第16期,2003年6月,5-6页):

固然,数学的价值并非单凭它在日常生活中的应用去确立,但对大众而言,这是较重要也是较具说服力的一面。但同时这一面也带来相应的困惑,就是一门学科之用,是否用得其所?英30数学与我何干?31国数学家哈代(Godfrey Harold Hardy)逝世前几年写了一本小书,题为《一位数学家的辩白》(A Mathematician’s Apology, 1940),字里行间一方面流露出一股[英雄迟暮]的苍凉感,另一方面很为自己选了很[纯]的数论研究而欣慰。他说:[至今为止没有人找到数论或者相对论于战争的用途,看来在很多年后也不会有人找到这样的用途......因此一位真正的数学家[意指研究纯数的人]可以清心直说,他的任何工作绝无不宜成份。······数学是一门无害且清白的行业。]大家倒不要断章取义草率地得出结论,认为哈代以数学[无用](useless)而自豪,甚至视数学的任何应用是玷污了数学的清白。要真正了解哈代的意思,你应该找原书看一看,尤其应该细读第21及22节。再者,我们也得明白哈代写作该书的时代背景,当时欧洲战火刚燃,惨痛的第二次世界大战开始了不久。要是哈代多活三十年,他便知道数论亦非如此[无害且清白],因为密码学用上了看似最无用的数论知识!如同别的科学家一般,数学家也无法置身事外,因为如同别的科学成果一般,数学成果既可造福人群,也可带来祸害

密码学究竟还有民用的一面,非仅军事用途而已。在今天的商业社会里,银行账目来往,电子金融交易,都离不开它。所以,哈代亦毋须过份自责。但是,数学的确有用不得其所的情况,甚至可以说是不道德的运用,以下叙述的一个例子,是我多年前读到的一则报导(《明报》,11.7.1999)。

美国通用汽车公司出产了一种型号的汽车,油缸很接近车尾保险杠,车尾被撞时容易引起爆炸。在1993年发生了一宗车祸,爆炸引致六名乘客严重烧伤,后来伤者控告汽车公司,法庭判决公司要付一亿七百万美元惩罚性赔偿。控方律师指出其实公司老早便晓得设计失误,但曾经秘密进行了一次成本效益分析,计算得来这样的结果:如果把出了厂的五百万部有问题的汽车收回改装,每部车得花8.59美元;如果不收回改装,有若干机会发生车祸,即使要赔偿,估算每部车仅花2.40美元。为了每部车约6美元的相差,公司便没有把汽车收回改装,终于在那宗车祸中付了相当于每部车980美元的赔偿!问题并不在于为省6美元却付出980美元,主要是生命宝贵,岂可若无其事地当作概率期望值去计算呢?

这也使我想起以下英国小说家狄更斯(Charles Dickens)在1854年写的小说《艰苦时代》(Hard Times)里的一段情节,小姑娘西丝(Sissy)向女少主人露意莎(Louisa)哭诉她在学校学不好数学。

麦卓康赛先生(Mr.M’Choakumchild)说:

在很多数学教师的心目中,数学是[中性]的科目,只是一种有用的工具;不像别的科目,如文学、历史、社会、经济等等,数学并不涉及道德价值观。但也许,我们需要聆听学生的心声。

上面提到的是数学用不得其所的情况,但数学也可以在德育方面起一种潜移默化的正面作用。明代士大夫学者徐光启与耶稣会传教士利玛窦(MatteoRicci)合译欧几里得(Euclid)的《原本》(Elements)前六卷。徐光启对该书有此评价:[此书为益,能令学理者祛其浮气,练其精心,学事者资其定法,发其巧思,故举世无一人不当学。]又言:[此书有五不可学:燥心人不可学,粗心人不可学,满心人不可学,妒心人不可学,傲心人不可学。故学此者不止增才,亦德基也。]刚于数年前逝世的俄罗斯数学教育家沙雷金(Igor Fedorovich Sharygin)对几何情有独钟,并且说过: “几何乃人类文化重要的一环。几何,还有更广泛的数学,对儿童的品德培育很有益处。几何培养数学直觉,引领学生进行独立原创思维,几何是从初等数学迈向高等数学的最佳途径。”他还说:“学习数学能够树立我们的德行,提昇我们的正义感和尊严, 增强我们天生的正直和原则。数学境界内的生活理想,乃基于证明,而这是最崇高的一种道德概念。”

今天,有多少数学教师仍然怀著这种信念在课堂上授课呢?