去年12月,美国康涅狄格州发生校园枪击案,造成28人死亡。
资料显示,1982年至2012年,美国共发生62起(大规模)枪击案。其中,2012年发生了7起,是次数最多的一年。
去年有这么多枪击案,这是巧合,还是表明美国治安恶化了?
前几天,我看到一篇很有趣的文章,使用"泊松分布"(Poisson distribution),判断同一年发生7起枪击案是否巧合。 让我们先通过一个例子,了解什么是"泊松分布"。
已知某家小杂货店,平均每周售出2个水果罐头。请问该店水果罐头的最佳库存量是多少?
假定不存在季节因素,可以近似认为,这个问题满足以下三个条件:
在统计学上,只要某类事件满足上面三个条件,它就服从"泊松分布"。
泊松分布的公式如下:
各个参数的含义:
根据公式,计算得到每周销量的分布:
每周销出的罐头数量(k) | 概率(p) | 累积概率 |
---|---|---|
x=0 | 0.135 | 0.135 |
x=1 | 0.271 | 0.406 |
x=2 | 0.271 | 0.677 |
x=3 | 0.180 | 0.857 |
x=4 | 0.090 | 0.947 |
x=5 | 0.036 | 0.983 |
x>=6 | 0.017 | 1.000 |
从上表可见,如果存货4个罐头,95%的概率不会缺货(平均每19周发生一次);如果存货5个罐头,98%的概率不会缺货(平均59周发生一次)。
现在,我们再回过头,来看美国枪击案。
假定它们满足"泊松分布"的三个条件:
显然,第三个条件是关键。如果成立,就说明美国的治安没有恶化;如果不成立,就说明枪击案的发生概率不稳定,正在提高,美国治安恶化。
根据资料,1982--2012年枪击案的分布情况如下:
一年中发生枪击案的数量 | 年数 |
---|---|
0 | 4 |
1 | 10 |
2 | 7 |
3 | 5 |
4 | 4 |
5 | 0 |
6 | 0 |
7 | 1 |
计算得到,平均每年发生2起枪击案,所以 λ = 2 。
上图中,蓝色的条形柱是实际的观察值,红色的虚线是理论的预期值。可以看到,观察值与期望值还是相当接近的。
一年中发生枪击案的数量 | 观察值 | 泊松分布期望值 |
---|---|---|
0 | 4 | 4.2 |
1 | 10 | 8.39 |
2 | 7 | 8.39 |
3 | 5 | 5.59 |
4 | 4 | 2.8 |
5 | 0 | 1.12 |
6 | 0 | 0.37 |
7 | 1 | 0.11 |
我们用"卡方检验"(chi-square test),检验观察值与期望值之间是否存在显著差异。
计算得到,卡方统计量等于9.82。查表后得到,置信水平0.90、自由度7的卡方分布临界值为12.017。因此,卡方统计量小于临界值,这表明枪击案的观察值与期望值之间没有显著差异。所以,可以接受"发生枪击案的概率是稳定的"假设,也就是说,从统计学上无法得到美国治安正在恶化的结论。
但是,也必须看到,卡方统计量9.82离临界值很接近,p-value只有0.18。也就是说,对于"美国治安没有恶化"的结论,我们只有82%的把握,还有18%的可能是我们错了,美国治安实际上正在恶化。因此,这就需要看今后两年中,是否还有大量枪击案发生。如果确实发生了,泊松分布就不成立了。
参考文献