神奇的Gamma函数 (上)

rickjin 2013-04-27 10917

Gamma 函数诞生记

学高等数学的时候，我们都学习过如下一个长相有点奇特的Gamma函数

$$ \Gamma(x)=\int_0^{\infty}t^{x-1}e^{-t}dt $$

通过分部积分的方法，可以推导出这个函数有如下的递归性质

$$\Gamma(x+1) = x \Gamma(x)$$

于是很容易证明，$\Gamma(x)$ 函数可以当成是阶乘在实数集上的延拓，具有如下性质

$$\Gamma(n) = (n-1)! $$

学习了Gamma 函数之后，多年以来我一直有两个疑问：

1.这个长得这么怪异的一个函数，数学家是如何找到的；
2.为何定义 $\Gamma$ 函数的时候，不使得这个函数的定义满足$\Gamma(n) = n! $ 而是 $\Gamma(n) = (n-1)! $

最近翻了一些资料，发现有不少文献资料介绍 Gamma 函数发现的历史，要说清楚它需要一定的数学推导，这儿只是简要的说一些主线。

1728年，哥德巴赫在考虑数列插值的问题，通俗的说就是把数列的通项公式定义从整数集合延拓到实数集合，例如数列 $1,4,9,16,\cdots$ 可以用通项公式 $n^2$ 自然的表达，即便 $n$ 为实数的时候，这个通项公式也是良好定义的。直观的说也就是可以找到一条平滑的曲线$y=x^2$通过所有的整数点$(n,n^2)$，从而可以把定义在整数集上的公式延拓到实数集合。一天哥德巴赫开始处理阶乘序列 $1,2,6,24,120,720,\cdots$,我们可以计算 $2!,3!$, 是否可以计算 $2.5!$呢？我们把最初的一些 $(n,n!)$的点画在坐标轴上，确实可以看到，容易画出一条通过这些点的平滑曲线。

但是哥德巴赫无法解决阶乘往实数集上延拓的这个问题，于是写信请教尼古拉斯.贝努利和他的弟弟丹尼尔.贝努利，由于欧拉当时和丹尼尔.贝努利在一块，他也因此得知了这个问题。而欧拉于1729 年完美的解决了这个问题，由此导致了$\Gamma$ 函数的诞生，当时欧拉只有22岁。

事实上首先解决$n!$的插值计算问题的是丹尼尔.贝努利，他发现，

如果 $m,n$都是正整数，如果 $m \rightarrow \infty$，有

$$ \frac{1\cdot 2\cdot 3 \cdots m}{(1+n)(2+n)\cdots (m-1+n)}(m+\frac{n}{2})^{n-1} \rightarrow n! $$

于是用这个无穷乘积的方式可以把$n!$的定义延拓到实数集合。例如，取 $n=2.5$, $m$ 足够大，基于上式就可以近似计算出 $2.5!$。

欧拉也偶然的发现 $n!$ 可以用如下的一个无穷乘积表达

\begin{equation} \label{euler-series} \Bigl[\Bigl(\frac{2}{1}\Bigr)^n\frac{1}{n+1}\Bigr] \Bigl[\Bigl(\frac{3}{2}\Bigr)^n\frac{2}{n+2}\Bigr] \Bigl[\Bigl(\frac{4}{3}\Bigr)^n\frac{3}{n+3}\Bigr] \cdots = n! \quad (*) \end{equation}

用极限形式，这个式子整理后可以写为

\begin{equation} \label{euler-series2} \lim_{m \rightarrow \infty} \frac{1\cdot 2\cdot 3 \cdots m}{(1+n)(2+n)\cdots (m+n)}(m+1)^{n} = n! \quad (**) \end{equation}

左边可以整理为

\begin{align*} & \frac{1\cdot 2\cdot 3 \cdots m}{(1+n)(2+n)\cdots (m+n)}(m+1)^{n} \\ = & 1\cdot 2\cdot 3 \cdots n \cdot \frac{(n+1)(n+2)\cdots m}{(1+n)(2+n)\cdots m } \cdot \frac{(m+1)^{n}}{(m+1)(m+2)\cdots (m+n)} \\ = & n! \frac{(m+1)^{n}}{(m+1)(m+2)\cdots (m+n)} \\ = & n!\prod_{k=1}^{n} \frac{m+1}{m+k} \rightarrow n! \qquad (m\rightarrow \infty) \end{align*}

所以 (*)、(**)式都成立。

欧拉开始尝试从一些简单的例子开始做一些计算，看看是否有规律可循，欧拉极其擅长数学的观察与归纳。当 $n=1/2$ 的时候，带入(*)式计算，整理后可以得到

$$\Bigl(\frac{1}{2}\Bigr)! = \sqrt{\frac{2\cdot4}{3\cdot3} \cdot \frac{4\cdot6}{5\cdot5}\cdot \frac{6\cdot8}{7\cdot7} \cdot \frac{8\cdot10}{9\cdot9} \cdots}$$

然而右边正好和著名的 Wallis 公式关联。Wallis 在1665年使用插值方法计算半圆曲线 $y = \sqrt{x(1-x)}$ 下的面积(也就是直径为1的半圆面积)的时候，得到关于$\pi$的如下结果，

$$ \frac{2\cdot4}{3\cdot3} \cdot \frac{4\cdot6}{5\cdot5}\cdot \frac{6\cdot8}{7\cdot7} \cdot \frac{8\cdot10}{9\cdot9} \cdots = \frac{\pi}{4}$$

于是，欧拉利用 Wallis 公式得到了如下一个很漂亮的结果

$$ \Bigl(\frac{1}{2}\Bigr)! = \frac{\sqrt{\pi}}{2} $$

大数学家欧拉

欧拉和高斯都是具有超凡直觉的数学家，但是欧拉和高斯的风格迥异。高斯是个老狐狸，数学上非常严谨，发表结果的时候却都把思考的痕迹抹去，只留下漂亮的结果，这招致了一些数学家对高斯的批评；而欧拉的风格不同，经常通过经验直觉做大胆的猜测，而他的文章中往往留下他如何做数学猜想的痕迹，而文章有的时候论证不够严谨。拉普拉斯曾说过：”读读欧拉,他是所有人的老师。”波利亚在他的名著《数学与猜想》中也对欧拉做数学归纳和猜想的方式推崇备至。

欧拉看到 $ (\frac{1}{2})!$ 中居然有 $\pi$, 对数学家而言，有$\pi$ 的地方必然有和圆相关的积分。由此欧拉猜测 $n!$ 一定可以表达为某种积分形式，于是欧拉开始尝试把 $n!$ 表达为积分形式。虽然Wallis 的时代微积分还没有发明出来，Wallis 是使用插值的方式做推导计算的，但是Wallis 公式的推导过程基本上就是在处理积分 $\int_0^1 x^\frac{1}{2}(1-x)^\frac{1}{2}dx$，受 Wallis 的启发，欧拉开始考虑如下的一般形式的积分

$$ J(e,n) = \int_0^1 x^e(1-x)^ndx$$

此处n 为正整数，$e$ 为正实数。利用分部积分方法，容易得到

$$ J(e,n) = \frac{n}{e+1}J(e+1,n-1) $$

重复使用上述迭代公式，最终可以得到

$$ J(e,n) = \frac{1\cdot2\cdots n}{(e+1)(e+2)\cdots(e+n+1)} $$

于是欧拉得到如下一个重要的式子

$$ n! = (e+1)(e+2)\cdots(e+n+1)\int_0^1 x^e(1-x)^ndx $$

接下来，欧拉使用了一点计算技巧，取 $e=f/g$ 并且令 $f \rightarrow 1, g \rightarrow 0$,

然后对上式右边计算极限(极限计算的过程此处略去，推导不难，有兴趣的同学看后面的参考文献吧)，于是欧拉得到如下简洁漂亮的结果：

$$ n! = \int_0^1 (-\log t)^ndt $$

欧拉成功的把$n!$表达为了积分形式！如果我们做一个变换 $t=e^{-u}$,就可以得到我们常见的Gamma 函数形式

$$ n! = \int_0^{\infty} u^ne^{-u}du $$

于是,利用上式把阶乘延拓到实数集上，我们就得到 Gamma 函数的一般形式

$$ \Gamma(x) = \int_0^1 (-\log t)^{x-1}dt = \int_0^{\infty} t^{x-1}e^{-t}dt $$

Gamma 函数找到了，我们来看看第二个问题，为何 Gamma 函数被定义为 $\Gamma(n)=(n-1)!$, 这看起来挺别扭的。如果我们稍微修正一下，把Gamma 函数定义中的 $t^{x-1}$ 替换为$t^x$
$$ \Gamma(x) = \int_0^{\infty} t^{x}e^{-t}dt $$

这不就可以使得 $\Gamma(n)=n!$了嘛。欧拉最早的Gamma函数定义还真是如上所示，选择了$\Gamma(n)=n!$，可是欧拉不知出于什么原因，后续修改了 Gamma 函数的定义，使得$\Gamma(n)=(n-1)!$。而随后勒让德等数学家对Gamma 函数的进一步深入研究中，认可了这个定义，于是这个定义就成为了既成事实。有数学家猜测，一个可能的原因是欧拉研究了如下积分

$$ B(m, n) = \int_0^1 x^{m-1}(1-x)^{n-1}dx $$

这个函数现在称为Beta 函数。如果Gamma 函数的定义选取满足 $\Gamma(n)=(n-1)!$, 那么有

$$ B(m,n) = \frac{\Gamma(m)\Gamma(n)}{\Gamma(m+n)} $$

非常漂亮的对称形式。可是如果选取$\Gamma(n)=n!$ 的定义，令

$$ E(m, n) = \int_0^1 x^{m}(1-x)^{n}dx $$

则有

$$ E(m,n) = \frac{\Gamma(m)\Gamma(n)}{\Gamma(m+n+1)} $$

这个形式显然不如 $B(m,n)$优美，而数学家总是很在乎数学公式的美感的。

要了解更多的 Gamma 函数的历史，推荐阅读

Philip J. Davis, Leonhard Euler’s Integral: A Historical Profile of the Gamma Function
Jacques Dutka, The Early History of the Factorial Function
Detlef Gronnau, Why is the gamma function so as it is?

原文来源:	http://www.52nlp.cn/lda-math-神奇的gamma函数(1)
作者:	rickjin(靳志辉)
校对:	汤涛，香港浸会大学数学讲座教授

神奇的Gamma函数 (上)

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