最近，信贷紧缩的消息占据了主导地位。专栏作家大叫“混沌的市场”，而股票价格看起来可能会维持一段时间的“动荡”。人们正在紧张地等着看政府对银行的部分收购是否能将给我们带来稳定，同时指责银行家不正确定价的风险。我一直对所听到的新闻中的数学术语感到好玩，特别是当信贷紧缩的原因之一是借款人不理解他们抵押贷款交易的数学意义。

股票市场：确定的还是随机的？

那么，是什么带动了市场？它们是确定性的吗？是有规律可循，还是有机会的因素在起作用，使得政府不太可能改变它们的行为吗？

从有序到混沌

让我们开始考虑一个完全确定的系统，它没有随机的余地：完全按照艾萨克·牛顿爵士设计的世界。牛顿的运动定律描述像地心引力这样的力作用下物体的行为。它们由描述变化率的微分方程语言来刻画。他的定律的精密性、准确性，以及看似普遍的适用性，使人们容易把宇宙想象成一个具有巨大发条的机器。如果有足够的数据描述目前的世界，应该可以预测未来究竟会发生什么，直到永远为止。这就为自由的意志提出了一个严肃的哲学问题，但是这种精确知识的想法对科学家们是诱人的，以至于这个带发条的宇宙支配了我们的世界观超过200年。

然而，我们最近都看到股市的疯狂运动，数十亿英镑在区区几个小时内化为乌有。如果市场和发条一样的话，它不是一个你能依靠的时钟！在过去的40年中，数学家们越来越多地认识到，确定性的行为可以有如此不可预测的波动，以至于它看起来像随机的运动：这类研究被称为混沌理论。混沌的第一个例子就是来自牛顿的那个定律。当两颗恒星彼此运动时，我们可以预测它们几千年间的位置，但当引入第三个星球后，它们开始像股票市场指数那样摇摆不稳：这就是三体问题，并会产生混沌。

深远的影响

但究竟什么是混沌？它的特点之一是初始条件的微小变化可以导致完全不同的行为。在20世纪60年代，气象学家爱德华·洛伦茨研究了大气的计算机模型。为了检查计算机的运行情况，他在每个计算的中途记录数据，然后再从那里重新启动计算机模型。有一次重新启动后，他惊奇地发现显著不同的结果。起初，他以为这是一个错误，但他最终摸索出了是什么原因：他输入了0.506，这是在计算机上敲入的数，而不是0.506127，这是计算机内存中的数。这些数只有千分之一左右的误差，但由于通过计算机的大量运算，这微小的差别放大成一个巨大的差异。洛伦茨把这命名为蝴蝶效应，因为这种敏感性的微小天气变化意味着，在中国的一只蝴蝶扇动它的翅膀，理论上可以在美国造成一场飓风。这就是为什么天气预报只对几天有效：微小的错误迅速淹没了正确的预测。

顺便说一句，混沌不总是坏消息。1990年，日本发射了一个小探测器到月球，而更大的航天器则绕地球旋转。小探测器的无线电失败，没有任何方法来控制它。较大的航天器只剩下到达月球所需燃料的十分之一，情况似乎无望。不过，日本团队还记得，十年前一个名为Edward Belbruno的数学家曾经证明，三体问题可以产生有用的路径，几乎不需要燃料。恒星和行星之间的复杂相互作用可能会导致引力结合并形成渠道，把它们中的任何东西推动到某个目的地。NASA曾经对此没有兴趣，混沌的路径速度太慢，因而这样的想法被丢弃了。但日本人跟随了Belbruno，他们发现了一条路径，到月球只使用了一半的剩余燃料！得益于蝴蝶效应，航天器飞到了月亮并超越了它。

确定性世界里的混沌

混沌系统的另一个特点是，它们可能会突然翻转，从一种行为到另一个大不相同的行为。想想某些种类的债务如何突然变成了风险，而不是银行的资产。这种突然的变化被称为相变。看相变怎样工作的方法之一是观察自来水。将自来水非常缓慢地打开，你听到定期的滴、滴、滴声音。水龙头稍微打开大一点，水滴变得更加频繁，并具有各不相同的大小。再打开一点，水滴成为完全不规则和不可预测的：混沌入场。继续下去，水平息下来，成为平稳水流。但是一旦你增加得太多，水开始扭曲，起泡并呈螺旋式：湍流开始。通过稳步增加流量，我们看到规律性和混沌，而没有离开确定性的世界。

数字中的安全

到目前为止，我们把股票市场看成是确定性的，并已经看到，它的价格波动暗示着它可能是混沌的，并且它最近经历了一个相变。但最重要的原因是由于机遇吗？或者真正的问题是我们没有正确地确定我们的金融风险？而不是借款人获得无法负担得起的抵押贷款以期房价上涨，也不是银行购买了作为见效快赌博的重新包装的债务。

为了分析机遇，我们需要概率论，这是一个比较年轻的数学分支，只有400岁。它的年轻部分是由于这样的事实，概率的概念对我们不很自然。作为概率如何反直觉的一个例子，想想著名的生日悖论：有多少人需要在一个房间里，使得他们中的两个人至少有1/2的概率共享一个生日？想想所有的可能性，我们觉得这应该是一个相当大的数，可能有100。事实上，它是23。Marcus duSautoy告诉我这是一场足球比赛的参与人数：两队球员数各为11，另加一个裁判。如果你检查本周末的英超所有球员和（关键之处）裁判的生日，你会发现大约一半的比赛配有共享生日的人。令我们------即使是专业的数学家------关于23这个数目之小而感到惊讶的是，我们对于概率的理解如此地糟糕。

“什么，也是你的生日吗？” 富勒姆对阵博尔顿（图片来源：D.Nutall.）

让我们再举一个例子：养老金。年金是你在养老金中买的产品------为了生活保证的年度金额。养老金的历史上充斥着破产------在17世纪，当威廉三世卖固定价格年金，付给30岁人或70岁人一样多的钱时，即便30岁可能活得更久，他一定已经失去了财富！在这段时间，保险诈骗变得如此受欢迎，使得人们可以买保险以防死于酗酒！

保险公司很快就注意到了，它一次性保险许多人，这令它更安全：一小部分活得出乎意料的长从而把保险公司口袋里的钱掏走的人，和那些同等数量的早死者相平衡。该做法的基础是大数定律：你没有办法预测一个人能活多久，但一旦你看看一大群人，就可以相当有信心地知道，那些死在某些年龄的人的比例将遵循一些过去的分布。

但是，大量债务捆绑在一起不是金融危机的原因之一吗？是的，然而把具有相同风险的事情结合在一起，其中大数定律使得事情变得相当可预测的。这与混合一大堆不同的风险而其中很难知道最终结果是有本质差别的。

从混沌到有序

有时，甚至强于大数定律的东西在起作用，并且随机的原因几乎每次产生相同的事件。想象一组有彩虹7色的咖啡杯子和碟子，以彩虹顺序红、橙、黄等布置在一个圆圈上。在它们旁边是一张纸和一个指令。它说：“顺时针方向移动杯和两个碟子”。反复运用这个指令后，我们可以达到杯子和碟子什么样的模式？橙色的杯子旁边是红色杯子，所以它们总是邻居：如果我们移动红色的杯子，我们也将移动橙色的杯子。因此，这两个杯子保留它们在彩虹中的次序。当我们反复移动这两个杯子，红杯跳过黄色杯碟，到达橙色，然后跳过绿色，到达蓝色，然后跳过靛蓝，到达紫，跳过红色，到达橙色，然后绿色，最后到达靛蓝，然后返回到红色杯碟。这访问了每一个杯碟。

事实上，指令是否说移动杯子两个碟子或任何其他数目的碟子并不重要。在每一种情况下，红色杯最终将达到每一个杯碟，所有其他杯也跟着这样。因此，让我们想象一下，不在桌子上放一个指令，而是放一个袋子，内有七个指令：移动杯至固定数目的碟子处，或不动它们。我们伸进袋中随机选择一张纸。只要我们摸不到“请勿触摸杯具”的指令，如果我们照此行动多次，最终清盘以杯子和碟子同样的安排收场：假如我们移动所有的杯子，红色杯最后将访问每一个杯碟。

是什么使之工作呢？奥妙是7为一个素数这个事实。例如，如果指令“顺时针移动杯子2个子碟”将红杯移到所有的杯碟，则杯具的数量必为偶数。但对于素数个数的杯子，只要我们不挑“不碰杯”指令，红色的杯子将到达所有的碟子。并且当杯的个数变大，我们挑选“不要碰杯”的机会就下降：997个杯子时机会是千分之一左右。为什么我选择其貌不扬的数997？因为这是一个素数！

机遇的对称

这给我们带来了对称的概念。由对称组成的集合，若其任何成员与任何其他成员想结合的结果还是这个集合的一成员，则此集合被称为群。此任意两条指令相结合已经是当中一指令的这个属性被称为闭包。我们的咖啡杯指令就是一个例子：“移动2”，然后“移动3”与“移动5”一样。群由不能被分解成更小部分的单群组成。我们七个杯例子中的对称形成一个单群，因为七是素数。但于六个杯子情形，我可以有一个指令袋告诉我，移动两个或四个杯碟或留在原地，而另一指令袋说移动三个或留在原地。两个口袋里只有五个指令时，其中每个袋子都是一个封闭的指令集，我可以让所有六个指令工作。6个对称组成的群可以分解成两个较小的集合，每一个本身就是一个群。

富勒姆对阵博尔顿（图片来源：D.Nutall.）

群出现在许多不同的背景中，有无穷多个不同的群。事实上，他们称为单群的基本构建块也多得数不清。单群可以随便想多大有多大。数学的一个结果是20世纪80年代的有限单群完全分类。这花了数千页的数学，通过数百个数学家合作做成：我当时也曾想加入他们的行列！最近已被证明，如果我们在一个有限单群中选取两个随机对称，并以所有可能的方式来组合它们，那么当我们所选择的群变得越来越大时，我们以越来越接近于1的概率获得一切可能的对称。来自随机机遇的完全可预测性。有一件我要做的事是设计群的计算机算法。事实证明，群的随机化的算法通常远远快于确定性的算法，这是因为我们可以证明几乎所有的对称组成的随机集会产生相同的行为。

我希望我已经成功地说服你，似乎可预见的、正规的行为并不一定有确定性的原因------完全有可能它来自于偶然事件。反过来，貌似狂野的、不稳定的和彻头彻尾的混沌行为可以从一个简单的系统出现，比如地球、月球和太空飞船之间出现的引力相互作用。股市显示了这两种类型的行为。对政府而言的坏消息是，在某些系统中，像我们放置咖啡杯的桌子，几乎所有的行动导致同样的结果。好消息是，在混沌系统中，一个很小的动作可以改变一个庞大而复杂的交互行为。上帝保佑它工作！