薛定谔方程意味着什么?


薛定谔方程之于量子力学宛如牛顿运动第二定律之于经典力学:牛顿第二定律描述一个物理系统,例如某些力作用下的一组粒子,怎样随时间而变。在经典力学中我们所要的是所有粒子在每个时间$t$的位置和动量:这给了你系统的全部描绘。而在量子力学中,关于系统的信息包含在薛定谔方程的波函数解$\Psi$中。波函数的绝对值平方$|\Psi|^2$被解释成一个概率密度。例如,对于我们在盒子中的粒子,$|\Psi(x)|^2$给出在位置$x$处发现粒子的概率密度。但是对许多粒子的系统也可以求解薛定谔方程,找到用于其它可观察量(比如粒子的动量)的波函数。

照片摄于1927年第五届苏威会议
沃尔夫冈·泡利,维尔纳·海森堡(后排左数第五位,第六位)
路易·德布罗意,玻恩,尼耳斯·玻尔 (中间排左数第七位,第八位,第九位)
普朗克,阿尔伯特·爱因斯坦 (前排左数第二位,第五位)

波在哪里?

量子力学到底精确地告诉了我们什么?薛定谔方程出自如下的想法:像电子这样的粒子在有些情况下行为像微粒,而在其他情形下又像波:这就是所谓的波粒二象性。马上出现的一个问题是:为什么我们从未见到像桌子、椅子这样的大物体有波的行为。

作为具有启发性的一个论据,回忆德布罗意关于一个“质量波”的波长$\lambda$和动量$p$之间的关系

\[ \lambda = h/p, \]

其中$h$是普朗克常数。物体的动量$p$等于质量乘以它的速度。量子力学的一个结果是没有物体完全静止,因此$p$从不为零。但是普朗克常数$h=6.626068 \times 10^{-34}m^2 kg/s$是如此不可思议地小,以至于即便最小的质量和速度还是使得波长$\lambda$也可以忽略不计。它如此之小使得我们通常感知不到宏观物体的波动。

有物理波吗?

下一个问题是怎样解释波函数。不像以往对物理系统的经典解释,波函数并不给出一个粒子于时刻$t$关于其位置的确定信息---它仅仅给出时间$t$在一个给点位置发现粒子的概率。我们通常用概率来量化我们的不确定:如果我说一只硬币有二分之一的机会面朝上或底朝上,这仅仅反映出我不知道下一次抛掷后哪面朝上的这一事实。故由波函数给出的概率也许以类似的方式度量我们的不知道程度:比如说当一个粒子在盒子中运动时,它任何时刻总是在之中某处,只是我们在度量出它之前并不知晓。德布罗意的确是开辟了这种确定性处理的先驱。它后来由大卫·玻姆发展而以量子力学的引导波学说解释,或以玻姆力学闻名点。但这是少数人的观点。大多数物理学家相信像双孔实验表明一个粒子在空间中真的能变得不受原地限制的。“有一种知觉认为粒子同时在所有的这些位置上,但这样说所担心的是仍然只有一个粒子,”Short说。

所以,也许波函数描述了空间的一种物理波,该粒子像粘性物质一样沿着它传播---我们从来没有看到这个粘性物质粒子,因为当我们测量时它不知怎的可以收缩到一个点。在我们盒子内粒子的例子中,薛定谔方程的解

\[ \psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin \left( \sqrt{\frac{npx}{L}} \right), \;  n = 1, 2, 3, 4 \ldots \]

确实描绘“粘性物质”粒子可以合理传播波。但一旦我们有几个粒子,麻烦就来了。设想,有三个粒子。在这种情况下波函数是一个多变量的函数(三个粒子中的每一个可能的三个位置坐标及时间),一般是不可能把它分解成对应于每个粒子的分量,甚至都不能绘制这个“波”,因为你需要超过三个以上的维数来做到这一点。通常波函数不能描述一个物理波,因为它不是一个在物理空间上定义的函数。相反,它是在相空间中定义的:它的输入是粒子在所有位置上所有可能的配置,它取的函数值与在给定的时刻于给定的配置中发现粒子的概率有关。

盒子中的粒子:x轴表示粒子的位置,y轴表示粒子的能量。允许的前4级能量水平在图中用水平虚线表示。
波函数叠加显示在图中相应的能量水平位置上。图片来源:Papa November

不总能将一个多粒子系统的波函数整齐地分解成各个组成部分这一事实说明了量子力学的另一古怪之处:曾经相互作用,使得它们形成的系统由一个单一波函数描述的两个粒子,可以神秘地保持链接,即使它们已经移动到相隔几个光年。

这个神秘的连接被称为量子纠缠。当作用对纠缠态粒子之中的一个发生时,相应的作用可以发生于远处的伙伴粒子,这是爱因斯坦所形容的“幽灵般的超距作用”的现象。

但是,即便当波函数一般不表示三维空间中的一个直接的波,问题仍然存在:是否存在某种与之相关的物理波。一些物理学家,包括德布罗意,薛定谔和玻姆认为是应该的。虽然努力到今天仍在继续,人们并没有找到能让主流物理学家认同的理论。

其他人,包括沃尔夫冈·泡利、维尔纳·海森堡和尼尔斯·玻尔反对这逼真的画面,并把波函数作为提供或然性的一个单纯的数学工具。事实上,他们认为像“我们并没有寻找的粒子在哪里”这样的问题是没有意义的:科学无法描述自身的性质,但人们可以对它有一定的知识。所以我们可以回答的唯一问题是关于测量的可能结果这一问题。而这恰恰就是波函数所给予我们的。这种观点被称为量子力学的哥本哈根解释。它与经典物理学所基于的直觉形成了鲜明的对比:存在一个客观的现实,它即使不是我们所寻找的,却是科学能描述的。

测量奇迹

无论有没有一个物理波,遗留的大问题仍然是,当我们来到一起并进行测量时究竟发生了什么。我们将只在一个地方发现粒子,但薛定谔方程并没有告诉我们为什么会是这样的情况,或这个位置应该是在何处。它的解仅仅为我们提供了概率。而且,还有该方程的另一个方面,它甚至更有力地说明了这种与现实之间的紧张局面:这是一个线性方程。这意味着,如果波函数$\Psi_1$、$\Psi_2$是解,则它们的和$\Psi = \Psi_1 + \Psi_2$也是一个解。但是$\Psi_1$和$\Psi_2$可以对应于大大不同的情况,例如$\Psi_1$可能对应于月球上的粒子(所以它于不在月球的所有位置都为零),而$\Psi_2$可能对应于地球上的粒子(所以除了在地球之外处处为零)。由于和$\Psi_1 + \Psi_2$也是一个解,这给出一种感觉,粒子在这两个地方都出现过。当发生这种情况时,我们说粒子是在这两种状态$\Psi_1$和$\Psi_2$叠加。

“当我们做一个实验时,我们看不到所有这些叠加的解,我们看到的只是其中之一,”Bouatta说。“这是与方程对峙的紧张局势。当你仅看方程时你不明白测量时发生了什么。”测量奇迹如何而来,物理学家没有达成共识。“大多数人可能不肯定任何解释,他们只是说,我们不能确信,”Short说。

塌缩的波

有些人认为,当作测量时,粒子以某种方式“决定”走向何方,而相应的波函数有可能出现塌缩。在盒内粒子的例子中,波函数在盒中的许多地方不为零,即说明在这些地方找到粒子的概率不为零。一旦盒子被打开,发现了粒子在一定的位置,所以波函数在该位置有一个非零值,而在其他地方是零,而波函数在非零的位置有一个尖峰。瞬间之后,再进行测量,粒子很可能仍然在附近,所以波函数展开了一点,并有一个单峰。随着时间的推移,它会传播得越来越多。

关于塌缩处理的一个问题是波函数的远处粒子怎样“知道”已有一个测量并因此它们应该塌缩。例如,假设一个粒子是如上所述在两个位置之间的叠加处,这些位置之一是在地球上,另一个在月球上。如果现在地球上的观察者检测到粒子,那么在月球上波函数必须瞬间消失。但是,爱因斯坦的相对论说,没有任何信息或信号可以超光速运动。

罗杰 · 彭罗斯,认为观察者的意识导致波函数塌缩
图片来源:Festival de la Scienza.

塌缩的想法也引发了另一个问题:什么是测量?一些物理学家,如尤金·魏格纳和罗杰·彭罗斯,一直持有这样的想法,即测量需要观察者,而观察者的意识导致塌缩。但是,这种看法已经在很大程度上不流行了。相反,测量可以定义为你要测量的系统和测量设备之间的相互作用。“举个例子,一个互动可能是:如果粒子是在右边,我设备上的指针移动到右边,如果是在左侧,将指针移动到左边,”Short说。“在正常的量子理论中你可以很容易地模拟这一点。”

塌缩处理的倡导者所面临的挑战是要拿出模型来描述塌缩的运作---它究竟是如何发生的?又是什么原因造成的呢?少数人认为可能来自一种物理学家们尚未能够与量子力学协调的力量:重力。找到一个统一的量子引力理论是现代物理学的伟大目标,一些人认为它可能揭示了塌缩的行为。

多元的世界

既然这样,波函数在测量后塌缩的这个想法需要被假定为量子力学的一个额外规则。像这样凭空拉出自然规律的做法对纯理论家是非常不满意的。但还有另一种可能:所有可能的测量结果也许都是同样真实的。“我们的想法是有不同的世界,它们都是真实的,在它们当中每个粒子都在不同的位置上,”Short解释说。问题就变成如何解释波函数给出的概率。“你可以把它作为赋予每个世界的一种权。如果你随机选择一个世界,你最有可能选的是有更大概率的世界。”

当你只想到小小的粒子时,这已经是很奇怪的。但是,对于作为观察者的我们呢?如果你把他们放在这个多世界的视图中,你会得到所谓的量子力学的埃弗雷特解释(以物理学家休·埃弗雷特的名字命名)。“假设你有一个小的微观粒子,可能是在这里或那里,然后我看着它,”Short说。“塌缩模型会说这真的决定了问题,粒子主意已定,我看到它在这里,我看到它在那里,但是对于我看到了什么,仍然只有一个真理。但宏观物体由粒子组成,因此没有任何理由相信它们应该遵循不同的物理规律。如果你将[对作为观察者的我来说]相同的物理定律应用于微观物体,你发现的是,你得到‘粒子在这里,我看到它在这里’和‘粒子在那儿,我看到它在那儿’的这种叠加。埃弗雷特的解释说,这也许就是发生的东西。这似乎是相当疯狂的,因为对于看到不同东西的我,竟然有两个副本。但是,每个人,如果你问他们是否看到了一些合理的事情,他们会说是的。”

埃弗雷特提出了一个著名的思想实验,把试验看作盒子里的猫,则猫是由两种状态构成的:死了和活着。
但是当你打开盒子去观察的时候你只能看到其中一种状态。根据埃弗里特的解释,当你决定观察的时候,情况就分成了两个分枝:其中一个分枝盒子里的猫死了,而另外一个还活着。图片来源:Dc987.

现在很明显的问题是,为什么我们从来没有意识到自己的这些其他副本。但有一个直接的答案。两个不同的世界,如果它们的波函数在配置空间的同一区域内非零,只能互相干扰---配置空间里包含了构成你的粒子、你正在观察的粒子,测量仪器等所有不同配置的可能性。但是,这意味着你的两个副本必须具有相同的记忆。“为了你的两个副本映射到配置空间的相同状态,你本质上必须在他们的大脑中放松一切,”Short说。“如果他们有任何记忆,那么他们不会在配置空间的同一个地方,因为记忆是他们的一部分。如果他们的大脑是不同的,那么他们就无法遇见。”因此,只有完全失忆,才能让你能够与自己相遇并与自己合并。

埃弗雷特的解释可能会不符合常识,但你可以说它获得了数学的简单性。“人们说,平行的世界和这一切的疯狂,似乎完全没有道理。但实际上它很简单:所有你要做的就是薛定谔方程,并把它所有的方式保持到宏观层面。埃弗雷特只不过丢掉了第二定律[假设波函数完全塌缩],”Short说。Bouatta建议,我们不应该把我们对世界认识的常识推到太远。“我们对每一天的生活有一种直觉---椅子、桌子,鸟类等---我们尝试将其应用到宇宙中所有不同的体制:既有尺度最大的,也有尺度最小的。但是,为什么每一个尺度的世界要用我们的常识、日常生活的直觉来描述?埃弗里特的后果可能似乎是有点怪怪的,但有人可能会说,这是对量子力学最保守的处理,因为你不必引入新的定律。”

塌缩模型和的埃弗雷特视图是量子力学最突出的解释,尽管还有其他解释。事实是,我们根本不知道在现实世界中什么在真的发生,以及如何解释把它描述得如此之好的数学形式。可以肯定的是,我们必须从根本上扩大我们对世界的看法:一千年前谁会相信地球是巨大的膨胀的宇宙中的一个很小的球形斑点呢?

最后,我们用一句据说是理查德·费恩曼的名言来安慰一下自己吧:“任何声称理解了量子理论的人,不是说谎就是疯狂。”

原文链接: http://plus.maths.org/content/schrodingers-equation-what-does-it-mean
作  者: Marianne Freiberger,剑桥大学主办的“千年数学项目”之下的网络杂志Plus的共同主编
翻  译: 丁玖,密执安州立大学博士,南密西西比大学数学教授
校  对: 汤涛,香港浸会大学数学讲座教授