新星升起

这个最本质的东西就是每次 Serre 会强烈感觉到某个陈述下隐含着的丰富意义，而这个陈述在字面意义上讲，无疑让我既不感到兴奋，也不觉得无味——而且他可以“传输”这种对如此内蕴丰富、实在而又神秘的实质的感知——这种感知在同一时候就是理解这个实质的渴望，以至看透它的本质。

——《收获与播种》，第 556 页

格勒诺贝尔大学的 Bernard Malgrange 回忆起当格洛腾迪克写完论文后，他宣称自己不再对拓扑线性空间感兴趣了。“他告诉我，这里面不再有东西可做了，这个学科已经死了。”Malgrange 回忆道。当时学生按要求需要准备一份“第二论文”，此文不必包含原创性的工作，其用意在于让学生展示对和自己博士论文研究相隔很远的一门数学领域的理解深度。格洛腾迪克的第二论文是关于层论的，这个工作或许埋下了他对代数几何的兴趣的种子，而这将是他做出最伟大成就的地方。在巴黎完成格洛腾迪克的论文答辩后，Malgrange 记得他自己、格洛腾迪克和 Henri Cartan 挤在一辆出租车上去 Laurent Schwartz 家里吃午饭。他们坐出租是因为 Malgrange 在滑雪的时候摔断了腿。“在车上，Cartan 告诉格洛腾迪克他叙述层论时犯的一些错误”，Malgrange 回忆说。

离开巴西后，格洛腾迪克 1955 年在堪萨斯大学度过，可能是受到 N. Aronzajn 的邀请 [Corr]。在那里格洛腾迪克开始投入到同调代数研究中去。正是在堪萨斯他写了“关于同调代数的若干问题”这篇文章，此文在专家圈子里面被非正式地称为“Tôhoku 文章”[To]，由于此文发表在 The Tôhoku Mathematical Journal（《东北数学期刊》) 上。此文是同调代数的经典，发展了 Cartan 和 Eilenberg 关于模的工作。也是在堪萨斯的时候，格洛腾迪克写了“带结构层的纤维空间的一般理论”一文，此文作为国家科学基金（National Science Foundation, NSF）的一个报告发表。这个报告发展了他关于非交换上同调的初步想法，此领域在后来他会在代数几何的架构下再次触及。

就是在这时候，格洛腾迪克开始和法兰西学院的 Jean-Pierre Serre 通信。他起初和 Serre 在巴黎相识，而后来在南锡时又见过面。他们信件的精选在 2001 年出版了法文原版，在 2003 年出版了法英对照 [Corr]。这是一段长期而又硕果累累的交流的开始。这些信件显示了两个非常不同的数学家的深厚而又充满活力的数学联系。格洛腾迪克表现出天马行空般的想象力，而它又常常被 Serre 的深刻理解和渊博知识带回到地面。有时候在信中格洛腾迪克会表现出很令人惊讶的无知：比如说，有一次他询问 Serre 黎曼 zeta 函数是否有无穷多零点（[Corr], 第 204 页）。“他的经典代数几何知识实质上等于零，”Serre 回忆说，“我自己的经典代数几何知识比他稍微好点，但好得不多，但是我试着去帮助他。可是……有这么多未解决的问题，所以这不是很重要。”格洛腾迪克不是那种了解最新文献的人，很大程度上他依靠 Serre 来了解目前数学界正在干些什么。在《收获与播种》里，格洛腾迪克写道，他学习到的大部分几何知识，除去他自学的外，全学自于 Serre（第 555－556 页）。不过 Serre 不仅仅是教给格洛腾迪克知识；他能够将要点融会贯通，然后用一种格洛腾迪克发现非常具有说服力的方法叙述出来。格洛腾迪克将 Serre 叫作“引爆器”，一个提供火花，将导火索点燃，促使观点大爆炸的人。

确实，格洛腾迪克将他工作的许多中心主题都归因于 Serre。比如说，就是 Serre 在 1955 年将 Weil 猜想用上同调的语言介绍给格洛腾迪克——这种语言在 Weil 最初提出猜想的时候是没有明显给出的，而它却正是可以吸引格洛腾迪克的地方（《收获与播种》，840 页）。通过对 Weil 猜想做“凯莱”类比的想法，Serre 也促使了格洛腾迪克的所谓“标准猜想”的提出，此猜想更加一般化，而 Weil 猜想只是其中一个推论（《收获与播种》，第 210 页）。

在堪萨斯呆了一年后，格洛腾迪克在 1956 年回到法国的时候，在 CNRS 谋得了一个位置，大部分时间里他呆在巴黎。他和 Serre 继续通信，并且经常通电话讨论问题。就在此时格洛腾迪克开始更深入地研究拓扑和代数几何。他脑子里“充溢着想法，”Armand Borel 回忆说，“我很确定某些一流的工作必将出自于他。不过最后（从他那里）出来的比我想象的甚至还要高明很多。这就是他的 Riemann-Roch 定理，一个相当美妙的定理。它真是数学上的一个杰作。”

经典形式的 Riemann-Roch 定理在 19 世纪中叶得到证明。它讨论的问题是：在一个紧致黎曼曲面上，由那些极点在给定的有限多个点上，且具有最多给定次数的阶的亚纯函数构成的空间的维数是多少？问题的答案就是 Riemann-Roch 公式，它将维数用曲面的不变量来表达——从而提供了曲面的解析性质和拓扑性质的丰富联系。Friedrich Hirzebruch 在 1953 年做出了一个巨大的进展，其时他将 Riemann-Roch 定理推广到不仅适用于紧致曲面，而且适用于复数域上的射影非奇异簇的情况。整个数学界都在欢呼这项伟业，它可能是这个问题的盖棺之语了。

“此时格洛腾迪克走了出来，说道：‘不，Riemann-Roch 定理不是一个关于簇的定理，而是一个关于簇间态射的定理’，”普林斯顿大学的 Nicholas Katz 说，“这是一个根本性的新观点……整个定理的陈述完全改变了。”范畴论的基本哲学，也就是大家应该更加注意的是对象间的箭头（态射），而不是对象自身，才刚刚开始在数学上取得一点影响。“格洛腾迪克所做的事情就是将这种哲学应用到数学上很困难的一个论题上去，”Borel 说，“这真的很符合范畴和函子的精神，不过人们从没有想过在如此困难的论题上使用它……如果人们已经知道这个陈述，并且明白它在说什么，可能别的某个人可以证明这个陈述。不过单单这个陈述本身就已经领先别的任何人 10 年时间。”

这个定理，其后也被 Gerard Washnitzer[Washnitzer] 在 1959 年证明，不仅适用于复代数簇——基域特征零的情况——而且也适用于任何本征光滑代数簇而不必在乎基域是什么。Hirzebruch-Riemann-Roch 定理即作为特殊情况推出。1963 年 Riemann-Roch 定理一个影响深远的推广出现了，它就是 Michael Atiyah 和 Isadore Singer 证明的 Atiyah-Singer 指标定理。在证明的过程中，格洛腾迪克引入了现在叫作格洛腾迪克群的概念，这些群本质上提供了一类新型拓扑不变量。格洛腾迪克自己将它们叫做 K–群，他们提供了由 Atiyah 和 Hirzebruch 所发展的拓扑 K 理论的起点。拓扑 K 理论接着又提供了代数 K 理论的源动力，这两个领域从此均是研究很活跃的领域。

Arbeitstagung，字面意思即是“工作会议”，是由 Hizerbruch 在波恩大学所发起的，其作为数学前沿研究的论坛已经有四十多年历史了。正是在 1957 年 7 月首次 Arbeitstagung 上格洛腾迪克讲述了他在 Riemann-Roch 问题上的工作。不过令人好奇的是，这个结果从没有在他名字下发表；它出现在 Borel 和 Serre 的一篇文章[BS] 上（这个证明作为一个报告，后来也出现在 SGA6 中）。正当他在 1957 年秋访问 IAS（高等研究院）的时候，Serre 收到格洛腾迪克的一封信，里面包含了格洛腾迪克证明的概要（[Corr]中日期为 1957 年 11 月 1 日的信）。他和 Borel 组织了一个讨论班来试着理解这个定理。因为格洛腾迪克正在忙很多别的事情，他建议他的同事们将讨论班记录下来发表。不过 Borel 推测可能有别的原因让格洛腾迪克对将证明写下来不感兴趣。“格洛腾迪克主要的哲学思想是数学应该被简化为一系列很小而又很自然的步骤，”Borel 说，“只要你还不能这么做，就说明你还没有理解里面真正的含义……他的 Riemann-Roch 证明使用了一个小窍门，une atuce。因此他不喜欢这个证明，所以也就不想发表它。正好他有别的很多事情要做，他对将这个窍门写下来没有兴趣。”

这并不是格洛腾迪克最后一次革命化一个学科研究问题的观点。“这样的事情是一次又一次不停地发生，他会去考虑有些别人已经花了很久时间、在某些情况下甚至是 100 年的时间研究过的问题……最后他完全转变了人们当初认定的这个学科告诉我们的东西。”Katz 评论道。格洛腾迪克不仅会去解决很困难的问题，他还会去继续研究引起这些问题的问题。

年轻的数学家。图片来源：the Grothendieck Circle

新世界大门开启

（我最后终于）意识到这种“我们，伟大而高贵的精神”思维方式，在一种特别极端和恶意的形式下，从我母亲的孩提时代开始，就让她情绪易于激动，并支配着她和别人的关系，让她总是居高临下，带着常常是倨傲甚至于轻蔑的怜悯来看待别人。

——《收获与播种》，第 30 页

根据 Honig 的说法，格洛腾迪克的母亲在他呆在巴西的时候，至少有部分时间也在那里，尽管 Honig 说自己从没有见过她。我们不清楚她是否跟随儿子去了堪萨斯。当 1956 年格洛腾迪克回到法国的时候，他们可能就没有住在一起了。在 1957 年 11 月于巴黎写给 Serre 的信中，格洛腾迪克询问 Serre 他是否可以租下 Serre 正要搬出的一间巴黎公寓。“我想给我母亲租住这个公寓，她在 Bois-Colombes 过得不怎么好，而且觉得特别孤独，”格洛腾迪克这样解释 [Corr]。事实上，他母亲在这年底就去世了。

格洛腾迪克的朋友们和同事们都说当他谈及父母双亲的时候总是充满景仰，几乎到了吹捧的地步。在《收获与播种》一书中，格洛腾迪克也表达了对他们的深厚的孺慕之情。多年里他在办公室里挂了张很醒目的他父亲的肖像，此画是 Le Vernet 集中营里的难友描绘的。据 Pierre Cartier 的描述，这幅肖像画描绘了一个剃着光头、双目“炯炯有神”的男人[Cartier1]；很多年里格洛腾迪克自己也剃光头。根据 Ribenboim 的话，汉卡–格洛腾迪克对她的杰出儿子感到非常骄傲，反过来他也有一种对母亲特别深厚的依赖。

她过世后，格洛腾迪克经历了一段时间来寻找自我，期间他停止了所有的数学活动，还想过去成为一位作家。数月后，他决定重返数学，去完成和一些他已经开始发展的想法相关联的工作。这一年是 1958 年，根据格洛腾迪克的话，这一年“可能是我数学生涯最多产的一年。”（《收获与播种》，第 24 页）这个时候他开始和一位叫 Mireille 的妇女同居，他将在数年后与她结婚，并育有三个孩子：乔安娜，马修和亚历山大。Mireille 和格洛腾迪克的母亲曾经过往甚密，并且据熟悉他俩的人说，她比他大了不少。

得克萨斯大学奥斯汀分校的 John Tate 和他当时的妻子 Karen Tate 1957-1958 学年在巴黎度过，在那儿他们首次见到格洛腾迪克。格洛腾迪克根本就没有表现过那种他归因于母亲的倨傲。“他很友好，同时相当天真和孩子气，”John Tate 回忆道，“很多数学家都相当孩子气，有时不通世务，不过格洛腾迪克犹有甚之。他看上去就那么无辜——不工于心计，不伪装自己，也不惺惺作态。他想问题的时候相当清晰，解释问题的时候非常有耐心，没有自觉比别人高明的意思。他没有被任何文明、权力或者高人一等的作风所污染。”Karen Tate 回忆说格洛腾迪克乐于享受快乐，他很有魅力，并喜欢开怀大笑。但他也可以变得很极端，用非黑即白的眼光来看待问题，容不得半点灰色地带。另外他很诚实：“你和他在一起的时候总知道他要说的是什么，”她说，“他不假装任何事情。他总是很直接。”她和她的弟弟，麻省理工学院的 Michael Artin 都觉察到格洛腾迪克的个性和他们的父亲 Emil Artin 很相似。

格洛腾迪克有着“令人难以置信的理想主义想法”，Karen Tate 回忆说。比如说，他不允许在他屋子里有地毯，因为他坚信地毯只是装饰用的奢侈品罢了。她还记得他穿着轮胎做的凉鞋。“他认为这妙极了，”她说，“这些都是他所尊敬的事务的象征——人需要量体裁衣，量力而行。”在他的理想主义原则下，有时候他可能变得特别不合世宜。在格洛腾迪克和 Mireille1958 年首次访问哈佛之前，他给了 Mireille 一本他喜欢的小说让她来提高她相当贫乏的英语水平。这本小说就是《白鲸记》（即 Moby Dick，美国作家 Herman Melville（1819-1891）献给同时代另一位美国作家霍桑的一部很难阅读的名著）。

新几何的诞生

1958 年，亚历山大–格洛腾迪克和 Jean-Pierre Serre。图片来源：the Grothendieck Circle

按照三十年后的后见之明，现在我可以说就是在 1958 年，伴随着两件主要工具，概型（scheme，它代表旧概念“代数簇”的一个变形）和拓扑斯（toposes，它代表空间概念的变体，尽管更加复杂）的苏醒，新几何的观点真正诞生了。

——《收获与播种》，第 23 页

1958 年 8 月，格洛腾迪克在爱丁堡举行的国际数学家大会上作了一个大会报告 [Edin]。这个报告用一种非凡的先见之明，简要描述了许多他将在未来 12 年里工作的主题。很清楚这个时候他的目标就是要证明 André Weil 的著名猜想，其揭示了代数簇构成的离散世界和拓扑形成的连续世界的丰富联系。

在这个时候，代数几何的发展非常迅猛，很多未知问题并不需要很多背景知识。起初的时候这个学科主要是研究复数域上的簇。在 20 世纪初叶，这个领域是意大利数学家，诸如 Guido Casternuovo，Federigo Enriques 和 Francesco Severi 等的专长。尽管他们发展了很多的独创思想，但他们的结果不都是通过严格证明得来的。在 1930 和 1940 年代，其他一些数学家，包括范德瓦尔登、AndréWeil 和 Oscar Zariski，打算研究任意数域上的簇，特别是特征 p 域上的簇，其在数论上很重要。但是，由于意大利代数几何学派严谨性的匮乏，有必要在此领域建筑新的基础。这就是 Weil 在他 1946 年出版的《代数几何基础》中所做的事（Foundations of Algebraic Geometry，[Weil1]）。

Weil 的猜想出现在他 1949 年的文章 [Weil2] 中。由数论中某些问题的启发，Weil 研究了一类其一些特殊情况是由 Emil Artin 引进的 zeta 函数；它被叫做 zeta 函数则是因为它是通过和黎曼 zeta 函数作类比定义得来的。给定定义于特征 p 的有限域上的一个代数簇 V，则可以计算 V 上在此域上有理点的个数，以及在其每个有限扩域上有理点的个数。将这些数放入一个生产函数中，就得到 V 的 zeta 函数。Weil 证明了在曲线和 Abel 簇两种情况下，zeta 函数满足三条性质：它是一个有理函数；它满足函数方程；它的零点和极点有某种特定的形式。这种（特定的）形式，经过换元后，恰好和 Riemann 假设相对应。Weil 更进一步观察到，如果 V 是由某个特征零簇 W 模 p 得到的，那么当 V 的 zeta 函数表示为有理函数时，W 的 Betti 数就可以从 V 的 zeta 函数上读出。Weil 猜想就是问，如果在射影非奇异代数簇上定义这样的 zeta 函数，是否同样的性质还是正确的。特别地，象 Betti 数这样的拓扑量是否会在 zeta 函数里面出现？这种猜想中的代数几何和拓扑的联系，暗示当时的一些新工具，比如说为研究拓扑空间而发展出来的上同调理论，可能适用于代数簇。由于和经典 Riemann 假设的类似，Weil 猜想的第三条有时也叫作“同余 Riemann 假设”；这个猜想后来被证实是三个中最难证明的。

“Weil 猜想一经问世，很显然它们会由于某种原因而将扮演一个中心角色，”Katz 说道,“这不仅因为它们就是作为‘黑盒子’式的论断也是令人惊异的，而且因为看上去很清楚要解决它们将需要发展很多不可思议的新工具，这些工具它们自身将由于某种原因具有不可思议的价值——这些后来都被证明是完全正确的。”高等研究院的 Pierre Deligne 说（Weil 猜想）吸引格洛腾迪克的地方正是代数几何和拓扑的猜测联系。他喜欢这种“将 Weil 的这个梦想变成强大的机器”的想法，Deligne 评论道。

格洛腾迪克不是由于 Weil 猜想很有名、或者由于别人认为它们很难而对 Weil 猜想感兴趣的。事实上，他并不是靠对困难问题的挑战来推动自己。他感兴趣的问题，是那些看上去会指向更大而又隐藏着的结构。“他目标在于发现和创造问题的自然栖息之家，”Deligne 注意到，“这个部分是他感兴趣的，尤甚于解决问题。”这种方式和同时代另外一位伟大数学家 John Nash 的方式形成鲜明对照。在他的数学黄金时代，Nash 喜欢找那些被他同事们认为是最重要、最有挑战性的问题来做。“Nash 象一个奥运会的运动员，”密歇根大学的 Hyman Bass 评论道。“他对众多的个人挑战感兴趣。”如果 Nash 不算是一个善于解决问题的理想范例，格洛腾迪克绝对算是建构理论的完美范例。Bass 说，格洛腾迪克“有一种关于数学可能是什么的高屋建瓴般的观点。”

1958 年秋，格洛腾迪克开始了他到哈佛大学数学系的多次访问的第一次。Tate 其时正是那里的教授，而系主任是 Oscar Zariski。那时候格洛腾迪克已经用新发展的上同调的方法，重新证明了连通性定理，Zariski 最重要的成果之一，于 1940 年代首次被其证明。根据当时是 Zariski 学生，现在布朗大学的 David Mumford 的话，Zariski 自己从没有学会这些新方法，但是他明白它们的能力，希望他的学生们受到新方法的熏陶，因此他邀请格洛腾迪克来访问哈佛。

Mumford 注意到 Zariski 和格洛腾迪克他们相处得很好，尽管作为数学家他们是完全不同的。据说 Zariski 如果被一个问题难住的时候，就会跑到黑板前，画一条自相交曲线，这样可以帮助他将各种想法条理化。“谣传他会将这画在黑板的一个角落里，然后他会擦掉它，继续做代数运算。”Mumford 解释说，“他必须通过创造一个几何图像、重新建构从几何到代数的联系来使自己思维清晰。”根据 Mumford 的话，这种事格洛腾迪克是绝对不会做的；他似乎从不从例子开始研究，除那些特别简单、几乎是平凡的例子外。除去交换图表外，他也几乎不画图。

当格洛腾迪克首次应邀到哈佛的时候，他和 Zariski 在访问前通过几次信，Mumford 回忆道。这时离众议院非美活动委员会的时代不久，得到签证的一个要求是访问者宣誓自己不会从事推翻美国政府的活动。格洛腾迪克告诉 Zariski 他拒绝做这样的宣誓。当被告知他可能会因此进监狱时，格洛腾迪克说进监狱可以接受，只要学生们可以来探访他而且他有足够多的书可用。

在格洛腾迪克哈佛的讲座上，Mumford 发现到抽象化的跃进相当惊险。有一次他询问格洛腾迪克某个引理如何证明，结果得到一个高度抽象的论证作为回复。Mumford 开始时不相信如此抽象的论证能够证明如此具体的引理。“于是我走开了，将它想了好几天，结果我意识到它是完全正确的。”Mumford 回忆道,“他比我见到的任何人都更具有这种能力，去完成一个绝对令人吃惊的飞跃到某个在度上更抽象的东西上去……他一直都在寻找某种方法来叙述一个问题，看上去很明显地将所有的东西都从问题里抛开，这样你会认为里面什么都没有了。然而还有些东西留了下来，而他能够在这看上去的真空里发现真正的结构。”