构造主义


1. 美梦失而复现

上一部分, 我们了解到由 L. E. J. Brouwer 发展的直觉主义/构造主义数学。当时, 数学家们担心 Brouwer 的思想会导致数学的彻底变革, 他们的担心对吗?

Brouwer.jpeg图 1 Luitzen Egbertus Jan Brouwer, 1881-1966

起初看起来可能会: Brouwer 证明的结果好像是对标准数学发起了挑战。其中的许多结果影响了实数和实数中相当棘手的无穷性质, 这也是 Brouwer 本人非常担忧的。

1.1 美梦消失?

我们倾向于认为实数是显而易见的, 但实际上有好几种思考实数的方式, 每种方式都有微妙的区别: 举三个例子, 比如用无穷长数轴上的点, 小数表示, 以及每项都是有理数的无穷数列的极限来看待实数, 等等。和其他许多人一样, Brouwer 喜欢实数的无穷数列定义 (本文不需要理解它, 但你可以在这篇文章中找到更多关于这种 定义实数的方式)。

乍看之下, 你可能觉得构造主义者应该回避无穷数列: 毕竟, 人类不可能写下一个无穷项的数列。但构造主义者并不是有穷论者, 只要有一种有限的方式告知如何得到无穷数列的每一项, 他们乐于接受无穷数列。类似于“数列的第 \(n\) 项是 \(1/n\)”, 或者是根据前文的哥德巴赫猜想构造出的无穷数列都是构造主义者接受的数学对象。

然而, Brouwer 也担心我们对实数产生的另一种直觉: 它们应该合在一起形成一条连续不断的直线。粗略地说, 只有当实数“足够多”时, 这种情况才会发生。Brouwer 担心只允许预定数列 (pre-determined sequences) 来定义实数并不 足够, 于是他还把所谓的“可选数列”(choice sequence) 纳入进来。这些数列并不是严格预定的, 而是由一个“理想数学家”随着时间的推移而得到的数列, 比如通过掷一个骰子无穷多次而得到一个数列。

在经典数学中, 这种数列的概念因其整体的无限性而被接受, 但作为一个构造主义者, Brouwer 坚持认为我们只能假定仅仅知道它的有限项。这种一面允许出现各种数列, 一面坚持构造主义态度的平衡做法最终导致的结果似乎与公认 的数学相矛盾。如果你熟悉这些术语的话, 其中一个结果是闭区间上的任何实函数都是连续的, 这在标准数学中毫无疑问是不对的。

这些结果与公认的数学并不冲突, 只是提供了一种截然不同的观点——例如, Brouwer 的数学中的函数与公认的数学中的函数并不完全相同。但是由于 Brouwer 对自己的解释有些模糊, 以及他明显想要摧毁标准数学的愿望, 这些结果 并没有让主流数学家对直觉主义产生太多青睐。

1.2 美梦重现

1967 年, 当Errett Bishop决定以更务实的方式看待构造主义时, 这一领域发生了一场大变革。Bishop 同意 Brouwer 对自然数的看法: 自然数是直觉赋予我们的, 他认为, 自然数是数学的“首要关注点”。尽管这些自然数可能是上帝赐予的 (正如Leopold Kronecker描述的那样1), 但 Bishop 坚持认为, 我们用它们得到的数学完全是人为的。他在他那极具娱乐性的《构造主义宣言》(Constructivist manifesto)2中写道:“如果上 帝有他自己的数学要研究, 那就让他自己去研究吧”。

constr.jpg图 2 是否所有的数学都应该显式地构造出来?

Bishop 也不同意 Brouwer 的“形而上学思辨”倾向, 特别是关于实数构成的连续统。“对连续统本质的推测对 Brouwer 和逻辑学家们来说一直是一个害怕的问题, ”他在他的宣言中尖刻地写道: “…在 Brouwer 的数学中, 似乎有一个 挥之不去的疑惑, 除非他亲自出面阻止, 否则连续统将是离散的。”

Bishop 的目的是给抽象数学以“数值意义”。他接受了 Brouwer 修订后的逻辑定律, 坚持一切都要按照“有限程序”进行。他用有理数的预定数列来定义实数, 而不必使用可选数列, 他走得更远了: 在他的《构造分析基础》 (Foundations of constructive analysis)3一书中, Bishop 用构造方法重新证明了重要的数学分析结论, 或者至少给出了足以用于实际目的 (如果您了解初等的数学分析, 那么参见这里的例子) 的较弱版本。

Bishop 在宣言中写道:“对经典数学定理的好的构造性替代证法存在的程度, 可以当作是经典数学具有构造性真理的坚实基础的证明.”换句话说: 构造主义并没有扼杀我们所知的数学, 它只是需要不同的证明方法, 产生稍微不同的结 果。

就在五十多年前, Bishop 发表了他的《构造分析基础》。在这段时间里, 不同的数学家以不同的方式发展了构造主义数学。在此期间, 数字技术也席卷了整个世界。它甚至进入了 (仅仅需要纸和笔的) 抽象数学的领域。计算机是构造主 义的机器: 有限的程序是它们运行的基础。那么, 无论从数学理论的角度, 还是从计算机科学甚至人工智能的角度来看, 构造主义在今天的表现如何呢?我们将在以后的文章中探讨这个问题。


1  http://t.cn/EifXF5o

2  http://t.cn/EifaqCY

3 https://plus.maths.org/content/intuitionism


作者: Marianne Freiberger,Editor of Plus.
译者: 张浩, 北京市朝阳区教育研究中心。
原文链接: https://plus.maths.org/content/paradise