心灵的创造:戴德金的数学思想


王淑红 孙小淳

摘要:戴德金重视概念和方法,他认为数是人类心灵的自由创造。他提出了很多新概念和新定理,特别是用有理数的分割定义了无理数,得出了自然数的基础,提出理想理论以及其他抽象代数的新概念,为近现代数学奠定了坚实的基础。他与很多数学家有着密切的学术交往,在数学共同体中发挥了不可或缺的作用。通过调研有关戴德金的文献资料,分析他的成就、影响及其所在的数学共同体。

关键词:戴德金 戴德金分割 心灵的创造 理想 数学共同体

理查德·戴德金(Richard Dedekind,1831-1916)是德国的一位名垂史册的数学家、哲学家、理论家和教育家。戴德金崇尚概念哲学,在数学的多个领域有所建树,给出了很多概念和定理。现在以他命名的数学概念主要有:戴德金分割(Dedekind cut)、戴德金环(Dedekind domain)、戴德金η函数(Dedekind eta function)、戴德金无穷集合(Dedekind infinite set)、戴德金数(Dedekind number)、戴德金和(Dedekind sum)和戴德金zeta函数(Dedekind zeta function)等。他最重要的成就是用戴德金分割重新定义了无理数以及引进环论中理想的概念。戴德金的导师高斯有一句名言:数只是我们心灵的产物。戴德金对此非常赞同,并在自己的研究中一再强调数是人类心灵的自由创造。

640.jpg 戴德金

戴德金不仅能够创造新数学,而且还能够用结构化的观点把自己的思想表达得清晰明了。他引领了新的数学风潮,深刻影响了数学的进一步发展。正如当代数学家和数学史家哈罗德·爱德华兹(Harold M. Edwards,1936-)所说:

“戴德金的遗产……不仅包括重要的定理和概念,而且整个数学风格已经对每一个后人产生鼓舞。”[1]

戴德金一生淡泊名利,静默自守。他对自己的能力和成就一向异常谦逊和低调。但他的光辉思想无法阻止人们给予他崇高的荣誉。他成为了哥廷根科学院(1862)、柏林科学院(1880)、罗马科学院(1880)和巴黎科学院(1900)等科学院的通讯院士,被授予克里斯蒂安尼亚(今称奥斯陆)、苏黎世和不伦瑞克等大学的荣誉博士。

1917 年,他的朋友和追随者埃德蒙·兰道(Edmund G. H. Landau,1877-1938)在《哥廷根皇家科学与人文学会新闻》上写道:“戴德金不仅仅是伟大的数学家,同时也是有史以来数学历史上真正杰出的人物。他是其所处伟大时代的最后一位英雄,高斯的关门弟子。40 多年以来,他已经成为经典的作家,不只我们,就连我们的老师乃至于老师的老师均从他的工作中得到启迪。”[2]

一、戴德金的数学共同体

戴德金的很多创造是在编辑前人工作的过程中发生的。说明共同体在其数学创造中的重要性。心灵的创造不只是单个的,而且是集体的。不过戴德金的贡献也是很杰出的。这既是一个传统的成就,也是一个伟大心灵的成就。

1. 家族三代同在一所大学任教授

戴德金 1831 年 10 月 6 日在不伦瑞克出生。他出身教授家庭,不过,并不像他的追随者爱米·诺特(Emmy Noether,1882-1935) 那样出身数学教授家庭。其父名为乌尔里奇·戴德金(Ulrich Dedekind),是一位物理学家和化学家的儿子,他是不伦瑞克卡罗林姆学院(the Collegium Carolinum)的大法官、法学教授,也是这所学校的一位高级管理人员。母亲卡洛琳(Caroline)的父亲也是这所学校的教授,母亲的祖父是皇家邮政局长。这所学校到 1860 年代已升级为不伦瑞克理工学院(the Brunswick Polytechnikum)。戴德金在 1862 年,回到自己的母校任教授。这样算来,戴德金家族至少有三代在这所学校任教授,当属名副其实的教育世家了。戴德金 1894 年 4 月在这所学校退休,但仍然偶尔上课并继续作学术研究,公开发表论文。

戴德金的学生生涯也从不伦瑞克开始,从 7 岁到 16 岁,他在不伦瑞克的一所学校就读。他一开始认为数学只是一个辅助性学科,并未对数学有很大的兴趣,而是对其他科学更着迷,特别是化学和物理学。但不久之后,他发现物理学没有精确的逻辑结构,从而转向数学。

1848 年,戴德金进入卡罗林姆学院学习。当时的卡罗林姆学院是一所介于高中和大学之间的教育机构。这也是他后来的博士导师高斯的母校。

他在这里接受到了很好的数学基础教育,学到了代数分析、解析几何、微积分、力学等。1849-1850 年间,他给低年级学生讲过课。这为他接下来进入哥廷根大学做好了准备。

他终生未婚,成年后大多数时间与他的二姐生活在一起。他的二姐也是终生未婚,比戴德金早两年离开人间。戴德金除了在父亲去世不久出现过身体不适的情况,其他时间他都保持着健康的身心,直至 1916 年 2 月 12 日平静安详地与世长辞。戴德金很享受这种在故土与家人在一起的生活,就像科特·比尔曼(Kurt-R Biermann)所评述的那样:

“戴德金与他的兄长和姐姐保持密切的联系,忽略了所有更高层面的可能的机会和娱乐,他所生活的小的熟悉的世界完全满足他的要求。在这个小世界里,他的亲属完全代替了他自己的妻子和孩子,并发现了充分的快乐和研究基础数学这项科学工作的自由。他没有要在外部世界产生更大影响的压力:那种自我确认是不必要的。”[3]

2. 高斯的关门弟子

1850 年春,在卡罗林姆学院学习两年后,戴德金转入哥廷根大学。他参加了哥廷根大学刚刚成立的数学和物理学讨论班。戴德金一开始就参加了讨论班,听了莫里茨·斯特恩(Moritz Stern,1864-1939)、乔治·乌尔里奇(George Ulrich)、威廉·韦伯(Wilhelm Weber,1804-1891) 和约翰·本尼迪克特·李斯廷(Johann Benedict Listing,1808-1882)的数学和物理课程。此前,他的微积分等基础已经比较扎实,在这里,他的数论知识着实上了一个新台阶。他对有的物理课并不十分感兴趣,不过值得一提的是,威廉·韦伯的实验物理课使戴德金倍受鼓舞。一年后,也就是 1851 年,乔治·黎曼(Georg Riemann,1826-1866)也加入到讨论班,他们二人很快成为好朋友。1850 年,戴德金还听过高斯的观察员卡尔·沃尔夫冈·本杰明·戈尔施米特(Carl Wolfgang Benjamin Goldschmidt,1807-1851)的大众天文学课程。

1850-1851 年的冬季学期,戴德金第一次上高斯亲自开的课。这个时候高斯已经年纪比较大了,只是教授一些比较基础的知识。戴德金听了高斯的最小二乘法等课程。高斯虽然不喜欢教学,但是保持着一贯的责任心。50 年后,戴德金仍然记得:

“这些讲授是他曾听到的最美妙的课程。写下跟随高斯学习,令他曾有着持续增长的兴趣,并且他无法忘记这种经历。”[3] 接下来的一个学期,戴德金听了高斯的高等测量学课程。1851-1852 年,他听了昆图斯·埃斯利乌斯(Quintus Icilius)的数学地理学以及热理论课程,并且跟埃斯利乌斯一起观测气象。

戴德金有幸成为了高斯的最后一个博士生。1852 年,在高斯的指导下完成了一篇博士论文“关于欧拉积分的理论”(Über die Theorie der Eulerschen Integrale),获得哲学博士学位。高斯给出的评语是:“戴德金先生的论文是一项有关积分学的研究,不只是对于相关的领域有着充分的知识,同时具有创新性,可以想象他在以后肯定能作出成果。作为批准考试的试验论文来说,我对其完全满意。”[3]

戴德金与高斯无论从所秉持的原则或观点,还是从性格和生活上都有很多相似的地方。他们来自同一地方,有在同一学校学习和任教的经历。他们都认真负责、严格要求、坚持原则、拒绝妥协。他们都过着一种规律而简朴的生活。他们都热心帮助他人,谦虚谨慎,并深得朋友的信任。他们有同样的文学品味,都喜欢英国著名作家沃尔特·斯科特(Walter Scott,1771-1842)。他们对数论和算术情有独钟,他们都把概念比符号看得更重要。戴德金还编辑了高斯的全集。[4]

3. 求学柏林,弥补不足

博士毕业后,按理说戴德金已经可以走上独立教学和研究的道路了,但是戴德金的求知欲非常强,他虽然自己也觉得已有的知识储备足以教授中学,但是自感没有得到很好的数学前沿领域的训练,他完全认识到他受到的数学教育还不足。这里要说明一下,当时,在哥廷根大学学习数学是相对令人失望的,因为它还没有成为充满活力的研究中心。当时的柏林大学是德国数学的研究中心,柏林大学比哥廷根大学的课程更为先进。在哥廷根大学听不到彼得·古斯塔夫·勒热纳·狄利克雷( Peter Gustav Lejeune Dirichlet,1805-1859)、卡尔·雅可比(Carl Jacobi,1804-1851)、雅各布·施泰纳(Jakob Steiner,1796-1863)讲授的一些最新课程,比如高等数论、高等几何、椭圆函数、数学物理等。当时,与戴德金同在哥廷根的黎曼也发现学校的数学教育旨在培养高中教师,而不是具有顶尖能力走研究道路的数学家。于是,戴德金和黎曼相继去了柏林,戴德金花两年时间弥补了他受教育的不足,并在1854 年夏取得大学执教资格。而他的朋友黎曼也刚刚在几周前获得了同样的资格。

4. 重回哥廷根大学与任职苏黎世工科学校

1854 至 1855 年的冬季学期,戴德金在哥廷根大学以无薪讲师的身份教授几何和概率论等课程。1855 年,他的老师高斯去世,戴德金是少数几个有幸为高斯抬灵柩的人。狄利克雷被任命为哥廷根大学的数学教授,接替高斯空出来的职位。这件事情对戴德金意义重大,他发现和狄利克雷学习令他受益匪浅。他听了狄利克雷的位势理论、数论、偏微分方程和定积分等课程。狄利克雷使他成为了一个学术新人,大大扩展了他的学术和生活视野。即便是狄利克雷亲友的聚会,狄利克雷也会邀请戴德金参加。

1855 年冬到 1856 年,戴德金听了黎曼的椭圆函数和阿贝尔函数课。戴德金对自己要求非常严格,他虽然已经可以教授课程,但他依然把自己当作学生一样苦读。大约在这个时候,戴德金学习了埃瓦里斯特·伽罗瓦(Évariste Galois,1811-1832)的工作,他首先在哥廷根大学讲授伽罗瓦理论。在讲授当中,他首次给出域的概念,用抽象群的概念来代替置换群的概念。不过,令人郁闷的是,因为戴德金的讲授超出了授课范围,最后仅剩下两个学生出勤。

1858 年戴德金被任命为瑞士苏黎世工科学校教授,继任约瑟夫·拉伯(Joseph L. Raabe,1801-1859)的职位。在讲授微积分时,戴德金感受到分析基础还比较薄弱,于是研究了实数理论的基础。1859 年 9 月,戴德金借着黎曼当选柏林科学院通讯院士的机会,和黎曼一同去了柏林,结识了院士选举的发起人卡尔·魏尔斯特拉斯(Karl Weierstrass,1815-1897)以及柏林的其他几位数学领袖:厄恩斯特·库默尔(Ernst E. Kummer,1810-1893)、卡尔·博哈特(Carl Wilhelm Borchardt,1817-1880)和利奥波德·克罗内克(Leopold Kronecker,1823-1891)。

戴德金在哥廷根和瑞士期间,把大量精力投入到教学当中,他十分关心所授课程的严密性。他所发表的研究论文也与课程相关。授课之余,他开始编辑狄利克雷的《数论讲义》。

1862 年,戴德金回到母校不伦瑞克理工学院继任了奥古斯特·威廉·朱利叶斯·伍德(August Wilhelm Julius Uhde)的职位。从此再未离开。这就是我们这一节开头所谈到的内容。

戴德金受到了高斯、狄利克雷和黎曼很深的影响,他负责编辑过狄利克雷、高斯、黎曼的全集。

5. 与其他数学家的密切往来

除了高斯、狄利克雷和黎曼,戴德金还和其他一些数学家保持着良好的学术交流。1872 年,戴德金在瑞士的特拉肯小镇度假时,遇到了格奥尔格·康托尔(Georg Cantor,1845-1918)。他们一直保持着友谊,相互敬重,开诚布公地交流学问。戴德金遂成为最早支持康托尔无穷集合工作的数学家之一,在康托尔与克罗内克在超无穷理论方面发生争论时,戴德金毫不犹豫地站在了康托尔的一边,并成为康托尔的有力支持者。[5]

戴德金和海尔里希·韦伯(Heinrich Weber,1842-1913)在 1882 年展开合作,在黎曼曲面上应用理想论的结果。当时韦伯是柯尼斯堡大学的老师,在讲课过程当中,他介绍了戴德金的思想,从而许多学生受到了戴德金的思想影响,其中就包括大卫·希尔伯特(David Hilbert,1862-1943)。

1900 年,希尔伯特在国际数学家大会上高度赞扬了戴德金的工作,从而戴德金的思想更加深入人心。爱米·诺特与奥伊斯坦·奥尔(Φystein Ore,1899-1968)共同编辑了戴德金的全集。爱米·诺特在编辑学习的过程中,对戴德金的思想十分敬仰,不仅建议其学生们反复研读,而且在别人称赞她的创新思想时,她往往说:“已经在戴德金那里都有了”。[6]

二、用有理数来定义无理数:戴德金分割

戴德金用后人所称的戴德金分割重新定义了无理数,这是戴德金最重要的数学成就之一,包含在其1872 年发表的《连续性与无理数》(Stetigkeit Und Irrationale Zahlen)一书当中。这本书甫一问世,就引起很多关注,与魏尔斯特拉斯的分析基础以及康托尔的集合论一起,开启了现代数学的新时代,戴德金从此进入一流数学家的行列。

1858 年春,负责人事的瑞士市议员到当时戴德金所在的哥廷根大学聘请老师到苏黎世工科学校(今天的苏黎世联邦理工学院)作教授。戴德金很快顺利入选。自 1858 年秋,他开始在那里教授微积分。这是他第一次教授这门课程。在授课的过程中,他感觉分析的基础还很薄弱。他对当时的微积分评述道:“我比以往任何时候都更加强烈地感受到这种算法缺少真正的科学基础。”[7]

于是戴德金打算为微积分建立坚实的基础,开始对实数理论的基础进行研究,从而产生了戴德金分割的想法。他自己曾提到戴德金分割这个思想是在 1858 年 11 月 24 日闯入脑海的。戴德金最先把这个结果告诉了他的朋友海因里希·杜瑞热(Heinrich Durege),但是年后才正式发表。

《连续性与无理数》共有七部分。包括:自然数的性质、有理数与直线上的点的比较、直线的连续性、无理数的构造、实数域的连续性、实数的运算以及无穷小分析。

他在书的第三部分“直线的连续性”中说道:“上面把有理数域 $R$ 比作直线,结果认识到前者存在间隙,具有一定的不完备或不连续性,而我们则将直线看成是完备、不存在间隙或连续的。那么这种连续性是什么?所有的事情都必须依赖于这个问题的答案,并且只有通过它,我们才能够获得一个研究全部连续区域的科学基础。仅仅大致阐述其最小子集的不间断连续性,明显得不出任何结果;问题是找到连续性的一个准确特征,使其成为有效推理的基础。”[8]

戴德金紧接着说道:“长久以来,我对此深思熟虑,却徒劳无获,但是最终我找到了我所要寻找的东西。这种发现也许不同的人会有不同的评价;大多数人会发现它的实质非常平凡。”([8],p.11)

戴德金说他发现了连续性的原则:“如果直线上的全部点分成两类,使得第一类中的每一个点位于第二类中的每一个点的左方,那么存在且存在唯一一点,产生了把所有的点分成两类的分划,直线分成两部分的分划。”([8],p.11)

戴德金在第四部分“无理数的构造”中明确提出了分割的概念。

他说:“在第一部分,已经指出每一个有理数 $a$ 将实数系 $R$ 分为两类,使得第一类 $A_1$ 中的每一个数 $a_1$ 小于第二类 $A_2$ 中的每一个数 $a_2$;数 $A$ 或者是第一类 $A_1$ 中的最大数,或者是第二类 $A_2$ 中的最小数。现在,如果给出这个数系 $R$ 分成两类 $A_1$ 和 $A_2$ 的任意分划,使得它只满足这种特征,即 $A_1$ 中的每一个数 $a_1$ 小于 $A_2$ 中的每一个数 $a_2$,那么简洁地讲,我们称这种分划为一个“分割”(英文:cut;德语:Schnitt),并把它记作 $(A_1,A_2)$。”([8],pp.12-13)

戴德金用德语 Schnitt 来表示分割,具有直观性、可视性,这是源于古希腊的欧几里得几何。

当然有理数也产生无穷多个分割,因为它能够把数集分为两部分。“但不管什么时候我们都必须处理非有理数产生的一个分割 $(A_1,A_2)$,这样,我们就构造出了一个新数,并且是无理数,我们认为它完全可以由 $(A_1,A_2)$ 这个分割来定义;我们会说数 $A$ 对应于这个分割,或者说它产生了这个分割。”([8],p.15)

这种分割就定义了一个无理数,或者说这个分割就是一个无理数。这是因为,我们相当于在全部有理数集合中“定义”了一个确定的分割,$A_1$ 和 $A_2$ 趋于相交。为使这两个集合相交,这个分割须用某个“数”填充起来,由上述条件可知,这个数不可能用有理数来填充,或者说不可能与有理数相对应。

因此,全部可能的分割组成了数轴上包括有理数和无理数的每一个点,统称为实数。有了实数的分割概念。为了得到所有实数有序性的基础,还必须研究任意两个分割的关系。

于是戴德金给出了一个分割大于另一个分割的定义。他证明实数具有以下性质:若 $α>β$ 且 $β>γ$,则 $α>γ$;不同的实数 $α$ 和 $γ$ 之间存在着无穷多个数;若全部实数划分成两类,且其中一类中的每一个数均小于另一类中的每一个数,则必存在一个且仅存在一个数产生这个分割。

此外,分割也有加法和乘法运算,其加法和乘法满足交换律和结合律。因此就可以证明原先未被严格证明的公式 $\sqrt { 6 } = \sqrt { 2 } \times \sqrt { 3 }$。

我们知道,在数学史上有三次大的危机,第一次数学危机是在古希腊时代由无理数引发的,到那时仍悬而未决。而戴德金以连续性为起点,通过有理数的分割给出无理数的定义,将实数理论建立于严格的科学基础之上,从根本上消除了这一危机。因此,其重要性不言而喻。

三、追寻自然数的基础:数是什么?

戴德金解决了连续性问题,用有理数的分割定义了无理数。换句话说,他的无理数概念以有理数为基础,而要建立起严密的逻辑,接下来就要考虑有理数的生成问题。而我们知道有理数以自然数为基础,所以实际上就是要进一步考虑自然数的生成问题或者说自然数的基础是什么?戴德金乘胜追击,1872-1878 年集中精力研究自然数的基础,顺利得到了他的自然数理论,写作成书,在 1888 年正式出版,这就是富有哲学意味的《数是什么?数应当是什么?》(Wassind und WasSollen die Zahlen?)。

戴德金开篇明义,在这本书的序言中明确亮出了自己的观点。他说:“算术(代数、分析)作为逻辑的一部分,我想说明我认为数的概念完全不依赖于空间和时间的表象或直观,我认为它是一种思想规律的直接产物。我自己对在这本书的题目中所提问题给出的答案,可以归纳为:数是人类心灵的自由创造;数能更简洁地理解事物的差别。只有通过纯逻辑的过程建立数的科学并因此获得连续的数域,我们才能研究时空,即把时空与我们心灵创造的数联系起来。”([8],pp.31-32)

戴德金在 38 页强调说:“于我而言,所有更美妙的事情是,无须任何度量性质的表象,只简单地通过有限的思维过程,人们就能进一步构造出纯粹的连续数域;并且以我看来,只有通过这种方式,人们才能把连续空间的表象变得清晰和明确。”([8],p.38)

这本书共有 14 部分。内容主要包括:元素集合、集合的映射、映射的相似性和相似集合、集合到自身的映射、有穷和无穷、单无穷集合与自然数列、较大和较小的数、数列的有限和无限部分、归纳定义数列的映射、单无穷集合的分类、数的加法、数的乘法、数的幂、有穷集合中元素的数(包括计数、基数、序数及其初等性质等)。

戴德金崇尚提出概念和定理,在这本书中,他给出了 100 多个概念和定理。戴德金首先详细地讨论了集合的概念。

他说:“经常发生的事情是,出于某种原因,不同的事物 $a, b, c, ...$,可以通过一个统一的观点来研究,可以在大脑中发生联系,我们说它们形成一个集合 $S$;我们把事物 $a, b, c, ...$ 称为集合 S 的元素。”([8],p.45)

他还给出了集合的并和交、一个集合到另一个集合的映射以及相似映射。他说:“一个集合 $S$ 的映射 $\Phi$ 称为相似的,当集合中不同的元素 $a$,$b$ 总是映射到不同元素 $a'=\Phi(a)$,$b'=\Phi(b)$ 上。”([8],p.53)也就是说,相似映射指不同元素总是映射到不同元素上。

他借助相似性给出了第一个无穷集合的准确概念。一个集合是无穷的,当它与自身的一部分相似。用现代的术语来说,就是等价于它自身的真子集。因此,自然数的集合 $N$ 与其真子集 $N^2$ 是相似的。

他引进了关于一个映射的“链”的概念。若是一个集合 $S$ 到其自身的映射,则 $S$ 的一个子集 $K$ 称为关于映射 $\Phi$ 的链。他对无穷集合和有穷集合再次进行了区分,认为无穷集合总有一个到自身的真子集的相似映射,而有穷集合则没有这种映射。他引进了单无穷集合这个重要概念。戴德金还给出了单无穷集合的条件。如果一个集合 $N$ 为单无穷集合,则存在一个映射 $\Phi$ 和 $N$ 中的一个元素,满足:

(α)$\Phi(N)\subset N$;

(β)$N = 1 _ { 0 }$;

(γ)$1 \notin \Phi ( N )$;

(δ)$\Phi$ 为相似映射。

戴德金明确给出了:一个单无穷集合 $N$ 的元素是自然数或序数,简单说就是数。满足这样条件的 $N$ 能够按照映射排成一个顺序,从而形成一个数列:$1, \Phi(1),(\Phi(1)),\cdots$。因此,戴德金的映射 $\Phi$ 实际上是将 $N$ 中的一个元素映射到它的后继数上。特别值得注意的是,这是数的一个抽象定义,因为已经没有元素的具体内容。这是思维观念的进步。

戴德金虽然没有明确讲出上面的四个条件就是自然数的公理,但是他从这些条件推导出了自然数的其他性质,也就是给出了自然数的公理基础,他的最基本的概念就是数字 $1$ 及其后继函数。戴德金认为,所有满足算术公理的事物均可以被认为是数的代表,所以数只有处于一定的结构当中才会有其自身的存在。这就使得自然数的概念发生了变化,从直观上的清晰过渡到有了严密的逻辑。

在戴德金 1888 年发表这些成果后的第二年,也就是 1889 年,意大利数学家朱塞佩·皮亚诺(Giuseppe Peano,1858-1932)引用了戴德金的成果,形成了一个等价的但是更简洁的公理集合,成为现在标准的公理集合。由这个建立在公理基础上的自然数体系,应用减法能够得到整数系,应用除法能够得到有理数系。这样,我们本节一开始所说的寻找有理数的基础也就解决了。康托尔通过计算有理数列的极限得到了实数系,戴德金应用戴德金分割也能得到实数系。如此一来,连同魏尔斯特拉斯的 $ε−δ$ 定义等成果,他们共同把微积分建立在了一个坚实的基础之上,从而使得有效性不成问题的微积分达到了数学的严密性要求,消除了动荡两百多年的第二次数学危机。

四、将理想数升级为理论:理想论

戴德金在理想论方面的工作要从狄利克雷说起。1855 年高斯去世,空出了数学教授席位,狄利克雷来到哥廷根大学接替了高斯的职位。这件事情对戴德金的影响非常之大。戴德金听了狄利克雷的一些课程。这为戴德金的学习和研究注入了新的活力。他们很快成为形影不离的挚友。

当时,保罗·巴赫曼(Paul Bachmann,1837-1920)是哥廷根大学的学生,后来回忆到,他和戴德金只是面熟,因为戴德金经常和狄利克雷一起到校和离开,完全令他黯然失色。

戴德金自己在 1856 年 7 月的一封信中写道:“对我最有用的是几乎天天与狄利克雷交流,与他在一起,我第一次开始恰当地学习;他一直对我和蔼可亲,并且开门见山地告诉我需要弥补的漏洞,同时给我提供怎样做的指引和方法。我已经感谢了他无穷多的事情,无疑将来会更多。”[3]

在向狄利克雷学习的过程中,戴德金开始研究理想以及代数数论的问题。1832 年,高斯为了解决高次互反律问题引入复整数(即 $a + b \sqrt { - 1 }$ 型的数,其中 $a, b$ 是有理整数),解决了四次互反律问题,并对这种复整数,证明了唯一素因子分解定理,即算术基本定理。雅可比等人在此基础上探讨互反律问题,而一般高次互反律问题最终为库默尔解决。1844 年,库默尔引入理想数,实现了分圆数域上的因子分解。若一个理想数可以表示为另一个理想数与复整数之积,则称这两个理想数为等价。库默尔证明了理想数在这种等价之下分为等价类。分圆数域的类数是有限的。([6],pp.58-63)

库默尔的学生众多,但戴德金却是他最忠诚的门徒,因为他发扬了库默尔的理想数,建立了严谨的理想理论。美国数学家和科幻小说家埃里克·坦普尔·贝尔(Eric Temple Bell,1883-1960)在《数学大师》一书中把他和库默尔称为“算术二世”,并一起介绍。[9]

戴德金大约从 1856 年起长期研究库默尔的理想数。戴德金在集合意义上提出理想概念。戴德金的观点是:理想数为其整除的所有复整数的集合。所有复整数的集合被戴德金称为理想(Ideale)。

他证明了在所有分圆整数子集中,理想可以由以下两条性质来刻划:

(1)一个理想中任何两个分圆整数的和仍在这个理想中;

(2)一个理想中的分圆整数与任何分圆整数的乘积仍在这个理想中。[10]

理想数为数,理想为集合。由此,实现了从数到集合的推广。此后,理想论又从分圆数域推广到代数数域、数环以及一般的环上。[11] 这种逐层的深化和拓广使得理想论拥有了越来越高的理论层次。([6],pp.58-63)从 1871 年至抽象代数学正式建立这段时间,它成长为一种相对独立的数学理论,产生了大量应用,影响深远。

代数整数是通常有理整数的推广,戴德金建立起系统的代数数论。他还引进代数数及代数整数的概念,他定义了体(Körper),通过将有理整数的同余理论进行推广得到模(Modul)这个概念,推广可除性理论得到素数和单元的概念,定义了理想、整除和素理想。这都是代数数论中最基本的概念。[12]

他还进而给出两个理想的乘积的定义,得出了理想论基本定理。代数整数和有理整数存在一个很大的不同,一般的代数整数不能唯一分解,这体现在代数数域理想的类数问题上。可以根据等价关系将理想分成理想类。[13] 戴德金对于一般的代数数域,引入了戴德金 $ζ$ 函数,并用这个函数在极点 $s=1$ 的残数来计算类数,得出计算公式,成为以后计算类数的基础。

戴德金还从 1871 年开始研究了代数数域的分岐理论,给出了共轭差积的定义,他将其称为基本理想(Grundideal),得到两条主定理。1882 年,证明了德金判别式定理。戴德金所建立的代数数论后来为希尔伯特所发展。戴德金在 1901 年的文章“所有代数数域的置换”中首次谈到了无穷次扩域,沃尔夫冈·克鲁尔(Wolfgang Krull,1899-1971)在 1928 年发展了这个理论。[14]

戴德金把这些创新成果作为附录编辑在狄利克雷的《 数论讲义 》(Vorlesungenüber Zahlentheorie)1871、1879 和 1894 年版本中。[15]-[17] 实际上,在狄利克雷去世后,戴德金就负责编辑狄利克雷的讲稿,1863 年出了第一版。爱德华兹曾经提到:

“虽然本书确定是以狄利克雷的讲稿为基础,并且尽管戴德金自己一生当中都称这本书是狄利克雷写的,但是在狄利克雷去世后,余下的大部分是戴德金写的。”([1],p.11)

戴德金建立了代数数域中整数环的理论。戴德金还有许多其他成就。比如:1882 年与海尔里希·韦伯一起在代数函数论上推广代数数论的成果。1877 年,引进模函数 $\mathrm { J } ( \tau )$ 的概念,预示了自守函数论,研究了纯三次代数数域等。他还在 1858 年给出了有限群的一个抽象定义。1897 年,他在研究群论时引进换位子和换位子群的概念,证明了一个群的换位子的集合组成正规子群。他在环论和格论方面也有贡献,并且是格论的创立者。戴德金的思想影响广泛,包括希尔伯特、爱米·诺特在内的众多数学家都继承了他的数学思想衣钵。

五、结语

科学一般沿着两个方向发展。一是内省,这包括对某些特定领域基本概念的辨析和研究。二是向外拓展,这也就是构造,更为引人注目。但内省的方向是哲学和逻辑的任务。戴德金创造数学的方式,大多是依靠自己有洞察力和有抽象能力的头脑,而不是依靠巧妙的符号表示和对公式的熟练运用。因为高斯认为算术的真理应该从概念而不是从记号得出来,所以戴德金的这一点也是最受高斯赏识的。

戴德金通过他创造的概念和理论并用简洁清晰的形式表达出来,极大地改变了数学的面貌,使之成为了我们今天熟悉的样子。他一生积极追求,勤耕细作,在周围营造了良好的学术和生活环境。他不但自己做出了伟大的成果,而且乐于为他人服务,编辑了高斯、狄利克雷和黎曼的全集,使之代代流传。他潜心教学,在教学中进行研究性思考,是教研相长的典范。在他长寿的一生当中,他的心灵虽然没有长出爱情之花,但是却开满了数学之花和友谊之花。换句话说,他用一颗对待数学的真心,播种出了美丽的数学硕果,而这些数学果实也将他搏动过的心音传唱至今,并可以预见,将会直至永远。

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作者: 王淑红(1976-)女,河北黄骅人,河北师范大学数学与信息科学学院教授,中国科学院大学人文学院博士后,研究方向为代数学及近现代数学史。

孙小淳(1964-)男,江苏溧阳人,中国科学院大学人文学院科学技术史系教授,研究方向为天文学史、科技史、科学哲学等。
原发期刊: 自然辩证法通讯第 41 卷第 2 期(总 246 期)