群的来历


讲者信息

王涛:河北师范大学数学博士,南方科技大学数学系博士后,现为中国科学院自然科学史所助理研究员。

课程简介


群是数学中最为重要的概念与理论之一。该微慕课系列即将带领同学们从逻辑和历史两条线索来认识群的来历,了解群的定义、性质及其发展的过程。

课程目录

第一节 集合
第二节 关系
第三节 结构
第四节 与数论相关的早期群例子
第五节 与代数相关的早期群例子
第六节 预解式
第七节 置换群

第一节 集合

群是元素间存在二元运算并满足特定4条性质的集合。那么何为集合,在这一节中,主要对集合的定义和其相关悖论进行了介绍。

第二节 关系

一个集合有了关系,即被称为结构。何为关系,这一节主要给出了关系的相关形式定理,以及介绍了“比较关系,同余关系,等价关系”等相关例子。

第三节 结构

数学结构即为在集合上定义某种关系或运算,使得集合的元素不再平等。代数结构、拓扑结构与序结构是数学基础结构,通过这三种结构可以构造更为复杂的结构,从而统一纯数学。群则是一种代数结构,在这节可以通过群的性质认识整数加群,有理数乘群。

第四节 与数论相关的早期群例子

最早群的例子都是在解决难题中出现的,比如模n剩余类加群,n次单位群根和二元二次型等价类群,均为在数论中认识的早期例子。本节主要对这几个例子进行介绍和讲解。

第五节 与代数相关的早期群例子

代数学的一大任务就是解方程,三次、四次方程在文艺复兴时期便得出了求根公式,但五次方程一直没有找到求根公式,法国学家拉格朗日对此进行了解释,即为什么二、三、四次方程会有求根公式。同时,这节还简单介绍了三次方程的求根公式。

第六节 预解式

预解式是从代数方程到群早期例子的重要过渡步骤。在求解方程时需首先求解预解式,通过观察,发现可将预解式通过置换得到预解方程,借助韦达定理进一步解决该问题。

第七节 置换群

从代数方程走向置换群过程中,数学家们对代数方程的可解性进行了探讨。期间,挪威数学家阿贝尔首次给出了不是所有五次方程都有根式解。之后法国数学家伽罗瓦进一步研究,提出伽罗瓦定理,给出正规子群的概念,是置换群创始人之一。